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函数的最值问题，经常出现在中学各试题中，巧妙利用向量求函数的最大值，最小值等，可以使一些函数的最值问题的思路清晰，解题方法简捷巧妙，并富于规律性，趣味性。
定理 A、B为两个向量，则
[A2≥（A· B）2B2]
【证明】 设两向量的夹角为[A2=A2·B2B2]. 则
[A2=A2·B2B2]
≥[A2B2cos2θB2=（A· B）2B2].
一、巧用向量求未知数满足整式方程的代数式的最值
例1 已知：实数[x、y]满足[x2+y2-2x+4y=0]，求[x-2y]的最值.
【解】 设[A=（x-1，y+2），B=（1，-2）].
由[x2+y2-2x+4y=0]，得[5=x2+y2-2x+4y+5]
[=（x-1）2+（y+2）2=A2]≥[（A· B）2B2]
[=（x-1-2y-4）212+（-2）2=（x-2y-5）25]，
所以0≤[x-2y]≤10.
故[x-2y]的最小值是0，最大值是10.
二、巧用向量求未知數满足三元一次方程及三元二次方程的最值
例2 已知：实数[x1·x2·x3]满足方程[x1]+[x2]+[x3]=1，及[x21]+[x22]+[x23]=3，则[x3]最小值是多少？
【解】方程可以化为[x1]+[x2]=1-[x3]，[x21]+[x22]=3-[x23]，巧设向量A=（[x1]，[12][x2]），B=（1，[12]）， 则3- [x23]=[x21]+ [x22]=│A│2≥ = [x1][x2]
= （1-[x3]）2。
解3- [x23]≥（1-[x3]）2，得- ≤[x3]≤3，故[x3]的最小值是.
三、巧用向量求未知数满足整式方程的分式的值
例3 已知：实数[x]，[y]满足方程（[x]+2）2+[y]2=1，则[y][x]的最小值是多少？
【解】 设[y][x]=[k]，则[y]-1=[k][x]-2[x]，[y]=[k][x]-2[k]+1.
设A=（[x]+2，[k][x]-2[k]+1），B =（[k]，-1）
则1=（[x]+2）2+[y]2=（[x]+2）2+（[k][x]-2[k]+1）2=│A│2≥ =[k][x][x][k][x][x][k]= [k]，所以（4[k]-1）2≤[k]2+1，即[k]（15[k]-8） ≤0，解得0≤[k]≤.
故[y][x]的最小值是0.
四、巧用向量求无理函数的值域
例4 求函数[y]=[1994-x]+[x-1993]的值域。
【解】 因为1994-[x]≥0且[x]-1993≥0，所以1993≤[x]≤1994，可以知道[y]≥1.
设A=（[1994-x]，[x-1993]），B=（1，1），则1=1994-[x]+[x]-1993=│A│2≥ =[1994-x][x-1993][x-1993]=[1994-x][x-1993][x-1993]，所以[1994-x]+[x-1993]≤2，[1994-x]+[x-1993]≤[2].
又由于[y]≥1，所以函数[y]=[1994-x]+[x-1993]的值域是1≤[y]≤[2].
五、巧用向量求未知数满足分式方程的代数式的最值
例5 已知：[x]，[y] [∈]（0，+[∞]），且[x]+ [y]=1，则[x]+[y]的最小值是多少？
【解】 设A=（[x]，[y]），B=（[x，y]），则1= [x]+ [y]=│A│2≥
=[（19+98）2x+y]= [（117+1438x+y]，所以[x+y≥117+1438]
故[x+y]的最小值是[117+1438].
六、巧用向量求使整式方程为最值的未知数的值
例6 求数[x、y]的值，使得[（y-1）2+（x+y-3）2+][（2x+y-6）2]达到最小值.
【解】设[A=（y-1，x+y-3，2x+y-6），B=]（―1，2，―1），则
（[y-1]）2+（[x+y-3]）2+（[2x+y-6]）
2=│A│2≥
=[（-y+1+2x+2y-6-2x-y+6）2（-1）2+22+（-1）2=16]，当且仅当[y-1-1=x+y-32=2x+y-6-1]，即[x=52]，且[y=56]时，（[y-1]）2+（[x+y-3]）2+（[2x+y-6]）2取最小值[16].
