随机微分方程是近几十年兴起的热门的数学学科,在许多领域有着广泛的应用。是数学中的一个非常活跃且引人瞩目的领域,国内和国际上许多著名的数学家都投入到这一领域进行研究并获得了一些辉煌的成果,使得人们对于自然界无处不在的随机现象有了更加深刻的理解。随机微分方程是介于微分方程与概率论之间的边缘分支,它是两个数学分支互相渗透的结果。它对数学领域中的许多分支起着有效的联结作用。在随机微分方程的定性理论研究中,随机微分方程初值解的存在唯一性是非常重要的课题。本文的主要工作是推广了随机微分方程和随机泛函微分方程的初值解的存在唯一性定理,减弱经典的Lipschitz条件(一致Lipschitz条件)和线性增长条件,仍保证随机微分方程和随机泛函微分方程的初值解的存在唯一性,并给出具体例子来说明推广后的定理适用于更广泛的方程。并给出了随机微分方程与随机泛函微分方程的近似解与精确解之间的误差估计表达式,同时本文也给出了随机微分方程和随机泛函微分方程初值解的新的指数估值。最后,总结了论文的创新点,提出了论文的改进方向,并给出了研究中所参考的主要文献。