数学形态学诞生于二十世纪六十年代,它是在格论与群论等代数理论的基础上,通过构建膨胀、腐蚀、开启、闭合四个基本算子以及它们之间的运算实现对图像的分析和处理。G.Matheron和J.Serra等人创建了用于二值图像分析的数学形态学。二值图像被看成集合,可以运用有关的集合运算(如包含、并、交、补和平移等)对原始图像探测,相关的数学理论工作已经发展的很完善。1978年,D.Digabel和C.Lzatuejoul又提出了灰度图像的数学形态学,人们对灰度形态学算子(膨胀、腐蚀、开启、闭合等)的定义与性质等进行了研究。然而,这方面仍有大量的问题有待解决。本论文研究了灰度膨胀方程??g?f?h(*)和灰度腐蚀方程??g?f?h(**)其中g,h为已知的灰度函数,f为未知量,,g g??分别为灰度膨胀、腐蚀算子,解的存在性和全体解的结构,得到了如下主要结果:定理4.1(*)有解当且仅且??g?h是它的解。定理4.3若(*)有解,则f为(*)之解当且仅当存在某个?g h?????,,??g f h?????(??g,h?的定义见正文)。定理4.4(**)有解当且仅且()g?h是它的解。定理4.6若(**)有解,则f为(**)之解当且仅当存在某个?g,h?????,??g h f?????(??g,h?的定义见正文)。另外,本文还研究了具体的平坦膨胀方程和平坦腐蚀方程。