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在探究问题思路，解决问题的过程中，对于较为简单的问题，材料的环节序列与联结这些环节的中介是比较明确的，复杂一些的问题，材料环节序列及其联系的中介都不可能直接出现.此时，要想得到问题的思路，必须经由人性能力的展开，在联结某些关键环节的中介中，针对问题题设的结构轮廓，合理利用某些猜想的材料，构成这些关键环节疑似的中介，某种程度上，对解决问题思路的探究形成了奠基性的作用.数学课堂教学中采用探究性学习教法的基本方式是“探索与研究”，因为试验教材的编写思路是以提出问题和解决问题而展开的，课程强调的是知识的形成和发展过程，而不是结果或结论，在课堂教学中，相关知识通过学生的丰富多彩的主体参与来进行研究学习，教师是教学的指导者与合作者.现举两个例子加以说明.
例1 （2012年全国高考四川）设f（x）=2x-cosx （1）.{an}是公差为π8的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π （2），则
[f （a3）]2-a1a5的值为（ ）
（A） 0 （B） π2
16 （C） π28 （D）
13π216
分析：由（1），知f ′（x）=2+sinx>0，知函数f（x）是在
R上的增函数，又因为{an}是公差为
π8的等差数列，知数列{an}是单调递增数列，从而知方程（2）的解（a1，a2，…，a5）至多只有一组（3）；再由{an}是等差数列，知a1+a5=a2+a4=2a3 （4）.由（4）的形式，我们猜想f（a1）+f（a5）=f（a2）+f（a4）=2f（a3） （5），若（5）成立，则由方程（2），知2f（a3）=π，即2a3-cosa3=π （6），因为函数f（x）是在
R上的增函数，知方程（6）至多只有一个实数解，容易验证a3=π2是方程（6）的一个实数解.下面验证a3=π2满足方程（2），当a3=π2时，由{an}是公差为
π8的等差数列，知a1=
π4，a2=
3π8，a4=5π8，a5=
3π4，知f（a1）=2a1-cosa1=
π2-cosπ4，f（a2）=2a2-cosa2=3π4-cos
3π8，f（a3）=2a3
-cosa3=π-cosπ2=π，f（a4）=2a4-cosa2=5π4-cos
5π8=5π4+cos
3π8， f（a5）=2a5-cosa5=
3π2-cos3π4=
3π2+cosπ4，所以（5）成立，也就是说，方程（2）至少有一组解（
π4，3π8，
π，
5π8，3π4） （7）.综合（3）和（7），知方程（2）有且只有一组解a1=π4，a2=
3π8，a3=π，a4=
5π8，a5=3π4，所以
[f （a3）]2-a1a5=π2-π4·
3π4=
13π216.
在阅卷时，这道题目引起了较大的争论，因为，参考答案应用了和差化积公式的变形问题.但是，我们觉得在解答选择题时，猜想等直觉思维的合理引入，其实在很大程度上可以简化问题谨严的逻辑思维过程，应用如此的问题来考查考试的合情推理也是未尝不可的.这道题虽然是一道选择题，我们依然做了认真地分析，从本例思路详尽的逻辑表达过程中，我们发现，由（4）、（5）两式启示，所进行的猜想的结论2f（a3）=π，由于它是选择题，它不要求我们给出解答此题的严谨过程，所要的只是一些比较简单的计算方法，因此，这种猜想的结果，对问题的思路的发现其实起着决定性的作用.
例2 （2012年全国高考广东卷理科第19题）设数列{an}的前n项和Sn=
an+1-2n+1 +1，n∈
N﹡，且a1，a2+5，a3成等差数列.
（Ⅰ）求a1的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数n，由1a1+
1a2 +…+
1an<32（1）
分析：对于问题（Ⅰ）与（Ⅱ），请读者花点时间考虑，它们的答案分别是a1=1，数列{an}的通项公式an=3n-2n（n∈
N﹡）.
对于问题（Ⅲ）：我们考虑使用数学归纳法证明之.
（1）当n=1时，不等式（1）的左边为1，右边是
32，故不等式（1）成立.
（2）假设当n=k（k≥2，k∈
N*）时，不等式（1）也成立，即
∑ki=1
13i-2i
<32
（2）成立.当n=k+1时，我们只要证明
∑k+1i=11
3i-2i<32
（3）就行了.我们希望将不等式（2）与不等式（3）关联起来，由
∑k+1i=1
13i-2i=
∑ki=113i-2i+
13k+1-2k+1<
32+
1
3k+1-2k+1 （4），但是，我们不能说不等式（4）的右边小于
32，此路不通.怎么办？
我们仔细研究
∑k+1i=1
13i-2i
与
∑ki=113i-2i之间的关系，为了使得这两者具有大小的可比性，不像不等式（4）那样，分离出最后一项，而是分离出第一项，即
∑k+1i=113i-2i=1+ ∑k+1i=2
13i-2i
（5），我们猜想到
∑k+1i=2
13i-2i
与∑ki=113i-2i这两者之间具有固定的不等关系，也就是说，
13i+1-2i+1与
13i-2i之间存有固定的不等关系.为了找到线索，我们将前者稍作变形，
1
3i+1
-2i+1=
13·
13i·23·2i
<13·13i-2i ，于是
∑k+1i=2
13i-2i<
13·∑ki=1
13i-2i
（6）（k≥2，k∈
N﹡）.不等式（6）验证了我们的猜想的正确性.所以，由不等式
（2）、（5）、（6），
∑k+1i=1
13i-2i
=1+
∑k+1i=2
13i-2i
<1+13
·∑ki=1
13i-2i
<1+13·32
<32.