七、巧用向量求未知数满足分式方程的分式的最值
例7 已知：[x，y，z∈]（0，+∞），且[x21+x2+y21+y2+z21+z2=2]，求[x21+x2+y21+y2+z21+z2]的最大值。
【解】由[x21+x2+y21+y2+z21+z2=2]，
得[11+x2+11+y2+11+z2=1]
设[A=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）]，
[B=（11+x2，11+y2，11+z2）]，
则2=[x21+x2+y21+y2+z21+z2=]│A│2≥
[（A· B）2B2=（x1+x2+y1+y2+z1+z2）211+x2+11+y2+11+z2]
=[（x1+x2+y1+y2+z1+z2）2]，所以
[（x1+x2+y1+y2+z1+z2）2]≤2， 所以[（x1+x2+y1+y2+z1+z2）2]≤[2].
故[x1+x2+y1+y2+z1+z2]的最大值是[2]（当且仅当[x=y=z=22]时达到最大值）.
八、巧用向量求无理式的最值
例8 如果[a+b+c=1]，那么[3a+1+3b+1+3c+1]的最大值是多少？
【解】 设[A=（3a+1，3b+1，bc+1）]，[B=]（1，1，1），则由[a+b+c=1]，得
6=（[3a+1]）+（[3b+1]）+（[3c+1]）=│A│2≥
[=（1·3a+1+1·3b+1+1·3c+1）12+12+12]
[=（3a+1+3b+1+3c+1）23]
所以，[（3a+1+3b+1+3c+1）2]≤18，所以[3a+1+3b+1+3c+1]≤3[2].
故[3a+1+3b+1+3c+1]的最大值是3[2]（當且仅当[a=b=c=13]时达到最大值）.
九、巧用向量求满足二次方程的函数取值范围
例9 设[a2+b2+c2=4]，[x2+y2+z2=9]，则[ax+by+cz]的取值范围是多少？
【解】 设A=[（a，b，c）]，B=[（x，y，z）]，则4=[a2+b2+c2=]│A│2≥ =[（ax+by+cz）2x2+y2+z2=（ax+by+cz）29]，所以[（ax+by+cz）2]≤36，所以[ax+by+cz]的取值范围是-6≤[ax+by+cz]≤6.
十、巧用向量求满足不等式的未知量的最值
例10 设[a]>[b]>[c]且[1a-b]+[1b-c]≥[na-c]恒成立，则[n]的最大值是多少？
【解】 设A=（[1a-b，1b-c]），
B=（[a-b]，[b-c]），则[1a-b+1b-c]=│A│2≥ =[（1+1）2（a-b）+（b-c）]=[4a-c]，故[n]的最大值是4.
十一、巧用向量求三角函数的最值
例11 设函数[tanx-1]+[3-tanx]的最大值是[m]，最小值是[n]，则[m][n]是多少？
【解】 由1≤[tanx]≤3，容易知道[tanx-1]+[3-tanx]≥[2]，[n]=[2].
设A=（[tanx-1]+[3-tanx]），B=（1，1），则2-（[tanx]-1）+（3-[tanx]）=│A│2≥
=[（tanx-1+3-tanx）212+12]
=[（tanx-1+3-tanx）22]
所以[tanx-1]+[3-tanx]≤2，所以[m]=2.
又[n]=[2]，所以[m][n]=[2]=[2].
十二、巧用向量求对数函数的最值
例12 已知：[a][b]=1000，[a]>1，[b]>1，则[1+1ga+1+1gb]的最大值是多少？
【解】 设A=（[1+1ga，1+1gb]），B=（1，1），则=2+1[g]1000=2+1[g][a][b]
=（1+1[g][a]）+（1+1[g][b]）=│A│2≥ =[（1+1ga+1+1gb）212+12]
=[（1+1ga+1+1gb）22]
所以[1+1ga+1+1gb]≤[10].
故[1+1ga+1+1gb]的最大值是[10].
十三、巧用向量求变量满足已知曲线方程的代数式的最值
例13 已知：点P（[x]，[y]）在椭圆[x24+y29]=1，求2[x]-[y]的最大值.
【解】 设A=（[x2，y3]），B=（4，-3）
则1=[x24+y29]
=│A│2≥
=[（2-xy）242+（-3）2]
=[（2-xy）225]，
所以[（2-xy）2]≤25，故≤[2x-y]的最大值是5.
