矩阵作为最基本的数学工具之一,它具有丰富的研究内容,且有悠久的发展历史。与此同时,其在优化领域、概率统计和数值分析等学科和数学物理、计算数学、生物学、控制理论、图像处理、工程技术、经济学及社会科学等领域都有十分广泛的应用.近年来,随着数学自身的发展以及实际应用的推动,(半)正定Hermite矩阵广泛应用在矩阵计算、控制论、优化理论等领域,于是(半)正定矩阵的研究已成为矩阵研究领域中的非常重要的课题。本文采取从特殊到一般的归纳证明方法和分类讨论的思想,运用经典不等式理论,对Hermite矩阵特征值和(半)正定Her mi t e矩阵迹的性质进行了分析研究,主要讨论了Hermite矩阵一般组合的特征值和(半)正定Hermite矩阵一般组合的迹,给出了较好的估计结果。全文分为四章,主要的内容如下:第一章先介绍Hermite矩阵特征值和(半)正定Hermite矩阵的迹的研究意义以及国内外对此课题的研究现状,其次给出了相关概念和文章中数学符号说明;第二章主要研究Hermite矩阵A,B的一般组合p A+q B+r AB特征值的估计,先给出了p A是半正定,B分别是半正定、半负定、不定时,由A,B的最大最小特征值表示的界。再讨论了p A是半负定时,B是半正定、半负定、不定时,由A,B的最大最小特征值表示的界。最后研究了A,B都是不定的情况,得到了一些关于Hermite矩阵一般组合p A+q B+r A B特征值的一些估计;第三章主要研究(半)正定Hermite矩阵的一般组合及组合的幂的迹的估计,首先研究两个Hermite矩阵A,B一般组合a A+b B+c AB+d BA+e ABA+f BAB的迹,分两大类情况来讨论:当A B=B A,AB为Hermite矩阵时,则原组合的迹归结为讨论2 2a A+b B+r AB+e A B+f AB的迹;当AB1BA,AB不是Hermite矩阵,AB+BA是Hermite矩阵时,所以此时可以令d=c,则原组合的迹归结为a A+b B+c(AB+BA)+e ABA+f BAB的迹。其次,将半正定Hermite矩阵组合的迹的Holder不等式作了一些改进,并将其应用到了一般组合上,得到了一些新的结论。第四章主要说明研究Hermite矩阵组合特征值和迹的其他方法及与前面结果的对比.