近几十年来，随着经济的快速发展，人们对产品质量的要求越来越高，从而引发了试验者更多的对于高精度低成本的试验的需求。在科学研究的大部分领域，试验是人们获取新认知以及加深对当前事务的进一步了解的重要手段。通过试验，人们可以获得诸如如何提高产品质量或者某农作物的哪个品种能够提供更高的产量之类的知识。为了有效地进行试验，试验设计是必不可少的。　　 自从R．A．Fisher奠定了试验设计现代理论的基石以来，因析设计就在试验设计的发展中扮演着重要的角色．它在农业、生物医学、行为学、化学、制造业以及高新科技等领域都有着极为广泛的应用。尤其是近几十年来，人们对因析设计的研究变得更加的广泛与深入，各方面都取得了丰硕的研究成果，其中包括设计最优准则的制定与最优设计的构造等。　　 在试验设计理论中，一个最关键的问题是“最优”设计的获取。人们需要在一些合理的假设下使用最优设计来准确刻画因子效应，从而做出正确的统计推断。最优设计一般是在一些候选设计中根据某些准则筛选出来的。因析设计可以分为两大类：正规设计和非正规设计。研究人员提出了各种各样的最优准则来评估因析设计的优劣。因析设计的第一个准则是用来筛选正规设计的最大分辨度准则，拥有最大分辨度的设计被认为是最优设计，但是达到最大分辨度的设计并不唯一，以至于人们普遍认为分辨度不应该是刻画设计优良性的唯一度量。因此，研究人员提出了最小低阶混杂准则，该准则是基于效应排序原则而提出来的，即低阶效应比高阶效应重要、同阶效应同等重要。最大分辨度准则和最小低阶混杂准则都是针对正规设计而言的。然而正规设计有一个最大的缺憾，那就是对试验次数的限制。在这点上，非正规设计要灵活的多。Deng and Tang(1999)定义了一种广义分辨度和最小G-混杂准则，用来比较和评估两水平非正规对称设计。同年，这两位学者提出了最小G-杂准则的宽松版本一最小G2混杂准则。为了评估一般的非正规对称设计，而不仅限于两水平非正规对称设计，Ma and Fang(2001)提出了最小广义低阶混杂准则。而为了能够比较不同非正规非对称因析设计间的优劣，Xu and Wu(2001)提出了广义最小低阶混杂准则。从探测任意不同试验间相似性的角度考虑，Xu(2003)提出了最小低阶矩混杂准则。超饱和设计是一种重要而特殊的因析设计，早期广为流行的用于评价超饱和设计的准则是E(S2)准则，但是该准则只能评估二水平超饱和设计间的优劣。许多研究文献致力于将该准则推广到更为普遍的情况，avex2准则及其推广x2(D)准则是这其中的代表。鉴于x2(D)准则仅仅度量二因子之间的非正交性，Liu，Fang and Hickernell(2006)将其推广到了能够度量任意t因子间的非正交性，并定义了最小x2准则。　　 为了确保筛选得到的设计确实是全局“最优”的，候选设计的数量往往是巨大的，甚至可能是无限的，比如在没有对定量因子的水平实施离散的情况下，此时所需的计算量将是惊人的。为了节省时间和精力，我们有必要判断两个设计是否等价，是否为同一设计．　　 对因子是定性的设计而言，两个等价的设计称为“组合同构”。而对因子是定量的设计而言，两个等价的设计称为“几何同构”。一般有三种途径来识别等价的设计，一种是利用某种准则，认为在该准则下表现相同的设计是等价的；第二种方法是寻找两设计等价时需要满足的条件，不过现有文献提出的条件大多是必要而非充分的；最后一种方法是开发某种算法，使用计算机搜索的方法判断设计间是否存在等价关系。　　 对等价条件的寻找和相关算法的搜索始于对二水平正规因析设计的研究。研究人员首先发现拥有相同的字长型是等价设计的必要但非充分条件。其后，有学者提出相同的字母型也许是设计等价的充要条件，但是这一猜想随后被一个现实存在的反例推翻。这之后，使用各种工具的各种各样的算法被提出来识别二水平因析设计间的等价性。对二水平因析设计而言，组合同构和几何同构显然是等价的，是同一个概念。但是对高水平设计（水平数大于等于三的设计）而言，这个结论是不成立的。迄今为止，只有两种途径能够为高水平设计间的等价性提供充分必要条件，一种是Clark and Dean(2001)基于Hamming距离提出的充要条件，另一种是Cheng and Ye(2004)基于示性函数提出的方法。　　 众所周知，正规设计可以由一组独立的定义关系唯一确定，但是非正规设计却没有正规设计那样的解析表达方式。一些学者近年来致力于寻求一种既能用来表示非正规设计又能表示正规设计的统一的解析表达式．Fontana，Piston andRogantin(2000)首次将示性函数的概念引入到因析设计的研究之中，并使用示性函数刻画了无重复试验的二水平设计。