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在数字通信领域，如全球定位系统、码分多址通信系统(CDMA)、雷达系统及序列密码学中，具有最优的2级、3级自相关性的二元序列有着重要的应用.差族、平衡差族、完备差族与这种二元序列有着非常密切的关系.
1939年，R.C.Bose[1]提出(υ，κ，λ)-差族(简记为(υ，κ，λ)-DF的概念，并用它来构造(υ，κ，λ，)-平衡不完全区组设设计(υ，κ，λ)-BIBD.1999年，M.Buratti[2]提出了平衡(υ，κ，λ)-差族(Balanced Difference Families)的概念.
设(G，＋)是υ阶的Abel群，h为正整数，K为正整数集，B={Bi:1≤I≤h}是G的一些Ki元子集构成的子集族，Bi={bi1，bi2...biki}，Ki∈K，1≤I≤h.对任意B∈G，记△B={a-b：a，b∈B，a≠b}，△B=U1_≤I≤h△Bi.若△B=λ(G{0})，则称B为G的一个(υ，κ，λ)-差族，记为(υ，κ，λ)-DF，Bi称为基区组，Ki为Bi组的长度.若B中不同长度区组的个数都相等，则称B为G的一个平衡(υ，κ，λ)-DF.
引理1.2.2[2]设u=18t+1为质数幂，3e是整除t的最最高次幂.在Fv中,若3e+1不等于3，则存在平衡(υ[3，4],1)-DF.
易如平衡(u{3，4},λ)-DF存在的必要条件如下：
(1)当λ三1，5，7，11，13，17(mod 18)时,v三1(mod 18)，v≥19;
(2)当λ三2，4，8，10，14，16(mod 18)时,v三1(mod 9)，v≥10;
(3)当λ三3，15(mod 18)时，v三1(mod 6)，v≥7;
(4)当λ三6，12(mod 18)时，v三1(mod 3)，v≥4;
(5)当λ三9(mod 18)时，v三1(mod 2)，V≥4;
(6)当λ三0(mod 18)时，v≥4.
本文利用乘法特征的Weil定理得到λ=1，3时平衡(v，{3，4}，λ)-DF存在的一个下界，并对该下界以下的质数幂构造出具体的平衡(v{3，4}，λ)-DF.最终得到如下定理：
定理1.4.1 当v是质数幂时，平衡(v，{3，4}，λ)-DF存在的必要条件也是充分的本文的另一项工作是研究完备差族的存在性.R.J.R Abdl[3],R.Mathonn[4]和A.Rosa[5]等人用完备差族来解决循不斯坦纳2-设计、光正交码和和图论当中的某些问题.
最近，G.Ge，A.C. H. Ling和Y.Miao[6]在研究雷达阵列构造时对完备差族的概念进行了推广，并给出由推广了的完备(υ，κ，1)-DF到PCPM(Properly Centered PermutationMatrice)的构造，部分解决了山Z.Zhang和C.Tu[7]提出的关于PCPM的构造的公开性问题，从而成功运用完备差族来构造了雷达阵列.
设Iv={0，1，...，v-1}，h为正整数，F={B1，B2...，Bh)是Iv的一些Ki元子集构成的子集族，其中Bi={bi1，bi2，..，biki}，K={K1，K2，.. .，Kh)若△+F={biv-bim: 1≤
I≤h，1≤m1时的完备(v，K，1)-DF，已知结果较少.本文对其存在性进行了研究.首先利用Langford序列给出一类完备差族的递推构造，并讨论了完备(v，K，1)-DF不存在原情况，接着给出K={3，s*}及K={3，s*1，s*2}时的存在性结果.最后文章进一步对K={k}的情况进行了讨论，并给出了新的递推构造方法及相关结果.
以下为本文主要结果：
定理1.4.2设存在完备(u，K，1)-DF.如果u，m满足如下条件，则存在完备(6m+v，Ku{3}，1)-DF.
(1)m≥v;
(2)当v三1(mod 4)时,m三0，1(mod 4);当u三3(mod 4)时,m三0，3(mod 4).
定理1.4.3如果下述条件之一满足：
(1)当s三1(mod 8)时,v-r三13，19(mod 24);
(2)当s三3(mod 8)时,v-r三7，13(mod 24);
(3)当s三5(mod 8)时,v-r三1，7(mod 24);
(4)当s三7(mod 8)时,v-r三1，19(mod 24);
其中r=s(s-1)，那么不存在完备(v，{3，s*},1)-DF.
定理1.4.4如果min{k：k∈K}≥6，则不存在完备(u，K，1)-DF.
定理1.4.5对于以下的K和V，每一条件对于完备(v，K,1)-DF的存在性都是充分必要的(1)K={3，4*}，v三1(mod 6)，v≥9；
(2)K={3，5*}，v三9，15(mod 24)，v≥ 33；
(3)K={3，6*}，v三1(mod 6)，v≥43；
(4)K={3，7*}，v三1，7(mod 24)，v ≥73.
定理1.4.6当K={3，4*，5*}，{3，4*，6*}，{3，5*，6*}时，完备(u，K，1)-DF存在的必要条件也是充分的.
定理1.4.7若存在完备(12t+1，4，1)-DF，则存在完备(L，4，1)-DF，其中L=324t+61,324t+73,348t+73,348t+85.
定理1.4.8若存在完备(u，k，1)-DF和完备(W，K，1)-DF，,则存在完备(vw，k，1)-DF，k=4，5.