鉴于直接估计该余项的上界相对比较困难，而往往是通过研究其平方均值寻求支持,所以本文第一章使用解析方法研究了(a,a,b)型三维除数问题的余项△(a,a,b)的平方积分均值,由于a=1的情况已被解决,且若a|b或(a,b)=d>1,均可归结至已解决的情形中,所以本文将研究a≥2且(a,6)=1时的情形,特别地,对于6>5a/2,得到了较好的估计.我们将证明以下定理:定理设T≥2,a,b为整数且满足a≥2及(a,6)=1,则有其中,在本文第二章巾,设n为整数,令r(n)表示将n写为两个平方数的和的方法个数,q3(n)为无立方冈子数的特征函数,P(x)为高斯圆内格点问题的余项.令则容易看出,函数q3(n)r(n)表示的是将一个无立方因子数表示为两个平方数的和的方法个数.对于长区间的情况,已有相关参考文献研究过,我们将研究小区间的情形.本文第二章将证明以下结果:如果 P(x)=O(x<θ>)(θ<1/3)成立,则对于x<θ+ε>≤y≤x,有 Q<,3>(x+y)-Q<,3>(x)=C<,y>+O(yX<-ε/2>+X<θ+ε>),其中C为常数.特别地,此结果对于θ=131/416成立.