论文部分内容阅读
摘 要:文章介绍了一种Fast-MCD多变量稳健估计方法，并利用这种方法估计马克维茨投资组合模型中股票期望收益和协方差矩阵，从而减小异常值对投资组合结果的影响。最后利用上证50指数成分股中的10支股票进行了实证分析。
关键词：均值—方差模型 异常值 Fast-MCD方法 稳健估计
中图分类号：F830.59 文献标识码：A
文章编号：1004-4914（2009）06-015-02
马克维茨投资组合模型假定收益率服从正态分布，并利用历史数据来估计期望收益和协方差矩阵。然而大量的实证研究表明，资产收益率的分布存在不对称现象，呈现出尖峰厚尾的特征。而且我们知道，期望收益向量并不是一个十分稳健的估计量，很容易受到样本数据中异常值的影响。Black和Litterman(1992)曾指出，期望收益的微小变化会对资产分配问题产生较大的影响，这种稳健性的缺乏会影响均值—方差最优化模型的广泛应用。进一步，协方差矩阵的估计过程要依赖于期望收益向量估计的精确程度，而期望收益实际上只是对收益率历史数据的简单平均，这种计算方法必定会使得协方差矩阵也受到异常值的影响，从而使协方差矩阵不是稳健的估计量。
如果我们在求解均值—方差投资组合模型时，能够用一种比期望收益向量和协方差矩阵更加稳健的估计量来计算，便会大大降低数据中异常值带来的影响。本文我们就将介绍一种Fast—MCD稳健估计方法，并利用这种方法估计马克维茨投资组合模型中股票期望收益向量和协方差矩阵，从而减小异常值对投资组合结果的影响。最后利用上证50指数成分股中的10支股票进行了实证分析。
一、均值—方差投资组合模型
1952年，哈里.马克维茨在《金融杂志》上发表了一篇题为“资产组合选择”的文章，第一次定量地分析了投资组合中风险与收益率之间的关系，讨论了不确定系统中最优资产组合的选择问题，奠定了现代投资组合理论的基石。他指出，一个理性的投资者总是在保证一定的收益率下追求风险的最小化,通过选择有效的投资组合,从而实现期望效用最大化。
对于一个含有n种资产的投资组合P，在不允许卖空的条件下，马克维茨均值—方差模型可以用下述规划问题表述。其中，μ为期望收益率向量，X为权重向量，∑为各资产收益率的协方差矩阵。
minXT∑X
s.t.μp=XTμ≥r
XTI=1
X≥0
其中，r为投资组合P的预期收益率，I=（1，1，...1）T。
二、Fast—MCD稳健估计方法
1984年，Rousseeuw提出了MCD(Minimum Covariance Determinat)多变量稳健估计方法。虽然具有很高的稳健性，但是由于其算法的复杂性以及当时计算机技术的限制，使之不能得到很好的运用。之后，Rousseeuw和VanDriessen(1999)对MCD方法进行了改良，提出了Fast—MCD方法，大大提高了计算效率。本文我们就将基于Fast—MCD方法来估计稳健的期望收益和协方差矩阵。
1.确定h的值。h=n*a，a是抽取比例，取值范围在0.5和1之间。a越小，它的抵抗离群值能力越强，但是最小不能少于50%，因为少于50%己经不能分辨哪些是正常值哪些是离群值。a默认取值为0.75，而当样本数量比较少时，a一般取0.9。
2.从n个样本中随机抽取p+1个样本，估计出协方差矩阵，并计算其行列式。如果行列式为0，则再随机加入一个样本直到行列式不为0。这时这个协方差矩阵为初始协方差矩阵S0，并利用随机选择出来的样本计算初始样本均值T0。
4.重复500次这个过程，得到500个S3，从中选取det(S3)最小的10组h，继续通过C-Step过程迭代直到收敛，返回使det(sm)最小的那组h的T和S，记为TMCD、SMCD。
