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中图分类号:G633.6文献标识码:A文章编号:1673-1875(2009)23-130-01
“平行四边形的面积计算”是学生第一次用转化的方法探索面积的计算公式,而在探究过程中获得的数学思想、活动经验对以后探索三角形、梯形和圆的面积计算公式具有很强的引领价值,我们一般都要让学生学会“动手操作”,即将平行四边形通过“割补”成长方形,进而分析两种图形的面积之间以及边之间的对应关系,得出平行四边形面积计算公式。但学生对为什么要割补,转化的目的是什么没有深刻的体验,为了突出面积度量意义的角度引导学生自觉产生转化的动机,获得面积转化的直观经验和应用理解,我对平行四边形面积计算的教学方法做些浅显的探索与尝试。
一、教学实践
学具:每桌一个底3分米、高2分米、斜边2.5分米的平行四边形,每人6个1平方分米的正方形的正方形的纸片。
(一)唤醒旧知,猜想公式
1.出示长3分米、宽2分米的长方形纸片,提问;这个长方形的面积是多少?长方形的面积计算公式是怎么推导出来的?
生:这个长方形的面积是6平方分米,长方形的面积=长×宽。
生:长乘宽就是有多少个平方厘米、平方分米、平方米……
生:用面积单位去量,长就是一排的个数,宽就是摆的排数,长乘宽就是面积单位的个数,实际就是长方形的面积。
师:根据面积的意义,长方形的面积是一排的个数乘排数,所以等于长乘宽。(多媒体演示面积推导过程)。
2.出示一个底3分米 高2分米 斜边2.5分米的平行四边形。
师:这个平行四边形的面积是多少?怎么计算?猜猜看。
生:应该用平行四边形的两条边相乘3×2.5=7.5平方分米。
生:不对,应该用底×高3×2=6平方分米。
生:我认为2×2.5=5平方分米。
师:这个平行四边形的面积究竟是多少,你认为应该如何计算?你能通过学具探索解释你的猜想吗?
(二)操作探究,验证猜想
操作学具,讨论交流。
生:我们认为应该是两条边相乘,因为把平行四边形方框推正就是长方形,两条边就是长方形的长和宽,所以3×2.5就是求的平行四边形的面积。
生:我们用1平方分米小正方形发现不好量,所以剪去左边的一个小三角形,移到右边,拼成一个长方形,再用1平方分米的小正方形去量,一排可以摆3个,可以摆2排,这个平行四边形的面积就是底乘高等于6平方分米。
生:我们也发现不好摆小正方形,就沿中间折叠,剪开拼成一个长方形,再用小正方形摆,发现也是6平方分米,也是用底乘高。
师:不少同学都把平行四边形转化成长方形,我们为什么要这样转化转化是否会引起测量结果的变化?
学生交流(略)
师:刚才同学们用1平方分米的小正方形量,发现不好量,就沿高剪开,拼成一个长方形,再用面积单位度量,发现平行四边形的面积=底×高,平行四边形剪拼成长方形后,你能不用量,推导出平行四边形的面积吗?
生:能,因为平行四边形的面积就是剪拼成的长方形的面积,长方形的长就是平行四边形的底,长方形的宽就是平行四边形的高,所以平行四边形的面积=底×高。
根据学生回答,教师多媒体展示推导过程,教学平行四边形的面积计算公式,用字母表示面积计算公式。
(三)重点辨析,理解公式
师:有同学根据平行四边形的框架可以推成长方形,发现平行四边形的面积等于底边乘斜边,应该是3×2.5=7.5平方分米,你们同意他的观点吗?
学生讨论、交流。
生:我不同意,因为平行四边形推成长方形,面积变大了,3×2.5求的是长方形的面积,平行四边形的面积应该比7.5小。
生:我也不同意,我发现用小正方形去摆时,不能摆2.5排,最多摆2排。
生:我发现用3×2.5的长方形画出来比我们的学具大,所以这个平行四边形的面积比7.5小。
教师结合多媒体展示,让学生发现长方形拉成平行四边形,面积变小了,平行四边形推成长方形面积变大了。
师:这个过程中,什么变了,什么没变?
