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我市今年期末初二考试数学试卷中，有这样一道题：已知：如图1，AB=AC，DB=DC，求证：AD垂直平分BC.
阅卷过程中，发现有些学生的证明过程是这样书写的：
∵AB=AC，
DB=DC，
∴AD垂直平分BC.
对这种证明，阅卷老师产生了两种截然不同的意见：一种意见认为这种证明只是把已知条件和求证的结论重写一遍，根本看不出证题思路，另一种意见则认为说出了AB=AC，DB=DC，根据线段中垂线定理的逆定理，就有点A、D都在线段BC的垂直平分线上的结论，当然AD垂直平分BC了，中间的过程可以省略.
在以往的中考阅卷中，也曾出现过类似争议.究竟证明过程简略书写有没有个适当的“度”或一般的要求呢?本文想就这个问题结合当前的教材谈点个人的浅见.
一、三段论法的完全式与简略式
从理论上讲，推理论证一个定理的过程，就是根据逻辑上的三段论法，以这个定理以前的理论为大前提，以这个定理的条件为小前提，推导出这个定理结论的过程.
例如，要证明方程x2-x-k2=0必有两个不相等的实根(k为实数)，采用三段论法的完全形式应该这样叙述证明过程：
因为一元二次方程的根的判别式Δ＞0时，方程必有两个不相等的实根(大前提)，
现在一元二次方程x2-x-k2=0的判别式Δ=1 4k2＞0(小前提).
所以原方程必有两个不相等的实根(结论).
“为了叙述简洁，常常采用简略形式，即只写出大前提或小前提和结论，甚至只写结论，而把大小前提都略去，这叫做简略三段论.”(《初等几何研究》P61，江苏省高师数学教育研究组编)那么，利用简略式上面的证明可叙述为：
∵Δ=1 4k2＞0，
∴方程x2-x-k2=0必有两个不等实根.
这种简略式，在寿望斗先生编著的《逻辑与数学教学》一书中也是得到认可
的，只不过寿先生把它叫做省略式而已．现行教材《几何》课本中采用的也是这
种形式.
但是，对于一些较复杂的定理的证明，往往需用若干个三段论才能完成，由
若干个三段论才能完成的三段论(复合三段论)的简略式应该简略到什么程度呢?
二、复合三段论的简略式的简略“度”
综观教材上的简略式大致可分为以下三种类型：
1.省略大前提，且前一个三段论的结论作为后一个三段论的小前提时重复
写出型(使用推出符号书写的证明过程也属于这种类型).
例如：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，求证：△ADC≌△CBA.
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB.
在△ADC和△CBA中，
AD=CB，∠DAC=∠ACB，AC=CA.
∴△ADC≌△CBA.
这里∠DAC=∠ACB是第一个三段论的结论，但作为第二个三段论的小前提时，又
重新写出来了.
2.省略大前提，且前一个三段论的结论作为后一个三段论的小前提时不重
复写出型.
例如：在△ABC中，D为BC的中点，且DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，且DE=DF，求证：AB=AC.
证明：在Rt△DBF和Rt△DCE中，
DB=DC，DF=DE，
∴Rt△DBF≌Rt△DCE.
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
这里的每一个三段论的大前提都省略了.Rt△DBF≌Rt△DCE既是第一
个三段论的结论，又是第二个三段论的小前提，但作为第二个三段论的小前提时
就没有重复写出.∠B=∠C是第二个三段论的结论，也是第三个三段论的小前
提，但作为小前提时也没重复写出.
3.将前一个三段论的结论直接作为后一个三段论的小前提型.
例如：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，BC=2AD，且F为BC的中点，求证：S四边形AFCD=S△ABC.
证明：
∵△ABF≌△CAD，
∴S△ABF=S△CAD.
又∵S△ABC=2S△ABF，
S矩形ADCF=2S△ADC，
∴S△ABC=S矩形ADCF，
这里△ABF≌△CAD是某个三段论的结论，但这里都直接作为后一个三段论的小前提给出了.后面第二个“∵”号之后的两式也是如此.
用以上的范例为依据，我们是否可以对由若干个三段论来叙述的简略式的简略“度”作这样的描述：若对某个定理的证明需要用若干个三段论来完成，书写时对所有三段论的大前提都可以省略，当前一个三段论的结论作为后一个三段论的小前提时，可以省略不写；对于较复杂的证明题，如果证明过程中的某个三段论的结论比较显然，可以作为后一个三段论的小前提直接给出(如3).
用这个“度”来衡量一下本文开始时的那个问题，可以发现：在那个本来只需要三个三段论就能完成的证明过程中，学生省略了第一、二两个并列三段论的大前提和结论(结论一般是不能省略的)，也省略了第三个三段论的大、小前提，确实令人难以看出证题思路，以不给分或适当扣分为宜.
三、对证明过程书写错误的反思与建议
目前，学生在证明中的问题很多，最主要的有以下三个方面：1.逻辑混乱；2.方向不明；3.跳跃性过大.造成这些问题的原因是多方面的，但不容置疑，学生缺少用三段论法推理的经验是直接原因之一．他们从课本上见到的都是一些简化的内容，老师对他们的训练也都是简化的训练，这种以简化的内容进行简化的训练对培养学生正确证明的能力是很难奏效的．所以寿望斗先生在他的著作中严肃地指出：“推理采用省略式时，并不是常常可以看出它的正确与否.只有把它恢复成完整的三段论式，才能帮助我们发现推理中的错误．因此，把省略式恢复为完全式，也是一个重要的逻辑方法.必须教导学生学会这种方法．等到他们已经熟悉以后，再采用通常的省略形式.”(《逻辑与数学教学》P88).为此，我向各位同行建议；教学中一定要采取一些措施，体现这种“由繁到简”、“由简到繁”的过程，以此提高学生正确书写证明过程的能力.
