【摘 要】
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随着现代科技的发展,人们能够收集到一类具有函数特征的数据,如曲线、曲面、三维图像数据等.这类数据统称为函数型数据.近年来,随着各应用领域的技术创新,函数型数据频繁地出现于生物学、医学、计量经济学、环境科学、生态学等领域.对函数型数据的研究已成为当今统计学研究的热点课题之一.函数型回归作为分析函数型数据的一个重要工具,被广泛的应用于各大应用领域.函数型线性模型是函数型回归中最重要的模型之一,常被用于
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随着现代科技的发展,人们能够收集到一类具有函数特征的数据,如曲线、曲面、三维图像数据等.这类数据统称为函数型数据.近年来,随着各应用领域的技术创新,函数型数据频繁地出现于生物学、医学、计量经济学、环境科学、生态学等领域.对函数型数据的研究已成为当今统计学研究的热点课题之一.函数型回归作为分析函数型数据的一个重要工具,被广泛的应用于各大应用领域.函数型线性模型是函数型回归中最重要的模型之一,常被用于刻画函数型变量之间的线性关系.本文主要研究几类函数型线性模型的估计和变量选择问题.研究的模型包括函数型变系数混合效应模型,响应变量和协变量均为函数的函数型线性模型,响应变量为标量而协变量为函数的函数型线性模型,以及协变量既有函数也有标量的部分函数型线性模型.具体地,本文的研究内容包括以下几个方面.首先在稀疏函数型数据或纵向数据框架下,研究了函数型变系数混合效应模型的估计问题.基于广义最小二乘法和改进的局部线性光滑方法,构造了模型中变系数函数的估计.在一定条件下,证明了所得估计的一致相合性和逐点渐近正态性.所提出的方法不仅将函数个体内部的相关结构纳入估计过程,而且在估计变系数函数在某一目标点处的值时,利用的是响应变量曲线格子点上的所有观测值信息,而不只是该目标点邻域内的观测值,从而提高了估计的效率.模拟研究和实例分析验证了所提的方法是有效的.对响应变量和协变量均为函数的函数型线性模型,首先考虑其变量选择问题.基于函数型主成分分析方法和分组惩罚思想,提出了一种变量选择方法.该变量选择方法可以同时识别出模型中的重要协变量和估计相应的二元函数型系数.采用一个数据驱动的选择程序来选取合适的调节参数,从而保证了所提变量选择方法的高有效性.在一定条件下,证明了所提的变量选择方法可以相合的识别出真实模型,并且得到了函数型系数估计的收敛速度.其次,考虑了模型的稳健估计问题.利用Huber损失函数和B样条估计方法,通过对函数型系数的二阶导数进行惩罚,构造了函数型系数的稳健惩罚M估计.模拟研究和实例分析验证了所提变量选择方法和稳健估计方法的有效性.对于响应变量是标量的函数型线性模型,首先考虑了协变量仅为函数的线性模型的稳健估计问题.采用一个具有指数平方尾部的改进的Huber损失函数和函数型主成分分析方法,构造了模型中函数型系数的估计,并证明了所得的估计的渐近性质.模拟研究和实例分析说明了所提方法的有限样本性质.其次,考虑了协变量既有函数又有标量的部分函数型线性模型的稳健估计问题.基于改进的Huber损失函数和B样条光滑方法,构造了模型中参数系数和函数型系数的估计,并证明了参数系数估计具有渐近正态性,函数型系数估计可以达到非参数的最优收敛速度.模拟研究说明了所提方法的有效性.最后,将所研究的模型和提出的方法应用于Tecator数据集的分析中,取得了良好的预测效果.
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