在过去的三十多年中,著名的Black-Scholes-Merton模型被认为是研究期权定价问题的重要且有效的工具.然而,最近有大量证据表明,Black-Scholes-Merton模型中常数波动率的假设并不准确.在金融市场中,风险资产的波动率更适合于用随机波动率模型来描述.本文研究随机波动率模型和金融衍生品定价问题,包括以下四个方面：在第二章中,我们研究具多种风险原生资产的随机波动率模型及欧式期权定价问题.假设波动率是紧集上快扩散过程的函数,我们得到了类似于Black-Scholes方程的多资产欧式期权定价方程,通过奇异摄动分析方法和多尺度技巧,建立了该定价方程的渐近展式解和一致有效的误差估计在第三章中,我们考虑带有随机利率的随机波动率模型.除了假设随机波动率过程是紧集上快扩散过程的函数之外,还假设随机利率过程为慢扩散过程,即满足CIR模型.在适当的条件下,我们建立了一类利率衍生品的定价偏微分方程,并得到衍生品一阶近似价格的精确表达式以及一致有效的误差估计.在第四章中,我们考虑金融市场中随机波动率模型的杠杆效应.从数学角度描述了杠杆效应这一金融现象,给出了具有时间结构的杠杆作用(量)及杠杆效应存在的充分条件.在第五章中,我们考虑非光滑收益函数条件下的随机波动率模型.通过奇异摄动分析方法,利用磨光逼近的技巧,我们求解带有小参数的定价方程,得到期权价格一致渐近展开式和一致有效的误差估计.