张量是一种高维数组,可以看成矩阵的高阶推广,其在信号处理、非线性优化、图像处理、模型降阶和数据挖掘等领域有着广泛的应用。本文主要针对Sylvester张量方程求解问题,提出快速有效的优化算法并进行理论分析。全文分为五章:第一章,绪论。首先给出了本文用到的相关符号,然后介绍了张量分解和Sylv-ester张量方程的研究背景和现状。第二章,预备知识。首先介绍CP分解、Tucker分解和Tensor Train（TT）分解的定义,然后给出张量Kronecker积、左正交和右正交定义,以及张量相关性质,为后面的内容做准备工作。第三章,主要介绍了求解Sylvester张量方程的两种方法,首先介绍了张量投影方法求解形式为Ax=c的线性方程,它是利用基于张量的GMRES方法求解的,同时还给出了预处理方法。第二个方法是基于交替方向隐式迭代（ADI）方法,将该方法推广到结构张量上,提出了基于结构张量方程的ADI迭代。第四章,主要研究了基于Tensor Train（TT）形式下的Sylveter张量方程求解问题,同时为了降低系数矩阵的计算量,对系数矩阵随机采样,提出了基于TT分解随机方法。另外,对于采样后的子问题,这里给出了两种方法求解,即梯度法和牛顿法,并在一定假设下,本文给出了基于TT分解的随机梯度法收敛性分析。第五章,这部分主要给出了一些数值实验验证提出方法的有效性。实验一给出了基于TT分解的随机梯度下降法和随机牛顿法的数值实验,算例规模为1013,数值实验表明两种方法都能处理大规模问题,且各有优势。实验二的算例用来比较基于随机梯度下降法和基于张量格式的投影法,该实验规模较小,实验表明两种算法效果相差不大,但投影方法不能处理大规模张量。第六章,对全文进行总结,并确定今后研究方向。