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约束矩阵方程广泛应用于自动控制、振动理论、计算物理、非线性规划等领域.本篇博士论文系统地研究了下列几类约束矩阵方程问题:问题I给定A∈Cm×n,B∈Cm×n,正实数s,求X∈S ? Cn×n,使得AX = B,且r(X) = s.若有解,设S1 = {X∈S|AX = B},求m = minX∈S1 r(X),M = Xm∈aSx1 r(X),以及Sm? = {X | r(X) = m,X∈S1}问题II给定A∈Rp×m,B∈Rn×q,C∈Rp×n,D∈Rm×q,正实数s,求X∈Rm×n,使得AX = C,XB = D,且r(X) = s.若有解,设S1 = {X∈Rm×n|AX =C,XB = D},进一步求(?)X∈S1 r(X),M = Xm∈aSx1 r(X),以及Sm? = {X | r(X) = m?,X∈S1}问题III给定矩阵X∈Rn×m,B∈Rm×m,求(?)Rn×n,使得XTAX = B.问题IV给定X?∈Cn×n,求X?∈Sm?使得(?)其中Sm?是问题I或问题II或问题III的解集合, ||·||为Frobenius范数,集合S是满足某些约束条件的矩阵类.本文主要研究成果如下:1.当S分别取CRn×n(P), Can×n(P) , CSRn×n, ACSRn×n , BSRn×n, BASRn×n, SASRn×n和ASSRn×n时,利用矩阵对的广义奇异值分解,得到了定秩解的解集合;对于最小秩解的解集合Sm?,得到了最佳逼近解.2.当S分别取SRn×n ,ASRn×n时,首先借助于矩阵秩的理论,对矩阵方程AX =B的对称、反对称解的秩进行了分析讨论,进一步得到了矩阵方程AX = B的对称、反对称定秩解以及对称、反对称最小秩解的表达式.进而得到了最小秩的最佳逼近解.当S分别取BSRn×n, BASRn×n时,利用这两类矩阵的表示定理和SVD分解方法,获得了问题I可解的充要条件以及通解的表达式,对于最小秩解的解集合Sm?,得到了最佳逼近解.3.对于矩阵方程组AX = C,XB = D有解的充分必要条件以及解的一般表达式早已获得(可见文献[61]).文[61]利用极小半模(minimum seminorm g-inverse)研究了矩阵方程组AX = C,XB = D的定秩解.对于问题IV,文[61]中没有研究,且利用文[61]中的结果,无法解决问题IV.因此本博士论文利用了完全不同于文[61]的思想和方法,利用矩阵分块技术和相应的秩的理论,圆满的解决了问题II,IV.通过Moore-Penrose广义逆给出了定秩解的表达式,进一步利用奇异值分解和分块技术,给出了最小秩解的表达式,从而获得了问题IV唯一最佳逼近解的表达式.此外,利用集合SASRn×n, ASSRn×n中矩阵的表示定理,给出了问题I解存在的充要条件和通解的表达式,并就相应问题IV给出了唯一最佳逼近解的表达式.4.利用矩阵的广义奇异值分解方法,研究了产生于振动理论中的约束矩阵方程XTAX = B的反中心对称和反对称正交对称的与给定矩阵X?的最佳逼近解问题,得到了问题的解存在的条件及通式的表示.此博士论文得到国家自然科学基金和高校博士学科点专项科研基金的资助.此博士论文用LATEX2ε软件打印.