5.当n值较大时，把n个样本分成几个部分，例如当n等于1500时，可以把n分成5个子样本，每个子样本包含300个样本。每个子样本也是从各自T0、S0计算得到T1、S1并开始迭代，通过C-Step过程迭代两次得到S3，每个子样本重复500/5=100次，各自得到100个S3。每个子样本从中选取最小的10个S3。然后把子样本合并成一个整体样本，同时把子样本中的10个S3也合并，得到50个S3。将这50个S3所对应的50组h个样本再迭代两次，保留迭代后协方差矩阵行列式值最小的10组h，并继续迭代下去直到收敛，返回使det(Sm)最小的那组h的T和S，记为TMCD、SMCD。
这时，T就是最后求得的稳健均值向量，S是稳健协方差矩阵。
接下来，我们就可以将我们求得的稳健均值向量T和稳健协方差矩阵S带到马克维茨均值—方差投资组合模型中，分别替换掉公式中的μ和∑。
三、中国股市实证研究
为了使股票样本具有代表性，本文选取了上证50指数成分股中的10支股票作为投资组合研究对象，它们分别为浦发银行、上海机场、华夏银行、宝钢股份、中国石化、中信证券、中国联通、上海汽车、国电电力以及申能股份。考虑到配股、送红股等因素对股票价格的影响，我们利用大智慧软件的自动复权功能，直接下载这10只股票复权后的周收盘价，并通过公式Ri,t=(Pi,t-Pi,t-1)/Pi,t-1得出周收益率。其中，Pi,t-1为第t-1期股票i的周收盘价，pi,t为第t期股票的周收盘价。
样本区间选择2006年1月1日至2008年12月31日。一是因为样本区间距离现在比较近，存在一定的滞后效应，由此估计出的期望收益和协方差矩阵对投资组合具有现实的指导意义；再者，期间内上证综指既经历了从1200点不加停歇地狂奔到6000点的牛市阶段，也经历了从顶点一路狂泻到1600点那段令广大股民至今难忘的阶段，仿佛一个轮回，能够比较全面地反映股票市场的特征。加之期间人民币存款利率，存款准备金率进行了多次调整，股票交易印花税几次重要的政策性调整，以及国内国际短期局势的影响，使得股市在这期间也走出了不少独立的行情，从而或多或少地会使得收益率存在一些异常值，而避免这些异常值的影响也正迎合了我们使用稳健估计方法进行投资组合分析的初衷。最后，随着2006年1月1日修订后的《证券法》、《公司法》的实施，股改程序的进一步深入，中国资本市场也日趋成熟，为投资组合理论结合中国资本市场的研究奠定了良好的基础。
为了检验收益率是否服从正态分布，我们计算了样本区间内10只股票收益率的偏度和峰度，计算结果见表1。我们发现各只股票的偏度和峰度相对于正态分布的0值均有不同程度的偏离，比如上海汽车的峰度达到2.02，偏度为0.70，均偏离较远。
通过频率直方图我们能够更加直观地看出收益率分布相比于正态分布呈现出尖峰厚尾的特征。仍以上海汽车为例，图1给出了它的频率直方图。
收益率尖峰厚尾的这种特征就需要我们用稳健的估计方法来得到期望收益向量和协方差矩阵，从而一定程度上避免异常值对投资组合的影响。我们分别计算出这10支股票传统意义上的和用Fast-MCD方法得到的期望收益和协方差矩阵，见表2、表3。
表3中，前面的数字为传统意义上的协方差，后面括号中的数字为通过Fast-MCD方法计算出的稳健协方差。通过观察我们发现，Fast-MCD方法计算出的期望收益与一般意义上得到的期望收益大部分相差比较大，有的差了将近一倍甚至几倍，而中国石化的期望收益干脆从正的变成了负的。而方差协方差普遍减小了。这正是因为Fast-MCD方法在计算过程中不断地寻找个马氏距离最小的样本进行迭代，从而减小了异常值的影响。我们注意观察图1上海汽车的直方图，发现相对于左侧来讲，图中右侧的尾部比较厚，说明数据中偏大的异常值比较多，这样在计算均值的时候这些异常值的贡献大，计算出来的样本均值就会比较大。而采用了稳健估计方法后，我们看到预期收益从0.0069减小到了0.0032，方差以及它与其它支股票的协方差也减小了，降低了异常值带来的影响。