生:平行四边形的底就是长方形的长,没变,平行四边形的底比长方形的宽短了,所以面积变小了。
(四)巩固运用,深化公式
教师讲解例题,进行多层次的训练,教学过程略
二、教学反思
(一)合理猜想是学生数学学习活动的内在动力
数学猜想实际上是一种数学想象,是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实经验基础上,运用非逻辑手段而得到的一种假定,是一种合理推理,本节课先出示一个长方形,引导学生回忆长方形的面积计算公式,多媒体演示用度量的方法推导长方形的面积计算公式的过程,接着教师鼓励学生用自已的思维方式大胆地提出猜想,由于受长方形面积公式的干扰,有的同学认为:平行四边形面积等于两条相邻边的乘积。对于学生的猜想,教师均给予鼓励。因为虽然第一个猜想的结果是错误的,但就猜想本身而言却是合理的,而创新思维的火花往往在猜想的瞬间被点燃,不同的猜想结果又激发起学生进行验证的需要,需要同学们作进一步的探索。因为老师为学生创设了一种民主、宽松、和谐的学习氛围,给了学生充分的思考问题的时间与空间,在这样的课堂教学中教师始终是学生学习活动的组织者、指导者、合作者,在这样的课堂学习中学生乐想、善思、敢说,他们可以自由地思考、猜想、实践、验证……
(二)数学体验是学生探索数学问题的重要途径
《数学课程标准》提出:“要让学生在参与特定的数学活动,在具体情境中初步认识对象的特征,获得一些体验。”体验,是一种积极参与活动的学习方式。 让学生亲历经验,不但有助于通过多种活动探究和获取数学知识,更重要的是学生在体验中能够逐步掌握数学学习的一般规律和方法。深刻的体验活动有助于学生探究发现数学知识,发现数学规律。
本节课从度量意义的本质出发探究平行四边形的面积计算公式时,实现两种图形的转换就成为学生的自觉需要和自然发现,这里需要教师让学生对平行四边形面积度量意义的体验深刻,在操作与想象的对照中反复体验、加深理解,逐步推导出平行四边形的面积计算公式。在学生自觉地将平行四边形转化为长方形时,教师引导学生思考两个问题。一为什么要这样转化,是学生清楚地认识到转化得目的是因为用面积单位度量的需要,二是转化是否会引起测量结果的变化,使学生清楚地也是到转化的前提在于面积大小不能变化,与线段长度的变化无直接联系,围绕着两个问题,引导学生通过摆一摆单位面积,说一说不同算法,找一找底和高代表的意义,比一比摆与算两种方法等学习过程,将面积度量的形象操作逐步过渡到表象形成阶段,通过不同层次的操作体验活动发现数学问题。
(三)有效的数学活动是数学课堂的生命活力
数学教学是数学活动的教学。数学活动必须关注全体学生,充分调动他们主动参与数学活动的积极性,使他们真切地体验、感悟和理解数学,引发数学思考,有效地建构数学知识。这样的活动才是数学?课堂所需要的有效活动,才能全面地实现数学教学的目标。
本节课学生的猜想活动,单位面积的度量操作活动、图形的转化活动,验证猜想活动、交流讨论等活动都是在数学问题的引领下,学生以积极的情感体验和深层次的认知参与为核心的数学活动。对于拉动变形中的面积大小比较,学生出现的不同结论,学生的讨论交流争辩活动都是有思维参与的数学活动,是有数学味的活动,是真实高效的数学活动。
有效的数学活动应该实现数学活动和学生发展,数学活动和学生经验,数学活动和数学思考,活动化和数学化等因素有序而有效地整合。有效的数学活动、深刻的数学体验是数学课堂的生命。
“平行四边形的面积计算”是学生第一次用转化的方法探索面积的计算公式,而在探究过程中获得的数学思想、活动经验对以后探索三角形、梯形和圆的面积计算公式具有很强的引领价值,我们一般都要让学生学会“动手操作”,即将平行四边形通过“割补”成长方形,进而分析两种图形的面积之间以及边之间的对应关系,得出平行四边形面积计算公式。但学生对为什么要割补,转化的目的是什么没有深刻的体验,为了突出面积度量意义的角度引导学生自觉产生转化的动机,获得面积转化的直观经验和应用理解,我对平行四边形面积计算的教学方法做些浅显的探索与尝试。
一、教学实践
学具:每桌一个底3分米、高2分米、斜边2.5分米的平行四边形,每人6个1平方分米的正方形的正方形的纸片。
(一)唤醒旧知,猜想公式
1.出示长3分米、宽2分米的长方形纸片,提问;这个长方形的面积是多少?长方形的面积计算公式是怎么推导出来的?
