分支现象是偏微分方程中的一类很重要的非线性现象.它反映了由于系统参数的变化,系统的拓扑结构发生质的变化.分支问题的研究,无论在理论上,还是现实应用中,都具有十分重要的意义.本文关注的偏微分问题为半线性反应扩散系统,所关注的分支问题为稳态分支问题和Hopf分支问题.本文的研究内容如下:首先,研究了一类刻画毛发增长问题的空间齐次反应扩散模型的Hopf分支问题.给出了系统的局部Hopf分支的存在性条件,分支点的解析表示,分支周期解在分支点附近的解析表示,以及分支周期解的稳定性等问题.特别地,证明了系统存在两个可以分支出空间齐次周期解的分支点.我们的研究结果表明,系统参数p很大时,系统所产生的空间齐次周期解均为稳定的.这部分研究工作的创新之处在于,首次研究了该系统的Hopf分支问题,从而揭示了该系统的时空周期斑图的存在性.其次,研究了上述刻画毛发增长问题的空间齐次反应扩散模型的稳态分支问题.给出了系统产生局部及全局稳态分支的存在性条件.对于局部分支,给出了系统的稳态分支点精确个数的条件.这部分研究工作的创新之处在于,给出了系统的全局稳态分支定理,并给出了系统的稳态分支点精确个数的条件.最后,研究了一类刻画图灵版图的反应扩散Maginu模型的Hopf分支问题.给出了系统产生Hopf分支的存在性条件,分支点的解析表示,分支周期解在分支点附近的解析表示等问题.特别地,证明了该系统的所有的时空周期解均是不稳定的.这部分研究工作的创新之处在于,首次研究了该系统的Hopf分支问题,从而揭示了该系统的时空周期斑图的存在性。