【摘 要】
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本文以数学机械化思想为指导,在导师张鸿庆教授提出的AC=BD理论下,借助于符号计算软件Maple,来研究非线性微分方程求解中的一些问题。其中Darboux变换就是一种十分有效的方法
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本文以数学机械化思想为指导,在导师张鸿庆教授提出的AC=BD理论下,借助于符号计算软件Maple,来研究非线性微分方程求解中的一些问题。其中Darboux变换就是一种十分有效的方法,它从孤子方程的一个平凡解出发能够求出一系列精确解。文章主要内容可概括如下:第一章介绍了数学机械化及其相关学科的发展,围绕微分方程的求解理论和计算机代数的关系,简述了相关方面的国内外研究和发展概况。第二章考虑了微分方程的AC=BD理论,介绍了C-D对理论的基本内容和思想,AC=BD理论侧重于对微分方程变换的机械化构造,可以把复杂问题转化为简单问题,把变系数问题转化为常系数问题,把非线性问题转化为线性问题来解决。第三章介绍了Darboux变换研究的历史和它的一般理论。四五两章以Levi,KPII和mKP方程为例,借助谱问题的规范变换,构造出这些2+1维孤子方程的Darboux变换,并且利用Darboux变换求得这些2+1维孤子方程的新孤子解。
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