随着非线性科学的发展,非线性偏微分方程将数学理论与实际应用紧密联系起来.另外,非线性偏微分方程在物理学、化学、力学等领域大量涌现,比如Schr?dinger-Poisson系统.该系统在量子力学模型和半导体理论中都有出现,它是用来描述与静电场相互作用的Schr?dinger方程孤波解的模型.Schr?dinger-Poisson系统解的存在性和多重性一直是学者们关注的问题.本文利用Hardy不等式,对数Sobolev不等式,山路定理,集中紧性原理以及对称山路定理等变分方法讨论了 Schr?dinger-Poisson问题在不同假设条件下解的存在情况.本文分为三章.第一章,考虑如下带有Hardy项和对数非线性项的Schr?dinger-Poisson系统其中Ω是R3中的有界光滑区域,0 ≤μ<μ:=1/4,μ是最佳Hardy常数.主要目的是研究当非线性项f满足适当的假设条件下,上述系统非平凡解的存在性.具体的说,非线性项f满足(f1)函数f∈C(R,R),而且f(0)=0;(f2)limt→0 f(t)/t=0;(f3)存在C>0及p∈(2,6)使得对于任意的t∈R,|f(t)|≤C(|t|+|t|p-1);(f4)limt→∞F(t)/t4=∞,这里F(t)=∫0t f(s)ds,t ∈ R;(f5)存在σ(0,4),及C1,C2>0使得对于任意的t∈R,f(t)t-4F(t)≥C1|t|2+σ≥-C2t2.我们将利用Hardy不等式,对数Sobolev不等式以及山路定理来证明上述系统有一个非平凡解.第二章,利用集中紧性原理和对称山路定理考虑如下带有临界指数的Schr?dinger-Poisson 系统解的多重性,其中Ω(?)R3是一个有界光滑区域,q ∈[4,6),入,δ是正参数.第三章,考虑如下带有临界和超临界非线性项的Schr?dinger-Poisson系统其中p ∈(4,6),q ∈(6,+∞),b ∈ C(R3,]R+)是一个径向势函数且满足如下条件:(Bi)存在r>0使得lim|x|→0b(x)/|x|r=b0≥0;(B2)b∞O=lim|x|→∞b(x)<∞.根据势函数在零点的性质,我们得到一个紧嵌入结果,再结合山路能量水平的估计,山路定理以及Nehari流形方法,获得了上述系统基态解的存在性.