孤立子方程是以物理问题或现象作为背景而提出的一种数学模型,在数学领域的研究中,既推动了数学的发展,如Lie群在微分方程中的应用,也使人们对孤立子这一物理现象的认识更为深刻,进而提出更多的模型来研究相关性质。孤立子理论作为应用数学和数学物理的一个重要组成部分,其研究内容和方法是十分丰富的,可以通过几何的工具和方法建立孤立子方程,可以用Lie代数理论等进行可积系统的研究,也可以利用数值分析的方法进行孤立子方程解的研究。近年来,国内外学者以不同的风格从不同的角度推动着这一理论向前发展。本文在已有工作的基础上,由自对偶Yang-Mills方程的约化产生可积系统,由对称空间及齐次空间产生可积系统并研究黎曼曲率张量表示,由一些矩阵和算子Lie代数生成可积晶格族,并研究其拟哈密顿形式和达布变换;利用对称等对非线性演化方程进行约化求解;利用分数阶导数与局部分数阶导数研究分数阶微分方程及其应用。本文共分为五章。第一章介绍所研究问题的背景和研究意义、研究现状以及本文的主要工作。第二章研究可积系统及其有关性质。第二节利用时空对称得到自对偶的Yang-Mills方程的一个约化,并建立一个Lax对。通过一个适当的指数变换,变换此Lax对得到一个新的Lax对,它的相容性条件产生一些偏微分方程。第三节引进二次算子?_x和?_y的线性静态方程,由特征函数为N阶的多项式得到一个线性演化方程。在齐次空间下由两个线性方程的可积性条件得到了一个二阶方程流。作为厄米特对称空间的应用,我们引进一对谱问题,由此得到了一个新的(2(10)1)维广义薛定谔方程。第四节给出了两类矩阵Lie代数,由此建立了相应的两类loop代数。我们利用第一类loop代数获得了一个新的(1+1)维的可积离散族。利用第二类loop代数引入一个等谱问题推导出了一个新的可积离散族,利用由屠规彰提出的迹恒等式推导出它的拟哈密顿结构。也获得了后面的可积离散族的一个约化离散系统的一类Darboux变换。我们通过一个矩阵Lie代数根据一个给定的谱问题引进两类算子Lie代数,利用r-矩阵理论获得一些新的晶格可积系统,包括两个(2+1)维的晶格系统。第三章研究非线性演化方程的对称约化与求解。第一节通过经典的Lie群法和推广的对称法分析(2+1)维的推广的PainlevéBurgers系统。第二节把连续的经典的Lie群法推广到微分-差分方程,李群技巧、对称约化法及有理展开法被用来研究微分-差分方程。约化的相对Toda晶格系统被用来作为一个例子来阐述这个解的过程。第四章研究分数阶微分方程。介绍分数阶导数的定义,分形空间与连续空间的转变,分形空间中基本力学定律,分数阶微分方程的求解方法。通过分数阶变换,利用修正的指数函数法求解分数阶的微分方程,比如分数阶的Benjamin-Bona-Mahony(BBM)方程、分数阶的Whitham-Broer-Kaup(WBK)方程及分数阶的Hirota-Satsuma(HS)方程。用变分迭代法求解局部分数阶导数下两个修正的KdV方程。第五章总结了本文的主要结果,并对后续的研究进行了展望。