我们将用两种方法估计出的期望收益向量和协方差矩阵带入均值—方差投资组合模型，利用Matlab6.5得到投资组合的有效前沿(图2)。图中纵轴表示投资组合的期望收益率，横轴表示投资组合的标准差。虚线表示将由传统方法估计出的期望收益和协方差矩阵带入模型得到的投资组合有效前沿，实线表示将由Fast—MCD方法估计出的期望收益和协方差矩阵带入模型得到的投资组合有效前沿。我们看到，在相同的预期收益下，很明显由稳健估计方法得到的最优投资组合的风险要小于传统估计方法得到的最优投资组合的风险。例如，我们假设投资组合预期收益率r=1%，通过两种方法得到的投资组合的收益、风险以及组合中各只股票的权重结果如表4所示。
我们看到，在投资组合预期收益率为1%的情况下，由Fast—MCD稳健估计方法得到的最终投资组合的风险明显的小于传统估计方法得到的投资组合的风险。不仅如此，组合中股票的种类以及各只股票的权重也发生了很大的变化。
可见，在资本市场不是很稳定的情况下，利用稳健估计方法，确实能够从一定程度上降低由于短期行情带来的超高或超低收益率历史数据对投资组合有效前沿带来的影响，能够使求得的投资组合更加地趋向于其真正的投资价值。因此，将稳健统计方法引入到投资组合领域是一种十分有益的尝试，也是对传统研究方法的一种有效补充，具有一定的现实意义。
参考文献:
1.Cédric Perret-Gentil,Maria-Pia Victoria-Feser,Robust Mean-Var
iance Portfolio Selection,FAME Research Paper Series rp140,April 2003
2.Ricardo A.Maronna,R.Douglas Martin,Victor J.Yohai,Robust Statist
ics Theory and Methods,Wiley&Sons,2006
3.张树德，MATLAB金融计算与金融数据处理，北京航空航天大学出版社，2008
（作者简介：李双杰，经济学博士，教授，现为北京工业大学经管学院应用经济学科部主任；研究方向：经济计量模型、（金融）企业绩效与效率分析。丁硕，现为北京工业大学经济与管理学院数量经济学专业硕士研究生，研究方向：金融工程。北京 100124）
（责编：若佳）
关键词：均值—方差模型 异常值 Fast-MCD方法 稳健估计
中图分类号：F830.59 文献标识码：A
文章编号：1004-4914（2009）06-015-02
马克维茨投资组合模型假定收益率服从正态分布，并利用历史数据来估计期望收益和协方差矩阵。然而大量的实证研究表明，资产收益率的分布存在不对称现象，呈现出尖峰厚尾的特征。而且我们知道，期望收益向量并不是一个十分稳健的估计量，很容易受到样本数据中异常值的影响。Black和Litterman(1992)曾指出，期望收益的微小变化会对资产分配问题产生较大的影响，这种稳健性的缺乏会影响均值—方差最优化模型的广泛应用。进一步，协方差矩阵的估计过程要依赖于期望收益向量估计的精确程度，而期望收益实际上只是对收益率历史数据的简单平均，这种计算方法必定会使得协方差矩阵也受到异常值的影响，从而使协方差矩阵不是稳健的估计量。
如果我们在求解均值—方差投资组合模型时，能够用一种比期望收益向量和协方差矩阵更加稳健的估计量来计算，便会大大降低数据中异常值带来的影响。本文我们就将介绍一种Fast—MCD稳健估计方法，并利用这种方法估计马克维茨投资组合模型中股票期望收益向量和协方差矩阵，从而减小异常值对投资组合结果的影响。最后利用上证50指数成分股中的10支股票进行了实证分析。
一、均值—方差投资组合模型
1952年，哈里.马克维茨在《金融杂志》上发表了一篇题为“资产组合选择”的文章，第一次定量地分析了投资组合中风险与收益率之间的关系，讨论了不确定系统中最优资产组合的选择问题，奠定了现代投资组合理论的基石。他指出，一个理性的投资者总是在保证一定的收益率下追求风险的最小化,通过选择有效的投资组合,从而实现期望效用最大化。
