本文主要围绕内部具有不连续性Sturm–Liouville算子展开研究.微分算子是线性算子中有着非常深刻应用背景的一类无界线性算子.数学物理及其它应用科学中许多问题都可归结为确定微分算子的特征值和特征函数以及将任意函数按特征函数展开成级数（或积分）的问题,其中很多实际问题,例如具有叠层的热传导问题、带有结点的弦振动问题、势函数是广义函数的微分算子等,都可以转化为内部具有不连续性的微分算子问题.广为被关注的“弹子动力系统”也可以从微分算子谱理论的角度来观察和研究,即:考虑一类与其相关的微分算子（带有无穷多个不连续点的微分算子）,在不连续点附加转移条件来刻画质点的碰撞运动.因此内部具有不连续性微分算子的研究受到很多本领域数学工作者的广泛关注.本文将围绕内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子以及内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子展开研究,并且把研究重点放在内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的亏指数、自共轭扩张域刻画、谱的离散性,内部具有不连续性左定Sturm–Liouville算子的谱分析,内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的非实特征值存在性及其个数等方面的问题上.本文前半部分考虑了内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子.首先,我们研究了此类算子的自共轭扩张描述问题.我们注意到:亏指数为无穷的对称微分算子需要无穷多个函数来描述其自共轭扩张域且这一组函数须满足“最大选取”条件.我们结合不连续点附加的转移条件给出了新的内积,建立了新的Hilbert空间,把问题放在这个新空间框架中去考虑,引入了新的概念,即与转移条件相关的最大算子max和最小算子min,证明了min在新建立的Hilbert空间中是具有有限亏指数的闭对称算子,且与max是相互共轭的,从而在新的空间框架下,很巧妙地将无穷亏指数问题转化成了有限亏指数问题,去掉了“最大选取”的限制.再利用微分方程的参数解,给出了min的所有自共轭扩张直接而完全的描述,进而讨论了最小算子min自共轭扩张的构造问题.在此基础上,我们进一步研究了某一类内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的亏指数、Friedrichs扩张、谱的离散性等问题.我们把问题放在一个与转移条件相关联的新空间框架中,给出了此类问题的亏指数取值范围,进一步给出了这类微分算子亏指数为（1,1）的充分条件,即系数函数,、不连续点及其转移条件的系数矩阵应满足的条件,讨论其下有界性,进而刻画了它的Friedrichs扩张.之后,我们利用算子分解方法给出了这类微分算子谱是离散的充分条件.本文后半部分考虑了内部具有不连续性的不定Sturm–Liouville算子.首先,我们利用特征曲线和Krein空间中的线性算子谱理论研究了内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的谱分析问题,证明了内部具有不连续性左定Sturm–Liouville问题的谱是实的、离散的、没有有限聚点、且上下无界,进一步讨论了内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的非实特征值存在性及其个数问题,给出了若干判断其问题的非实特征值是否存在及其个数的充分条件.之后,我们进一步研究了分离型边界条件情形下的内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子,证明了其特征曲线的解析性质,讨论了此类微分算子的非实特征值个数问题,并给出了具体的两个例子.全文共分为六章:第一章为绪论部分,主要给出了本文所考虑问题的研究背景、研究意义及其国内外研究进展和本文主要研究结果及创新点;第二章简单介绍了本文中所涉及的一些基本概念和重要引理;第三章建立了与微分算子内部不连续性相关联的新内积空间,研究了内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的自共轭扩张描述问题;第四章研究了一类内部具有无穷多个不连续点Sturm–Liouville算子的亏指数、Friedrichs扩张、谱的离散性等问题;第五章研究了内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的谱分析问题;第六章研究了分离型边界条件情形下的内部具有不连续性不定Sturm–Liouville算子的非实特征值问题.