Ye(2003)推广了示性函数的定义，以便其能够表达具有重复试验次数的二水平设计。Cheng and Ye(2004)更是将示性函数的定义推广到一般因析设计的情况，使其不只是适用于各种二水平设计，而且适用于各种高水平设计。　　 虽然在因析设计的最优准则及等价设计的识别与分类方面已有丰硕的研究成果，但目前仍然存在着不少的问题有待解决．下面我们简略地介绍一下目前仍面临的某些问题以及我们在各章的工作，第一章简要给出一些背景知识和预备知识。　　 第二章研究非对称设计准则间的关系．现有文献已提出如此之多的准则，每个准则有着各自的出发点和优点。然而在许多情况下，基于不同设计准则选择出的最优设计往往是不等价的。这就产生一系列的疑问：实际工作者到底应该使用哪种准则来筛选设计？这些准则间是否存在着某种关系？如果存在的话，是怎样的关系？是否是等价关系？是否存在一种设计在所有准则下都是最优的？本章，我们首次明确给出了非对称设计下广义最小低阶混杂、最小X2和最小低阶矩混杂三者间的解析关系，并证明了广义最小低阶混杂准则和最小X2准则在一般因析设计下的等价性。该结论对于寻找最优设计很有意义，因为某设计一旦达到两准则之一的最优条件即是两准则下最优的，而且准则间的等价性表明该最优设计不但有着因子效应间最小的混杂而且其低维投影设计点也是均匀散布的。此外，我们利用该结论得到了广义字长型的某些下界，并由此给出了一些广义最小低阶混杂设计。最后，我们给出了非对称设计下广义最小低阶混杂和最小低阶矩混杂之间的解析关系，明确表明了两者在对称设计下的等价关系在非对称设计下是不成立的。　　 第三章研究基于复对照的示性函数在一般因析设计中的应用。之前的关于示性函数的研究都只是局限于使用实空间中的一种正交对照，直至Cheng and Ye(2004)使用了更为广泛的标准正交对照基来构造示性函数。然而，他们的结果只适用于实空间上的定量因子设计．基于某些特殊的正交对照的示性函数可能能够传达更多的信息，因而值得我们探讨．本章我们利用定义于复空间上的示性函数来研究设计的投影性质，评估素数幂水平的组合非同构设计．Bailey(1982)首次使用复对照来描述素数水平的因子效应，Kobilinsky(1985)以及Kobilinsky andMonod(1991)将Bailey的工作推广到不同因子水平的情况，Edmondson(1994)讨论了复对照和多项式对照间的关系。本章使用基于复对照的示性函数研究素数幂水平设计的性质，从度量因析设计相对混杂度的角度出发给出了广义分辨度的一种新定义并通过示例展示了其统计意义。Evangelaras，Koukouvinos，Deanand Dingus(2005)中分辨度的定义是我们的广义分辨度在三水平设计时的特例；对正规设计，我们的广义分辨度等价于传统的分辨度的定义。虽然组合同构的设计在广义最小低阶混杂准则下有着相同的广义字长型，但是正如Evangelaras，Koukouvins，Dean and Dingus(2005)所述，广义最小低阶混杂准则能够识别出许多组合非同构的设计，但是并不能识别出全部。我们在本章提出了一种最小杂合混杂准则，最小G2-混杂准则是该准则在二水平设计时的特例，而且该准则在三水平设计下与广义最小低阶混杂准则是等价的。此外，我们的准则可以识别出广义最小低阶混杂准则所不能识别的组合非同构设计。　　 第四章讨论对称设计几何同构的识别问题。用于识别几何同构的充要条件是由Clark and Dean(2001)首先给出的。这之后，Cheng and Ye(2004)基于多项式对照的示性函数提出了另一种识别几何同构的充要条件。Xu(2009)基于定义关系考虑了一种“删除一个因子”的算法，然而对于没有对照关系的非正规设计而言，这种算法不一定象对正规设计那样有效。本章提出了某些新的识别素数幂水平几何同构设计的充要条件，并且给出了一种相应的算法，该算法相对于Clarkand Dean(2001)以及Ye(2003)的算法而言能够节省大量的计算。对于两个有着N次试验n个因子并且水平数为q的对称设计，为识别出两者间是否存在几何同构的关系，理论上我们的算法最多需要nl2n次比较，并且每次比较需要O(N2)次运算；而Clark and Dean(2001)的算法则需要n(n1)2次比较，每次需要0(N1)次运算；Ye(2003)则需要n(n1)2n次比较，每次需要qn次运算。我们还给出了一种构造几何非同构的强度为2的q水平对称正交表的方法，以及几何非同构的18次试验3水平正交表的搜索结果。最后我们指出，对任意的对称设计，不管其水平数是否为素数，我们的主要理论结果都是成立的。　　 第五章对本论文的主要工作进行了总结与讨论。