对于一个含有n种资产的投资组合P，在不允许卖空的条件下，马克维茨均值—方差模型可以用下述规划问题表述。其中，μ为期望收益率向量，X为权重向量，∑为各资产收益率的协方差矩阵。
minXT∑X
s.t.μp=XTμ≥r
XTI=1
X≥0
其中，r为投资组合P的预期收益率，I=（1，1，...1）T。
二、Fast—MCD稳健估计方法
1984年，Rousseeuw提出了MCD(Minimum Covariance Determinat)多变量稳健估计方法。虽然具有很高的稳健性，但是由于其算法的复杂性以及当时计算机技术的限制，使之不能得到很好的运用。之后，Rousseeuw和VanDriessen(1999)对MCD方法进行了改良，提出了Fast—MCD方法，大大提高了计算效率。本文我们就将基于Fast—MCD方法来估计稳健的期望收益和协方差矩阵。
1.确定h的值。h=n*a，a是抽取比例，取值范围在0.5和1之间。a越小，它的抵抗离群值能力越强，但是最小不能少于50%，因为少于50%己经不能分辨哪些是正常值哪些是离群值。a默认取值为0.75，而当样本数量比较少时，a一般取0.9。
2.从n个样本中随机抽取p+1个样本，估计出协方差矩阵，并计算其行列式。如果行列式为0，则再随机加入一个样本直到行列式不为0。这时这个协方差矩阵为初始协方差矩阵S0，并利用随机选择出来的样本计算初始样本均值T0。
4.重复500次这个过程，得到500个S3，从中选取det(S3)最小的10组h，继续通过C-Step过程迭代直到收敛，返回使det(sm)最小的那组h的T和S，记为TMCD、SMCD。
5.当n值较大时，把n个样本分成几个部分，例如当n等于1500时，可以把n分成5个子样本，每个子样本包含300个样本。每个子样本也是从各自T0、S0计算得到T1、S1并开始迭代，通过C-Step过程迭代两次得到S3，每个子样本重复500/5=100次，各自得到100个S3。每个子样本从中选取最小的10个S3。然后把子样本合并成一个整体样本，同时把子样本中的10个S3也合并，得到50个S3。将这50个S3所对应的50组h个样本再迭代两次，保留迭代后协方差矩阵行列式值最小的10组h，并继续迭代下去直到收敛，返回使det(Sm)最小的那组h的T和S，记为TMCD、SMCD。
这时，T就是最后求得的稳健均值向量，S是稳健协方差矩阵。
接下来，我们就可以将我们求得的稳健均值向量T和稳健协方差矩阵S带到马克维茨均值—方差投资组合模型中，分别替换掉公式中的μ和∑。
三、中国股市实证研究
为了使股票样本具有代表性，本文选取了上证50指数成分股中的10支股票作为投资组合研究对象，它们分别为浦发银行、上海机场、华夏银行、宝钢股份、中国石化、中信证券、中国联通、上海汽车、国电电力以及申能股份。考虑到配股、送红股等因素对股票价格的影响，我们利用大智慧软件的自动复权功能，直接下载这10只股票复权后的周收盘价，并通过公式Ri,t=(Pi,t-Pi,t-1)/Pi,t-1得出周收益率。其中，Pi,t-1为第t-1期股票i的周收盘价，pi,t为第t期股票的周收盘价。
样本区间选择2006年1月1日至2008年12月31日。一是因为样本区间距离现在比较近，存在一定的滞后效应，由此估计出的期望收益和协方差矩阵对投资组合具有现实的指导意义；再者，期间内上证综指既经历了从1200点不加停歇地狂奔到6000点的牛市阶段，也经历了从顶点一路狂泻到1600点那段令广大股民至今难忘的阶段，仿佛一个轮回，能够比较全面地反映股票市场的特征。加之期间人民币存款利率，存款准备金率进行了多次调整，股票交易印花税几次重要的政策性调整，以及国内国际短期局势的影响，使得股市在这期间也走出了不少独立的行情，从而或多或少地会使得收益率存在一些异常值，而避免这些异常值的影响也正迎合了我们使用稳健估计方法进行投资组合分析的初衷。最后，随着2006年1月1日修订后的《证券法》、《公司法》的实施，股改程序的进一步深入，中国资本市场也日趋成熟，为投资组合理论结合中国资本市场的研究奠定了良好的基础。
