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【摘要】正方体是大家比较熟悉的几何图形,其截面(用一个平面去截几何体表面,此平面被几何体所截的部分)都有哪些图形呢?过已知不共线三点作几何体的截面问题比较抽象,把空间问题平面化是解决此类问题的常用手段.本文将详细地阐述确定截面图形的两种常用方法,希望对同学们了解截面图形、解决与截面有关的问题有所帮助.
【关键词】直观想象;正方体;截面;空间问题平面化
下面我们来看一道与截面有关的试题:
引例 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AA1,BC,C1D1的中点,现有下列结论:(1)△EFG为正三角形;(2)异面直线A1G与C1F所成的角为60°;(3)AC∥面EFG.其中正确的结论的编号是( )
A.(1) B.(2)(3) C.(1)(2) D.(1)(3)
想要解答本题,我先来介绍一种学生较容易掌握的找截面的方法——交线法,仅供大家参考.
下面我们来了解一下做截面图形涉及的定理与性质:
1.两点确定一条直线,三个不共线的点组成一个平面.
2.只有在同一个平面的两条直线才可能相交.
3.如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
4.如果两个不重合的平面有一个公共点,则两个平面的交线必定经过这个公共点.
交线法
运用该方法作图的关键在于确定截点(平面与几何体棱的交点),有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线,从而得到截面.常见类型如下:
类型一:截面经过的三个点分别在多面体的棱上,且其中有两个点在同一个面的棱上.
例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别在AB,BC,DD1上,求经过E,F,G三点的截面.
作法 (1)在底面AC内连接EF并延长,分别交DA,DC的延长线于点L,M;(2)在侧面DA1内连接GL,交AA1于K;(3)在侧面D1C内连接GM,交C1C于H;(4)连接KE,FH,则五边形KEFHG即为所求(如下图).
类型二:截面经过的三个已知点两两不在同一面的棱上.
例2 P,Q,R三点分别在直四棱柱AC1的棱CC1,A1D1,AB上,试画出过P,Q,R三点的截面.
作法 (1)先过P,R两点作辅助平面,过点R作R1R∥BB1,交A1B1于R1,则平面CRR1C1为所求辅助平面;
(2)在平面CRR1C1內延长R1C1,交RP的延长线于M;
(3)在平面A1B1C1D1内,连接MQ,交C1D1于点S,延长MQ交B1A1的延长线于点T;
(4)连接TR,交AA1于点N,延长TR交B1B的延长线于点K,再连接KP交BC于点L;
(5)连接RL,PS,QN,则多边形QNRLPS即为所求(如下图).
下面回到引例.
引例中(1)与(2)较容易判断,其中(1)正确,(2)错误.
(3)为难点,面EFG截正方体的截面图形为六边形EIFKGJ ,如下图所示.作出这个截面图形并不是很容易,其截面类型同类型二,具体作法如下:
(1)取边A1B1 的中点R,连接GR,RB,CG ,得到矩形GRBC;
(2)在矩形GRBC内延长GF,与RB的延长线交于点W,则W∈面ABB1A1;
(3)连接EW,EW∩AB=I,WE的延长线交B1A1的延长线于点H;
(4)连接HG,HG∩A1D1=J,HG的延长线与B1C1的延长线交于点S;
(5)连接FS,FS∩CC1=K;
(6)连接GK,EJ,IF,则六边形JEIFKG即为所求的截面图形.
故(3)正确,本题答案为D.
除了以上常见的截面类型,还有截面经过的三个点中有一点或多点在多面体的面上的类型,方法同类型二,同学们可以自行研究,此处不再加以赘述.
练一练1 (2013年安徽省理科数学试题第15题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点.过A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).
(1)当0
【关键词】直观想象;正方体;截面;空间问题平面化
下面我们来看一道与截面有关的试题:
引例 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AA1,BC,C1D1的中点,现有下列结论:(1)△EFG为正三角形;(2)异面直线A1G与C1F所成的角为60°;(3)AC∥面EFG.其中正确的结论的编号是( )
A.(1) B.(2)(3) C.(1)(2) D.(1)(3)
想要解答本题,我先来介绍一种学生较容易掌握的找截面的方法——交线法,仅供大家参考.
下面我们来了解一下做截面图形涉及的定理与性质:
1.两点确定一条直线,三个不共线的点组成一个平面.
2.只有在同一个平面的两条直线才可能相交.
3.如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
4.如果两个不重合的平面有一个公共点,则两个平面的交线必定经过这个公共点.
交线法
运用该方法作图的关键在于确定截点(平面与几何体棱的交点),有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线,从而得到截面.常见类型如下:
类型一:截面经过的三个点分别在多面体的棱上,且其中有两个点在同一个面的棱上.
例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别在AB,BC,DD1上,求经过E,F,G三点的截面.
作法 (1)在底面AC内连接EF并延长,分别交DA,DC的延长线于点L,M;(2)在侧面DA1内连接GL,交AA1于K;(3)在侧面D1C内连接GM,交C1C于H;(4)连接KE,FH,则五边形KEFHG即为所求(如下图).
类型二:截面经过的三个已知点两两不在同一面的棱上.
例2 P,Q,R三点分别在直四棱柱AC1的棱CC1,A1D1,AB上,试画出过P,Q,R三点的截面.
作法 (1)先过P,R两点作辅助平面,过点R作R1R∥BB1,交A1B1于R1,则平面CRR1C1为所求辅助平面;
(2)在平面CRR1C1內延长R1C1,交RP的延长线于M;
(3)在平面A1B1C1D1内,连接MQ,交C1D1于点S,延长MQ交B1A1的延长线于点T;
(4)连接TR,交AA1于点N,延长TR交B1B的延长线于点K,再连接KP交BC于点L;
(5)连接RL,PS,QN,则多边形QNRLPS即为所求(如下图).
下面回到引例.
引例中(1)与(2)较容易判断,其中(1)正确,(2)错误.
(3)为难点,面EFG截正方体的截面图形为六边形EIFKGJ ,如下图所示.作出这个截面图形并不是很容易,其截面类型同类型二,具体作法如下:
(1)取边A1B1 的中点R,连接GR,RB,CG ,得到矩形GRBC;
(2)在矩形GRBC内延长GF,与RB的延长线交于点W,则W∈面ABB1A1;
(3)连接EW,EW∩AB=I,WE的延长线交B1A1的延长线于点H;
(4)连接HG,HG∩A1D1=J,HG的延长线与B1C1的延长线交于点S;
(5)连接FS,FS∩CC1=K;
(6)连接GK,EJ,IF,则六边形JEIFKG即为所求的截面图形.
故(3)正确,本题答案为D.
除了以上常见的截面类型,还有截面经过的三个点中有一点或多点在多面体的面上的类型,方法同类型二,同学们可以自行研究,此处不再加以赘述.
练一练1 (2013年安徽省理科数学试题第15题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点.过A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).
(1)当0