阅卷过程中，发现有些学生的证明过程是这样书写的：
∵AB=AC，
DB=DC，
∴AD垂直平分BC.
对这种证明，阅卷老师产生了两种截然不同的意见：一种意见认为这种证明只是把已知条件和求证的结论重写一遍，根本看不出证题思路，另一种意见则认为说出了AB=AC，DB=DC，根据线段中垂线定理的逆定理，就有点A、D都在线段BC的垂直平分线上的结论，当然AD垂直平分BC了，中间的过程可以省略.
在以往的中考阅卷中，也曾出现过类似争议.究竟证明过程简略书写有没有个适当的“度”或一般的要求呢?本文想就这个问题结合当前的教材谈点个人的浅见.
一、三段论法的完全式与简略式
从理论上讲，推理论证一个定理的过程，就是根据逻辑上的三段论法，以这个定理以前的理论为大前提，以这个定理的条件为小前提，推导出这个定理结论的过程.
例如，要证明方程x2-x-k2=0必有两个不相等的实根(k为实数)，采用三段论法的完全形式应该这样叙述证明过程：
因为一元二次方程的根的判别式Δ＞0时，方程必有两个不相等的实根(大前提)，
现在一元二次方程x2-x-k2=0的判别式Δ=1 4k2＞0(小前提).
所以原方程必有两个不相等的实根(结论).
“为了叙述简洁，常常采用简略形式，即只写出大前提或小前提和结论，甚至只写结论，而把大小前提都略去，这叫做简略三段论.”(《初等几何研究》P61，江苏省高师数学教育研究组编)那么，利用简略式上面的证明可叙述为：
∵Δ=1 4k2＞0，
∴方程x2-x-k2=0必有两个不等实根.
这种简略式，在寿望斗先生编著的《逻辑与数学教学》一书中也是得到认可
的，只不过寿先生把它叫做省略式而已．现行教材《几何》课本中采用的也是这
种形式.
但是，对于一些较复杂的定理的证明，往往需用若干个三段论才能完成，由
若干个三段论才能完成的三段论(复合三段论)的简略式应该简略到什么程度呢?
二、复合三段论的简略式的简略“度”
综观教材上的简略式大致可分为以下三种类型：
1.省略大前提，且前一个三段论的结论作为后一个三段论的小前提时重复
写出型(使用推出符号书写的证明过程也属于这种类型).
例如：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，求证：△ADC≌△CBA.
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB.
在△ADC和△CBA中，
AD=CB，∠DAC=∠ACB，AC=CA.
∴△ADC≌△CBA.
这里∠DAC=∠ACB是第一个三段论的结论，但作为第二个三段论的小前提时，又
重新写出来了.
2.省略大前提，且前一个三段论的结论作为后一个三段论的小前提时不重
复写出型.
例如：在△ABC中，D为BC的中点，且DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，且DE=DF，求证：AB=AC.
证明：在Rt△DBF和Rt△DCE中，
DB=DC，DF=DE，
∴Rt△DBF≌Rt△DCE.
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
这里的每一个三段论的大前提都省略了.Rt△DBF≌Rt△DCE既是第一
个三段论的结论，又是第二个三段论的小前提，但作为第二个三段论的小前提时
就没有重复写出.∠B=∠C是第二个三段论的结论，也是第三个三段论的小前
提，但作为小前提时也没重复写出.
3.将前一个三段论的结论直接作为后一个三段论的小前提型.
例如：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，BC=2AD，且F为BC的中点，求证：S四边形AFCD=S△ABC.
证明：
∵△ABF≌△CAD，
∴S△ABF=S△CAD.
又∵S△ABC=2S△ABF，
S矩形ADCF=2S△ADC，
∴S△ABC=S矩形ADCF，
这里△ABF≌△CAD是某个三段论的结论，但这里都直接作为后一个三段论的小前提给出了.后面第二个“∵”号之后的两式也是如此.
用以上的范例为依据，我们是否可以对由若干个三段论来叙述的简略式的简略“度”作这样的描述：若对某个定理的证明需要用若干个三段论来完成，书写时对所有三段论的大前提都可以省略，当前一个三段论的结论作为后一个三段论的小前提时，可以省略不写；对于较复杂的证明题，如果证明过程中的某个三段论的结论比较显然，可以作为后一个三段论的小前提直接给出(如3).
用这个“度”来衡量一下本文开始时的那个问题，可以发现：在那个本来只需要三个三段论就能完成的证明过程中，学生省略了第一、二两个并列三段论的大前提和结论(结论一般是不能省略的)，也省略了第三个三段论的大、小前提，确实令人难以看出证题思路，以不给分或适当扣分为宜.
三、对证明过程书写错误的反思与建议
目前，学生在证明中的问题很多，最主要的有以下三个方面：1.逻辑混乱；2.方向不明；3.跳跃性过大.造成这些问题的原因是多方面的，但不容置疑，学生缺少用三段论法推理的经验是直接原因之一．他们从课本上见到的都是一些简化的内容，老师对他们的训练也都是简化的训练，这种以简化的内容进行简化的训练对培养学生正确证明的能力是很难奏效的．所以寿望斗先生在他的著作中严肃地指出：“推理采用省略式时，并不是常常可以看出它的正确与否.只有把它恢复成完整的三段论式，才能帮助我们发现推理中的错误．因此，把省略式恢复为完全式，也是一个重要的逻辑方法.必须教导学生学会这种方法．等到他们已经熟悉以后，再采用通常的省略形式.”(《逻辑与数学教学》P88).为此，我向各位同行建议；教学中一定要采取一些措施，体现这种“由繁到简”、“由简到繁”的过程，以此提高学生正确书写证明过程的能力.