本论文主要利用集中紧原理、山路引理、临界点理论等理论工具讨论含Hardy位势的椭圆方程解的存在性问题：一是研究一类带Hardy位势的双调和方程特征值问题的可解性；二是研究一类双重调和方程非平凡解的存在性问题；三是研究一类含位势Sobolev-Hardy极值函数的估计；最后，利用估计结果研究了一类含Sobolev-Hardy临界项的椭圆型方程解的存在性问题．　　 第二章研究了在R4中含Hardy位势1/|x|4（ln R/|x|）2的双调和方程的特征值问题．这一章主要是在新的Hilbert空间H研究该问题，它是HO2（Ω）定义新范数而得到的完备化空间．我们利用Hardy-Rellich不等式，证明了双调和方程的特征值问题在H中存在一个非平凡解．　　 第三章讨论了-类双重调和方程非平凡解的存在性问题．先证明相应的嵌入HO2（Ω）→Lq（Ω，f）是紧的．随后，利用Sobolev-Hardy不等式、紧嵌入HO2（Ω）→→Lq（Ω，f）和山路引理，我们给出了方程解的存在性结果．　　 第四章研究了一类含位势Sobolev-Hardy极值函数的估计．这类函数是相应的最佳位势Sobolev-Haxdy常数的达到函数．运用细致的分析方法，对这一类极值函数进行了截断误差估计，这些估计结果对于研究带有含Sobolev-Hardy临界项的椭圆方程解的存在性具有重要意义．　　 第五章讨论了一类含Sobolev-Hardy临界项的椭圆型方程解的存在性问题．主要利用第四章的估计、集中紧原理和山路引理，我们给出了方程至少存在两个正解的结论．