综合（1）、（2），知不等式（1）.
在采用数学归纳法证明时，取得了需要证明的不等式（4），思维受到了阻滞，我们发现，如此展开思路已经不行了.我们通过思考，认为这样地进行加法结合运算是导致出现问题的关键所在，于是，我们试探着采用（5）的形式进行加法结合性运算，从而获得了猜想：猜想到
∑k+1i=2
13i-2i
与∑ki=113i-2i这两者之间具有固定的不等关系，再通过探究活动，发现我们的猜想是正确的，从而解决了问题.
经过探究性学习的教与学实践，我们已取得了初步的成效，但还需要进行更加科学的规划和长期的大量的实验，以获得更佳的效果和具有指导意义的结论，以适应新教材的教学理念.
总之，在高中数学教学中开展探究性学习，关键是改变教师教学方式和学生学习方式，在高中数学教学中开展探究性学习，是新世纪数学改革的一个重大举措，是时代发展的紧迫需要，更是学生终身发展的强烈呼唤.随着新一轮的课程改革深入推进，我们数学教师不可回避面临着一次机遇与挑战，探究性学习还存在许多问题急待着我们去思考，需要我们在教学实践中不断探索与完善.
由此，我们看到猜想在数学解题中的重要作用，那么，数学教育教学中，利用合适的材料引导学生进行猜想具有怎样的意义呢？它的最为重要的意义，在于直接关系到人性能力的展开，是发挥人性能力的必经之路.在此，我们引用著名的古希腊哲学史专家严群先生的论述.
“心好比工匠，物好比材料，材料是已有的，工匠用他心中的计划，把材料组织起来而成器皿；有工匠，无材料，工匠莫能施其计，有材料，无工匠，材料不能自成器皿，所以杂乱无章，混然一团的物种必须有心替它们整理起来，才成宇宙万物，心也必须有物种，才能实现它的条理与功用.”这就是说，人的精神是外在于精神的物质的工作台，物通过精神的作用将自然物难于形成的关系达到了加速的关联，使物的有用性得到深刻的体现，并在这一过程中，心自身也得到了砥砺，人性能力得以展开，使人的内在精神创造性得到了发展.基于此，严群的观点应该是极其深刻的见解.
例1 （2012年全国高考四川）设f（x）=2x-cosx （1）.{an}是公差为π8的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π （2），则
[f （a3）]2-a1a5的值为（ ）
（A） 0 （B） π2
16 （C） π28 （D）
13π216
分析：由（1），知f ′（x）=2+sinx>0，知函数f（x）是在
R上的增函数，又因为{an}是公差为
π8的等差数列，知数列{an}是单调递增数列，从而知方程（2）的解（a1，a2，…，a5）至多只有一组（3）；再由{an}是等差数列，知a1+a5=a2+a4=2a3 （4）.由（4）的形式，我们猜想f（a1）+f（a5）=f（a2）+f（a4）=2f（a3） （5），若（5）成立，则由方程（2），知2f（a3）=π，即2a3-cosa3=π （6），因为函数f（x）是在
R上的增函数，知方程（6）至多只有一个实数解，容易验证a3=π2是方程（6）的一个实数解.下面验证a3=π2满足方程（2），当a3=π2时，由{an}是公差为
π8的等差数列，知a1=
π4，a2=
3π8，a4=5π8，a5=
3π4，知f（a1）=2a1-cosa1=
π2-cosπ4，f（a2）=2a2-cosa2=3π4-cos
3π8，f（a3）=2a3
-cosa3=π-cosπ2=π，f（a4）=2a4-cosa2=5π4-cos
5π8=5π4+cos
3π8， f（a5）=2a5-cosa5=
3π2-cos3π4=
3π2+cosπ4，所以（5）成立，也就是说，方程（2）至少有一组解（
π4，3π8，
π，
5π8，3π4） （7）.综合（3）和（7），知方程（2）有且只有一组解a1=π4，a2=
3π8，a3=π，a4=
5π8，a5=3π4，所以
[f （a3）]2-a1a5=π2-π4·
3π4=
13π216.
