【摘 要】
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本文我们研究平面Galilean型李共形代数PG（a,b）和pg（a,b）,以及Galilean-Virasoro型李共形代数GD（a,b）和gd（a,b）的结构和表示理论,其中a,b均为复参数.这里,PG（a,b）和GD（a,b）是无限秩圈李共形代数,而pg（a,b）和gd（a,b）是有限秩李共形代数.第1章介绍研究背景以及本文的主要结果.李共形代数结构是由代数学家V.Kac[1]在1996年研
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本文我们研究平面Galilean型李共形代数PG（a,b）和pg（a,b）,以及Galilean-Virasoro型李共形代数GD（a,b）和gd（a,b）的结构和表示理论,其中a,b均为复参数.这里,PG（a,b）和GD（a,b）是无限秩圈李共形代数,而pg（a,b）和gd（a,b）是有限秩李共形代数.第1章介绍研究背景以及本文的主要结果.李共形代数结构是由代数学家V.Kac[1]在1996年研究共形场论时给出.这一新的代数结构可以看成是李代数的推广[2].李代数理论中的Lie定理和Engel定理都有相应的共形版本.但是并不存在共形版本的Levi定理,这导致非半单李共形代数理论变得更加复杂.本文研究的两类Galilean型李共形代数都是非半单的,且与著名的Virasoro李代数密切相关.因而研究它们的结构理论和表示理论非常有意义.第2章主要研究无限平面Galilean型李共形代数PG（a,b）的结构和表示理论.我们首先决定PG（a,b）的共形导子,证明了所有的共形导子都是内导子.然后,我们分类PG（a,b）的秩一共形模.我们还给出了有限平面Galilean型李共形代数pg（a,b）的结果.最后,我们分类PG（a,b）的Z-分次自由中间系列模.第3章研究有限平面Galilean型李共形代数pg（a,b）的表示理论.我们首先证明一个关于pg（a,b）的零化代数某个子商代数表示的技术引理.然后,我们通过证明pg（a,b）的有限不可约共形模必定是秩一自由的,给出这些模的完全分类.最后,我们比较了欧几里德群E（2）,并讨论了相关的密度模.第4章主要研究无限Galilean-Virasoro型李共形代数GD（a,b）的结构和表示理论.我们首先决定PD（a,b）的共形导子,证明了所有的共形导子都是内导子.然后,我们分类GD（a,b）的秩一共形模.我们还给出了有限Galilean-Virasoro型李共形代数gd（a,b）的结果.最后,我们分类GD（a,b）的Z-分次自由中间系列模,并将我们的结果与Heisenberg-Virasoro型李共形代数作了总结对比.第5章研究有限Galilean-Virasoro型李共形代数gd（a,b）的表示理论.我们首先通过证明gd（a,b）的有限不可约共形模必定是秩一自由的,给出这些模的完全分类.这里关键的步骤是分类gd（a,b）的零化代数某个子商代数的表示.然后,我们研究gd（a,b）的有限不可约共形模的扩张问题.作为副产品,我们还得到了gd（a,b）的新的不可分解共形模.第6章探讨可进一步研究的问题.一方面,基于第3章关于有限平面Galilean型李共形代数pg（a,b）的有限不可约共形模的分类结果,我们后续将研究这些不可约共形模的扩张问题.另一方面,由于李共形超代数理论要比李共形代数理论复杂有趣的多,因而构造并研究本文的Galilean型李共形代数的超结构也是值得进一步研究的问题.本文总共有表6张,参考文献96篇.
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