高中数学竞赛所涉及的内容不会超出初等数学与中学数学所能接受的内容．但它往往有着高等数学的背景，下面列举两例来说明．
　　例1已知实数列a0, a1, a2, ……,满足
　　ai-1-ai+1=2ai (i=1,2,…）,求证：对于任意的n∈ N，P（x)=∑ n i=0 aicinxi(1-x)n-1是x的一次多项式．
　　这是1986年全国高中数学联赛试题，我们只须用等差数列、二项式定理及组合恒等式icin=nci-1n-1等初等数学知识即可证明．
　　由题设条件ai-1-ai+1=2ai可变形为ai-ai-1=ai+1-ai (i=1,2,3,…)，这说明a0, a1, a2……是以（a1-a0)为公差的等差数列，由等差数列的通项公式得
　　ai=a0+i(a1-a0) (i=1,2,3,…)
　　所以 P(x)=a0c0n(1-x)n+［a0+(a1-a0)］c1nx(1-x)n-1+［a0+2(a1-a0)］c2nx2(1-x)n-2+…+［a0+n(a1-a0)］cnnxn=
　　a0［c0n(1-x)n+c1nx(1-x)n-1+c2nx2(1-x)n-2+…+cnnxn］+(a1-a0)［c1nx(1-x)n-1+2c2nx2(1-x)n-2+…+ncnnxn］
　　由二项式定理，有
　　c0n(1-x)n+c1nx(1-x)n-1+c2nx2(1-x)n-2+…+cnxn=［(1-x)+x］n=1
　　以及 c1nx(1-x)n-1+2c2nx2(1-x)n-2+…+ncnnxn=nx［(1-x)n-1+c1n-1x(x-1)n-2+…+xn-1］=nx［(1-x)+x］n-1=nx
　　从而 P(x)=a0+(a1-a0)nx(a1≠a0)
　　其实该题有着深刻的高等数学背景．事实上设f为定义在［0,1］上的实值函数，我们称函数 Bn(f,x)=∑ n j=0 cinf( j n )xj(1-x)n-j, x∈［0,1］
　　为f的n阶伯恩斯坦（Bernstein)多项式．它有一个重要性质：
　　若k1,k2为常数，且f=k1f1+k2f2，则
　　Bn(f,x)=k1Bn(f1,x)+k2Bn(f2,x)
　　即伯恩斯坦多项式对于函数f是线性的，特别地，一次函数的任何伯恩斯坦多项式都是一次多项式．本题正好由此而来．
　　例2函数F(x)=|cos2x+2sinx cosx-sin2x+Ax+B|在［0， 3π 2 ］的最大值M与参数A，B有关，问A，B取何值时M有最小值？
　　这是1993年全国高中数学联赛试题，本题的高等数学背景就是函数逼近中的最佳逼近问题．
　　我们先由初等数学知识给出本题的解法：
　　F（x)=|cos2x+2sinxcosx-sin2x+Ax+B|=|cos2x+sin2x+Ax+B|=
　　| 2 sin(2x+ π 4 )+Ax+B|
　　当A=B=0时，F（x)成为
　　F(x)=| 2 sin(2x+ π 4 )|
　　在区间［0, 3π 2 ］由正弦函数图象易知，x1= π 8 , x2= 5π 8 , x3= 9π 8 ，使F（x)取最大值 2 ，它就是所要求的最小M值，为说明这一点，只需证明:
　　对任何不同时为0的A，B，有
　　max 0≤x≤ 3π 2F(x)＞max 0≤x≤ 3π 2f(x)= 2 ．
　　运用反证法，若 max 0≤x≤ 3π 2F(x)≤ 2 ．
　　则 F（ π 8 ）=| 2 + π 8 A+B|≤ 2 ，故
　　π 8 A+B≤0 (1)
　　同理，由F（ 5π 8 ）≤ 2 及F（ 9π 8 ）≤ 2得
　　5π 8 A+B≥0 （2），9π 8 A+B≤0 （3）
　　由（1），（2）可得A≥0，由（2），（3）可得 A≤0．故A=0，从而 B=0，这与题设A，B不同时为零矛盾．故求解得证．
　　很明显，F（x)与A，B有关．现在要求先关于x求最大值，然后再关于A，B求最小值，也就是要求确定A，B使下面极值达到：
　　d=min A.B max 0≤x≤ 3π 2|P(x)+Ax+B|
　　其中 P（x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x
　　令 g(x)=-Ax-B，我们把
　　ρ=max 0≤x≤ 3π 2|p(x)-g(x)|
　　称作p(x)和g(x)在区间［0, 3π 2 ］上的偏差，那么上述问题就变为，要我们确定一个一次函数p(x)，使它与g(x)在［0, 3π 2 ］上的偏差最小．
　　由此，我们进一步提出下面的一般性问题：
　　设p(x)是区间［a,b］上的连续函数，试确定一次函数p(x)=kx+m，使偏差ρ=max x∈［a,b］ ［p(x)-g(x)］达到最小．
　　这就是函数逼近论中的最佳逼近问题
　　
　　注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文