线弹性断裂力学(LEFM)是断裂理论中最早的、也是发展最完善的一个分支。其主要任务是确定构型裂纹尖端的应力强度因子。Westergaard应力函数法、Muskhelishvili方法作为解决线弹性断裂力学问题的两种方法,在其发展中起过重要的作用。Muskhelishvili方法将平面弹性问题转化为求解满足一定边界条件的两个复势函数? ( z),ψ( z)。在求解平面孔洞或裂纹问题的各种方法中,复变函数方法(Muskhelishvili方法及其推广)最简单和最严格。Muskhelishvili方法及其推广,都是基于一个保角映射函数,把物理平面上的区域映射成相平面上的单位圆的内部(或外部)或上半平面(或下半平面)去求解。只要保角变换函数能找到,缺口或裂纹问题的解在原则上就能求出来,虽然计算有时很复杂,这种方法称为保角映射法。本文研究了多裂纹及带多裂纹的孔洞问题,裂纹类型为最常见的也最重要的I型、II型和I-II混合型。主要工作包括以下三个方面:第一,利用复变函数的方法,通过构造保角映射研究了具有四条裂纹(一对非对称共线裂纹和一对对称共线裂纹)的圆形孔口的平面弹性问题,得到了应力函数φ(ζ),ψ(ζ),求得了裂纹尖端应力强度因子的解析解。并由此模拟出了具有三条裂纹、对称四条裂纹、非对称共线双裂纹、对称共线双裂纹的圆形孔洞,以及非对称十字裂纹,对称十字裂纹,T形裂纹问题。第二,通过构造新的保角映射,研究了星形裂纹的平面弹性问题、带4k个周期径向裂纹的圆形孔口的平面弹性问题、带2k个周期径向裂纹的圆形孔口的平面弹性问题。分别求得了裂纹尖端应力强度因子的解析解。同时,在极限情形下,分别模拟出了若干已知的结果,并给出了一些新的结果,如共点均匀分布三裂纹,米字裂纹,具有对称四裂纹的圆形孔洞,以及具有对称八裂纹的圆形孔洞等问题的裂纹尖端应力强度因子的解析解。第三,将上述方法应用到新型材料准晶中,研究了一维六方准晶中具有四条裂纹(一对非对称共线裂纹和一对对称共线裂纹)的圆形孔口的反平面剪切问题,给出了裂纹尖端应力强度因子的解析解。在极限情形下,可以模拟出一维六方准晶中具有三条裂纹、对称四条裂纹、非对称共线双裂纹、对称共线双裂纹的圆形孔洞,以及非对称十字裂纹,对称十字裂纹,T形裂纹问题。