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本文研究线性和半线性热方程齐次Neumann边值问题乘积控制系统的能控性、时间最优控制的存在性和线性热方程齐次Dirichlet边值问题乘积控制系统的时间最优控制的bang-bang原理.本文的第一部分证明了线性热方程齐次Neumann边值问题在乘积控制之下任意常数目标的精确能控性,我们基于热方程Neumann边值问题的稳态解(实际上也就是初值的积分平均,为常数)的指数稳定性的经典结论[SIAM J.Appl.Math.35(1)1978)1-16],在传统抛物方程第二边值问题加法控制的能控性[J.Dyn Control Syst.2(4)(1996)449-483]和控制变量成本估计[Ann.Inst.H.Poincare Anal.Non Lineaire.17(2000)583-616]的基础上,利用逐步控制(step-by-step controls)的方法,通过分段设计控制函数最终实现了能控性.这一结果是与齐次Neumann边值条件密切相关的,和完全绝热或孤立热交换系统的物理现象实际是吻合的,它与前人所得到的关于Dirichlet边值问题的相关结论有明显的不同.此外,借助于热方程的极值原理,我们也得到了系统不可控方面的结果.需要指出的是,对于线性热方程齐次Dirichlet边值问题乘积控制系统的零能控已经有许多研究工作[SIAM J.Control Optim.41(2003)1886-1900,Z.Angew.Math.Mech.(1)87(2007),14-23],齐次热方程齐次Dirichlet边值问题的一个显著特征是解的L2-模是指数衰减到零的,因此在讨论其乘积控制的能控性时,可以先取控制函数为零,使得状态在大时间后回到零点附近,然后以此时刻的状态作为新的初值,再选取适当的控制函数,最终实现零目标的可控性.但是对齐次热方程齐次Neumann边值问题而言,解尽管也会指数稳定到稳态解(常数)附近,但是我们的目标是任意常数,因此不同于齐次Dirichlet边值问题的可控性,我们需要克服更多的困难才能实现任意常数目标的可控性.由于采取了逐步控制方法,即使对控制函数不做任何限制,实现精确可控的时间也可能很长,这与传统加法控制能使热方程系统的状态几乎“瞬间”到达零目标有本质不同.这就使得研究乘积控制系统的时间最优控制问题变得比较迫切,因此,我们在本文第三部分研究半线性热方程乘积控制系统的时间最优控制问题,其中对控制函数的限制是L∞-模不超过一个正常数.我们考虑的是半线性系统,值得指出的是,我们对非线性函数关于自变量在无穷远处的增长阶没有任何限制.我们首先证明了非线性函数的零点作为特殊目标是精确可控的,其证明的思路与第二部分线性情形类似,但是为了确保非线性项存在的情形下局部解能够持续到大时间存在,需要做更细致的先验估计,使得每一段时间上都能选取出与非线性项相匹配的初始函数,在时长为1的时间段都有局部解.然后对不同时间段上所设计的控制函数进行估计,进而再对相应的状态方程的解做出一致估计,在此基础上,利用紧性定理,最终获得了时间最优控制的存在性.最后,我们在本文的最后一部分研究线性热方程齐次Dirichlet边值问题乘积控制系统时间最优控制的bang-bang原理.对于传统的热方程加法控制系统,汪更生教授等人在bang-bang原理方面取得了一系列重要结果[SIAM J.Control Optim.2008],而对于乘积控制系统,相关的bang-bang原理方面的工作还很少看到,受到他们文章的启发,我们就最简单的线性热方程齐次Dirichlet边值问题的乘积控制系统,研究了bang-bang控制的存在性.