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本文考虑的是势垒函数Bc及其一些基本性质. 关于Hamiltonian动力系统的研究除了熟知的KAM理论之外,最主要的问题就是讨论近可积系统在通有的扰动下的拓扑稳定性了.KAM理论回答了关于两个自由度的自治Hamiltonian系统具有通有的稳定性.对于高维系统的情况就很复杂了.V.I.Arnold用两个自由度的时间周期强迫 Hamiltonian系统 H=H0+(∈)H1否定了通有稳定性的猜想,这里 H0=1/2(I21+I22）, H1=(cos(φ)1-1)十μP, P=(cos(φ)1-1)(sin(φ)2+cost). 这就是著名的Arnold扩散现象. 在Arnold扩散中最关键的就是所谓的gap问题.经过J.Mather等人的研究,取得了一定的进展,但是对高维问题依然没有解决.文[15],[16]是高维情况的一种尝试,作者希望将[14]的结果推广到高维.在文[14]中我们得到了一种约束极小轨道,其主要的技术困难在于构造约束使得约束轨道不越过约束.证明约束轨道不越过约束强烈依赖实直线上点的序关系.但是对于高维情况就没有序关系了,所以必须寻找新的方法.在[16]中,J.Mather利用一种新的变分原理给出了在这种变分原理下的最小作用构形具有我们想要的性质.这里主要的技术困难在于如何说明新的变分原理下的最小构形与原来的变分原理下的Euler-Lagrangian流对应.从新的变分原理的构造来看,这就是要说明在新的变分原理的最小作用构形是被限制在构形空间M的适当区域内.这类似于说明约束最小轨道不越过约束.在他的工作中势垒函数Bc扮演了很重要的角色. 本文的主要内容是证明映射c→{B*c=0}具有上半连续性.为此我们先在第二章介绍一下Mather理论的主要内容,包括正定Lagrangian系统最小测度的有关理论和连接轨道相关结论.在第三章中陈述并证明了本文的主要定理,其主要的想法来源于文[15],[16]及[6]另外通过对环面上的单调扭转映射的讨论,说明了在一般情况下c→{B*c=0}的下半连续性是没有的.在本章的§3中说明了这里的势垒函数实际上是Peierls势垒的一个高维推广.在本文的最后用单调扭转映射阐明了Bc和B*c的区别.