在阅卷时，这道题目引起了较大的争论，因为，参考答案应用了和差化积公式的变形问题.但是，我们觉得在解答选择题时，猜想等直觉思维的合理引入，其实在很大程度上可以简化问题谨严的逻辑思维过程，应用如此的问题来考查考试的合情推理也是未尝不可的.这道题虽然是一道选择题，我们依然做了认真地分析，从本例思路详尽的逻辑表达过程中，我们发现，由（4）、（5）两式启示，所进行的猜想的结论2f（a3）=π，由于它是选择题，它不要求我们给出解答此题的严谨过程，所要的只是一些比较简单的计算方法，因此，这种猜想的结果，对问题的思路的发现其实起着决定性的作用.
例2 （2012年全国高考广东卷理科第19题）设数列{an}的前n项和Sn=
an+1-2n+1 +1，n∈
N﹡，且a1，a2+5，a3成等差数列.
（Ⅰ）求a1的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一切正整数n，由1a1+
1a2 +…+
1an<32（1）
分析：对于问题（Ⅰ）与（Ⅱ），请读者花点时间考虑，它们的答案分别是a1=1，数列{an}的通项公式an=3n-2n（n∈
N﹡）.
对于问题（Ⅲ）：我们考虑使用数学归纳法证明之.
（1）当n=1时，不等式（1）的左边为1，右边是
32，故不等式（1）成立.
（2）假设当n=k（k≥2，k∈
N*）时，不等式（1）也成立，即
∑ki=1
13i-2i
<32
（2）成立.当n=k+1时，我们只要证明
∑k+1i=11
3i-2i<32
（3）就行了.我们希望将不等式（2）与不等式（3）关联起来，由
∑k+1i=1
13i-2i=
∑ki=113i-2i+
13k+1-2k+1<
32+
1
3k+1-2k+1 （4），但是，我们不能说不等式（4）的右边小于
32，此路不通.怎么办？
我们仔细研究
∑k+1i=1
13i-2i
与
∑ki=113i-2i之间的关系，为了使得这两者具有大小的可比性，不像不等式（4）那样，分离出最后一项，而是分离出第一项，即
∑k+1i=113i-2i=1+ ∑k+1i=2
13i-2i
（5），我们猜想到
∑k+1i=2
13i-2i
与∑ki=113i-2i这两者之间具有固定的不等关系，也就是说，
13i+1-2i+1与
13i-2i之间存有固定的不等关系.为了找到线索，我们将前者稍作变形，
1
3i+1
-2i+1=
13·
13i·23·2i
<13·13i-2i ，于是
∑k+1i=2
13i-2i<
13·∑ki=1
13i-2i
（6）（k≥2，k∈
N﹡）.不等式（6）验证了我们的猜想的正确性.所以，由不等式
（2）、（5）、（6），
∑k+1i=1
13i-2i
=1+
∑k+1i=2
13i-2i
<1+13
·∑ki=1
13i-2i
<1+13·32
<32.
综合（1）、（2），知不等式（1）.
在采用数学归纳法证明时，取得了需要证明的不等式（4），思维受到了阻滞，我们发现，如此展开思路已经不行了.我们通过思考，认为这样地进行加法结合运算是导致出现问题的关键所在，于是，我们试探着采用（5）的形式进行加法结合性运算，从而获得了猜想：猜想到
∑k+1i=2
13i-2i
与∑ki=113i-2i这两者之间具有固定的不等关系，再通过探究活动，发现我们的猜想是正确的，从而解决了问题.
经过探究性学习的教与学实践，我们已取得了初步的成效，但还需要进行更加科学的规划和长期的大量的实验，以获得更佳的效果和具有指导意义的结论，以适应新教材的教学理念.
总之，在高中数学教学中开展探究性学习，关键是改变教师教学方式和学生学习方式，在高中数学教学中开展探究性学习，是新世纪数学改革的一个重大举措，是时代发展的紧迫需要，更是学生终身发展的强烈呼唤.随着新一轮的课程改革深入推进，我们数学教师不可回避面临着一次机遇与挑战，探究性学习还存在许多问题急待着我们去思考，需要我们在教学实践中不断探索与完善.
由此，我们看到猜想在数学解题中的重要作用，那么，数学教育教学中，利用合适的材料引导学生进行猜想具有怎样的意义呢？它的最为重要的意义，在于直接关系到人性能力的展开，是发挥人性能力的必经之路.在此，我们引用著名的古希腊哲学史专家严群先生的论述.
“心好比工匠，物好比材料，材料是已有的，工匠用他心中的计划，把材料组织起来而成器皿；有工匠，无材料，工匠莫能施其计，有材料，无工匠，材料不能自成器皿，所以杂乱无章，混然一团的物种必须有心替它们整理起来，才成宇宙万物，心也必须有物种，才能实现它的条理与功用.”这就是说，人的精神是外在于精神的物质的工作台，物通过精神的作用将自然物难于形成的关系达到了加速的关联，使物的有用性得到深刻的体现，并在这一过程中，心自身也得到了砥砺，人性能力得以展开，使人的内在精神创造性得到了发展.基于此，严群的观点应该是极其深刻的见解.