为了检验收益率是否服从正态分布，我们计算了样本区间内10只股票收益率的偏度和峰度，计算结果见表1。我们发现各只股票的偏度和峰度相对于正态分布的0值均有不同程度的偏离，比如上海汽车的峰度达到2.02，偏度为0.70，均偏离较远。
通过频率直方图我们能够更加直观地看出收益率分布相比于正态分布呈现出尖峰厚尾的特征。仍以上海汽车为例，图1给出了它的频率直方图。
收益率尖峰厚尾的这种特征就需要我们用稳健的估计方法来得到期望收益向量和协方差矩阵，从而一定程度上避免异常值对投资组合的影响。我们分别计算出这10支股票传统意义上的和用Fast-MCD方法得到的期望收益和协方差矩阵，见表2、表3。
表3中，前面的数字为传统意义上的协方差，后面括号中的数字为通过Fast-MCD方法计算出的稳健协方差。通过观察我们发现，Fast-MCD方法计算出的期望收益与一般意义上得到的期望收益大部分相差比较大，有的差了将近一倍甚至几倍，而中国石化的期望收益干脆从正的变成了负的。而方差协方差普遍减小了。这正是因为Fast-MCD方法在计算过程中不断地寻找个马氏距离最小的样本进行迭代，从而减小了异常值的影响。我们注意观察图1上海汽车的直方图，发现相对于左侧来讲，图中右侧的尾部比较厚，说明数据中偏大的异常值比较多，这样在计算均值的时候这些异常值的贡献大，计算出来的样本均值就会比较大。而采用了稳健估计方法后，我们看到预期收益从0.0069减小到了0.0032，方差以及它与其它支股票的协方差也减小了，降低了异常值带来的影响。
我们将用两种方法估计出的期望收益向量和协方差矩阵带入均值—方差投资组合模型，利用Matlab6.5得到投资组合的有效前沿(图2)。图中纵轴表示投资组合的期望收益率，横轴表示投资组合的标准差。虚线表示将由传统方法估计出的期望收益和协方差矩阵带入模型得到的投资组合有效前沿，实线表示将由Fast—MCD方法估计出的期望收益和协方差矩阵带入模型得到的投资组合有效前沿。我们看到，在相同的预期收益下，很明显由稳健估计方法得到的最优投资组合的风险要小于传统估计方法得到的最优投资组合的风险。例如，我们假设投资组合预期收益率r=1%，通过两种方法得到的投资组合的收益、风险以及组合中各只股票的权重结果如表4所示。
我们看到，在投资组合预期收益率为1%的情况下，由Fast—MCD稳健估计方法得到的最终投资组合的风险明显的小于传统估计方法得到的投资组合的风险。不仅如此，组合中股票的种类以及各只股票的权重也发生了很大的变化。
可见，在资本市场不是很稳定的情况下，利用稳健估计方法，确实能够从一定程度上降低由于短期行情带来的超高或超低收益率历史数据对投资组合有效前沿带来的影响，能够使求得的投资组合更加地趋向于其真正的投资价值。因此，将稳健统计方法引入到投资组合领域是一种十分有益的尝试，也是对传统研究方法的一种有效补充，具有一定的现实意义。
参考文献:
1.Cédric Perret-Gentil,Maria-Pia Victoria-Feser,Robust Mean-Var
iance Portfolio Selection,FAME Research Paper Series rp140,April 2003
2.Ricardo A.Maronna,R.Douglas Martin,Victor J.Yohai,Robust Statist
ics Theory and Methods,Wiley&Sons,2006
3.张树德，MATLAB金融计算与金融数据处理，北京航空航天大学出版社，2008
（作者简介：李双杰，经济学博士，教授，现为北京工业大学经管学院应用经济学科部主任；研究方向：经济计量模型、（金融）企业绩效与效率分析。丁硕，现为北京工业大学经济与管理学院数量经济学专业硕士研究生，研究方向：金融工程。北京 100124）
（责编：若佳）