定理 A、B为两个向量，则
[A2≥（A· B）2B2]
【证明】 设两向量的夹角为[A2=A2·B2B2]. 则
[A2=A2·B2B2]
≥[A2B2cos2θB2=（A· B）2B2].
一、巧用向量求未知数满足整式方程的代数式的最值
例1 已知：实数[x、y]满足[x2+y2-2x+4y=0]，求[x-2y]的最值.
【解】 设[A=（x-1，y+2），B=（1，-2）].
由[x2+y2-2x+4y=0]，得[5=x2+y2-2x+4y+5]
[=（x-1）2+（y+2）2=A2]≥[（A· B）2B2]
[=（x-1-2y-4）212+（-2）2=（x-2y-5）25]，
所以0≤[x-2y]≤10.
故[x-2y]的最小值是0，最大值是10.
二、巧用向量求未知數满足三元一次方程及三元二次方程的最值
例2 已知：实数[x1·x2·x3]满足方程[x1]+[x2]+[x3]=1，及[x21]+[x22]+[x23]=3，则[x3]最小值是多少？
【解】方程可以化为[x1]+[x2]=1-[x3]，[x21]+[x22]=3-[x23]，巧设向量A=（[x1]，[12][x2]），B=（1，[12]）， 则3- [x23]=[x21]+ [x22]=│A│2≥ = [x1][x2]
= （1-[x3]）2。
解3- [x23]≥（1-[x3]）2，得- ≤[x3]≤3，故[x3]的最小值是.
三、巧用向量求未知数满足整式方程的分式的值
例3 已知：实数[x]，[y]满足方程（[x]+2）2+[y]2=1，则[y][x]的最小值是多少？
【解】 设[y][x]=[k]，则[y]-1=[k][x]-2[x]，[y]=[k][x]-2[k]+1.
设A=（[x]+2，[k][x]-2[k]+1），B =（[k]，-1）
则1=（[x]+2）2+[y]2=（[x]+2）2+（[k][x]-2[k]+1）2=│A│2≥ =[k][x][x][k][x][x][k]= [k]，所以（4[k]-1）2≤[k]2+1，即[k]（15[k]-8） ≤0，解得0≤[k]≤.
故[y][x]的最小值是0.
四、巧用向量求无理函数的值域
例4 求函数[y]=[1994-x]+[x-1993]的值域。
【解】 因为1994-[x]≥0且[x]-1993≥0，所以1993≤[x]≤1994，可以知道[y]≥1.
设A=（[1994-x]，[x-1993]），B=（1，1），则1=1994-[x]+[x]-1993=│A│2≥ =[1994-x][x-1993][x-1993]=[1994-x][x-1993][x-1993]，所以[1994-x]+[x-1993]≤2，[1994-x]+[x-1993]≤[2].
又由于[y]≥1，所以函数[y]=[1994-x]+[x-1993]的值域是1≤[y]≤[2].
五、巧用向量求未知数满足分式方程的代数式的最值
例5 已知：[x]，[y] [∈]（0，+[∞]），且[x]+ [y]=1，则[x]+[y]的最小值是多少？
【解】 设A=（[x]，[y]），B=（[x，y]），则1= [x]+ [y]=│A│2≥
=[（19+98）2x+y]= [（117+1438x+y]，所以[x+y≥117+1438]
故[x+y]的最小值是[117+1438].
六、巧用向量求使整式方程为最值的未知数的值
例6 求数[x、y]的值，使得[（y-1）2+（x+y-3）2+][（2x+y-6）2]达到最小值.
【解】设[A=（y-1，x+y-3，2x+y-6），B=]（―1，2，―1），则
（[y-1]）2+（[x+y-3]）2+（[2x+y-6]）
2=│A│2≥
=[（-y+1+2x+2y-6-2x-y+6）2（-1）2+22+（-1）2=16]，当且仅当[y-1-1=x+y-32=2x+y-6-1]，即[x=52]，且[y=56]时，（[y-1]）2+（[x+y-3]）2+（[2x+y-6]）2取最小值[16].
