随着计算机的高速发展,人们提出了许多有效的数值方法去解决实际中的工程问题,如有限元方法(FEM)。但是,由于网格的形状会直接影响计算精度,所以FEM对网格的质量要求非常高。为克服这一难题,仅基于低质量网格的光滑有限元方法(S-FEMs)和一些无网格的方法被建立,并广泛地应用于固体力学、热传导学和结构声学等复杂的领域中。本文将对这两类数值算法进行相应的理论分析。第2章的G~s空间理论是依赖于弱弱形式(W2)模型建立的,因此以该空间为基础的S-FEMs和光滑点插值(S-PIMs)等数值方法能很好地处理低质量或严重变形的网格问题。我们首先在Liu等人建立的G~s h空间理论的基础上,从数学角度精确地阐述了不依赖于形函数选取的G~s空间及其范数的一般化定义。和希尔伯特空间H~1相比,G~s空间中的范数具有下界性,并收敛于H~1范数,这为W2形式中解的收敛性奠定了理论基础。除此之外,我们进一步探讨了G~s范数的等价性,以确保基于空间的W2形式的数值方法是稳定的。这些结论极其重要,对今后在G空间上建立的数值方法提供了有力的理论依据。在第3章中,我们提出了一种直接的强形式无网格配点方法(直接的Kansa方法),用于求解黎曼流形上的椭圆偏微分方程。该流形是任意余维数的,且需满足光滑、闭合、连通和完备的条件。这种方法采用了强形式的多配点方法和最小二乘法。除了采用一些约束在流形上的一般嵌入空间的核函数外,该方法的计算过程和一般区域型的方法相同。本文主要应用解析和近似的方法来处理流形上的变换微分算子,且仅在流形上进行配点。我们在给定了一些基本的光滑性假设的基础上,证明了直接无网格配点方法的高阶收敛性。最后,为验证前两章中分析的理论成果,我们分别使用相应的数值方法求解数值实例。(1)与基于弱形式的FEM对比,我们采用典型的S-FEM,即基于节点的NS-FEM和αS-FEM,来求解数值实例,以证实G~s空间的性质。另外,我们应用NS-FEM求解二维固体力学问题,提出了有效的修正方法来计算其固有值的下界。(2)我们在各种余维数的流形上进行数值模拟,分别比较了在数值和理论的配点设置下、以及采用两种直接的Kansa方法得到的结果,以验证流形上无网格配点方法的收敛性;并用解析的方法求解了曲面上的浅水方程。