生:这个长方形的面积是6平方分米,长方形的面积=长×宽。
生:长乘宽就是有多少个平方厘米、平方分米、平方米……
生:用面积单位去量,长就是一排的个数,宽就是摆的排数,长乘宽就是面积单位的个数,实际就是长方形的面积。
师:根据面积的意义,长方形的面积是一排的个数乘排数,所以等于长乘宽。(多媒体演示面积推导过程)。
2.出示一个底3分米 高2分米 斜边2.5分米的平行四边形。
师:这个平行四边形的面积是多少?怎么计算?猜猜看。
生:应该用平行四边形的两条边相乘3×2.5=7.5平方分米。
生:不对,应该用底×高3×2=6平方分米。
生:我认为2×2.5=5平方分米。
师:这个平行四边形的面积究竟是多少,你认为应该如何计算?你能通过学具探索解释你的猜想吗?
(二)操作探究,验证猜想
操作学具,讨论交流。
生:我们认为应该是两条边相乘,因为把平行四边形方框推正就是长方形,两条边就是长方形的长和宽,所以3×2.5就是求的平行四边形的面积。
生:我们用1平方分米小正方形发现不好量,所以剪去左边的一个小三角形,移到右边,拼成一个长方形,再用1平方分米的小正方形去量,一排可以摆3个,可以摆2排,这个平行四边形的面积就是底乘高等于6平方分米。
生:我们也发现不好摆小正方形,就沿中间折叠,剪开拼成一个长方形,再用小正方形摆,发现也是6平方分米,也是用底乘高。
师:不少同学都把平行四边形转化成长方形,我们为什么要这样转化转化是否会引起测量结果的变化?
学生交流(略)
师:刚才同学们用1平方分米的小正方形量,发现不好量,就沿高剪开,拼成一个长方形,再用面积单位度量,发现平行四边形的面积=底×高,平行四边形剪拼成长方形后,你能不用量,推导出平行四边形的面积吗?
生:能,因为平行四边形的面积就是剪拼成的长方形的面积,长方形的长就是平行四边形的底,长方形的宽就是平行四边形的高,所以平行四边形的面积=底×高。
根据学生回答,教师多媒体展示推导过程,教学平行四边形的面积计算公式,用字母表示面积计算公式。
(三)重点辨析,理解公式
师:有同学根据平行四边形的框架可以推成长方形,发现平行四边形的面积等于底边乘斜边,应该是3×2.5=7.5平方分米,你们同意他的观点吗?
学生讨论、交流。
生:我不同意,因为平行四边形推成长方形,面积变大了,3×2.5求的是长方形的面积,平行四边形的面积应该比7.5小。
生:我也不同意,我发现用小正方形去摆时,不能摆2.5排,最多摆2排。
生:我发现用3×2.5的长方形画出来比我们的学具大,所以这个平行四边形的面积比7.5小。
教师结合多媒体展示,让学生发现长方形拉成平行四边形,面积变小了,平行四边形推成长方形面积变大了。
师:这个过程中,什么变了,什么没变?