七、巧用向量求未知数满足分式方程的分式的最值
例7 已知：[x，y，z∈]（0，+∞），且[x21+x2+y21+y2+z21+z2=2]，求[x21+x2+y21+y2+z21+z2]的最大值。
【解】由[x21+x2+y21+y2+z21+z2=2]，
得[11+x2+11+y2+11+z2=1]
设[A=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）]，
[B=（11+x2，11+y2，11+z2）]，
则2=[x21+x2+y21+y2+z21+z2=]│A│2≥
[（A· B）2B2=（x1+x2+y1+y2+z1+z2）211+x2+11+y2+11+z2]
=[（x1+x2+y1+y2+z1+z2）2]，所以
[（x1+x2+y1+y2+z1+z2）2]≤2， 所以[（x1+x2+y1+y2+z1+z2）2]≤[2].
故[x1+x2+y1+y2+z1+z2]的最大值是[2]（当且仅当[x=y=z=22]时达到最大值）.
八、巧用向量求无理式的最值
例8 如果[a+b+c=1]，那么[3a+1+3b+1+3c+1]的最大值是多少？
【解】 设[A=（3a+1，3b+1，bc+1）]，[B=]（1，1，1），则由[a+b+c=1]，得
6=（[3a+1]）+（[3b+1]）+（[3c+1]）=│A│2≥
[=（1·3a+1+1·3b+1+1·3c+1）12+12+12]
[=（3a+1+3b+1+3c+1）23]
所以，[（3a+1+3b+1+3c+1）2]≤18，所以[3a+1+3b+1+3c+1]≤3[2].
故[3a+1+3b+1+3c+1]的最大值是3[2]（當且仅当[a=b=c=13]时达到最大值）.
九、巧用向量求满足二次方程的函数取值范围
例9 设[a2+b2+c2=4]，[x2+y2+z2=9]，则[ax+by+cz]的取值范围是多少？
【解】 设A=[（a，b，c）]，B=[（x，y，z）]，则4=[a2+b2+c2=]│A│2≥ =[（ax+by+cz）2x2+y2+z2=（ax+by+cz）29]，所以[（ax+by+cz）2]≤36，所以[ax+by+cz]的取值范围是-6≤[ax+by+cz]≤6.
十、巧用向量求满足不等式的未知量的最值
例10 设[a]>[b]>[c]且[1a-b]+[1b-c]≥[na-c]恒成立，则[n]的最大值是多少？
【解】 设A=（[1a-b，1b-c]），
B=（[a-b]，[b-c]），则[1a-b+1b-c]=│A│2≥ =[（1+1）2（a-b）+（b-c）]=[4a-c]，故[n]的最大值是4.
十一、巧用向量求三角函数的最值
例11 设函数[tanx-1]+[3-tanx]的最大值是[m]，最小值是[n]，则[m][n]是多少？
【解】 由1≤[tanx]≤3，容易知道[tanx-1]+[3-tanx]≥[2]，[n]=[2].
设A=（[tanx-1]+[3-tanx]），B=（1，1），则2-（[tanx]-1）+（3-[tanx]）=│A│2≥
=[（tanx-1+3-tanx）212+12]
=[（tanx-1+3-tanx）22]
所以[tanx-1]+[3-tanx]≤2，所以[m]=2.
又[n]=[2]，所以[m][n]=[2]=[2].
十二、巧用向量求对数函数的最值
例12 已知：[a][b]=1000，[a]>1，[b]>1，则[1+1ga+1+1gb]的最大值是多少？
【解】 设A=（[1+1ga，1+1gb]），B=（1，1），则=2+1[g]1000=2+1[g][a][b]
=（1+1[g][a]）+（1+1[g][b]）=│A│2≥ =[（1+1ga+1+1gb）212+12]
=[（1+1ga+1+1gb）22]
所以[1+1ga+1+1gb]≤[10].
故[1+1ga+1+1gb]的最大值是[10].
十三、巧用向量求变量满足已知曲线方程的代数式的最值
例13 已知：点P（[x]，[y]）在椭圆[x24+y29]=1，求2[x]-[y]的最大值.
【解】 设A=（[x2，y3]），B=（4，-3）
则1=[x24+y29]
=│A│2≥
=[（2-xy）242+（-3）2]
=[（2-xy）225]，
所以[（2-xy）2]≤25，故≤[2x-y]的最大值是5.