生:平行四边形的底就是长方形的长,没变,平行四边形的底比长方形的宽短了,所以面积变小了。
(四)巩固运用,深化公式
教师讲解例题,进行多层次的训练,教学过程略
二、教学反思
(一)合理猜想是学生数学学习活动的内在动力
数学猜想实际上是一种数学想象,是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实经验基础上,运用非逻辑手段而得到的一种假定,是一种合理推理,本节课先出示一个长方形,引导学生回忆长方形的面积计算公式,多媒体演示用度量的方法推导长方形的面积计算公式的过程,接着教师鼓励学生用自已的思维方式大胆地提出猜想,由于受长方形面积公式的干扰,有的同学认为:平行四边形面积等于两条相邻边的乘积。对于学生的猜想,教师均给予鼓励。因为虽然第一个猜想的结果是错误的,但就猜想本身而言却是合理的,而创新思维的火花往往在猜想的瞬间被点燃,不同的猜想结果又激发起学生进行验证的需要,需要同学们作进一步的探索。因为老师为学生创设了一种民主、宽松、和谐的学习氛围,给了学生充分的思考问题的时间与空间,在这样的课堂教学中教师始终是学生学习活动的组织者、指导者、合作者,在这样的课堂学习中学生乐想、善思、敢说,他们可以自由地思考、猜想、实践、验证……
(二)数学体验是学生探索数学问题的重要途径
《数学课程标准》提出:“要让学生在参与特定的数学活动,在具体情境中初步认识对象的特征,获得一些体验。”体验,是一种积极参与活动的学习方式。 让学生亲历经验,不但有助于通过多种活动探究和获取数学知识,更重要的是学生在体验中能够逐步掌握数学学习的一般规律和方法。深刻的体验活动有助于学生探究发现数学知识,发现数学规律。
本节课从度量意义的本质出发探究平行四边形的面积计算公式时,实现两种图形的转换就成为学生的自觉需要和自然发现,这里需要教师让学生对平行四边形面积度量意义的体验深刻,在操作与想象的对照中反复体验、加深理解,逐步推导出平行四边形的面积计算公式。在学生自觉地将平行四边形转化为长方形时,教师引导学生思考两个问题。一为什么要这样转化,是学生清楚地认识到转化得目的是因为用面积单位度量的需要,二是转化是否会引起测量结果的变化,使学生清楚地也是到转化的前提在于面积大小不能变化,与线段长度的变化无直接联系,围绕着两个问题,引导学生通过摆一摆单位面积,说一说不同算法,找一找底和高代表的意义,比一比摆与算两种方法等学习过程,将面积度量的形象操作逐步过渡到表象形成阶段,通过不同层次的操作体验活动发现数学问题。
(三)有效的数学活动是数学课堂的生命活力
数学教学是数学活动的教学。数学活动必须关注全体学生,充分调动他们主动参与数学活动的积极性,使他们真切地体验、感悟和理解数学,引发数学思考,有效地建构数学知识。这样的活动才是数学?课堂所需要的有效活动,才能全面地实现数学教学的目标。
本节课学生的猜想活动,单位面积的度量操作活动、图形的转化活动,验证猜想活动、交流讨论等活动都是在数学问题的引领下,学生以积极的情感体验和深层次的认知参与为核心的数学活动。对于拉动变形中的面积大小比较,学生出现的不同结论,学生的讨论交流争辩活动都是有思维参与的数学活动,是有数学味的活动,是真实高效的数学活动。
有效的数学活动应该实现数学活动和学生发展,数学活动和学生经验,数学活动和数学思考,活动化和数学化等因素有序而有效地整合。有效的数学活动、深刻的数学体验是数学课堂的生命。