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摘 要：数学思想是数学学习内容的重要组成部分，当学生在数学学习过程中对具体的数学思想有深刻的体会和感悟的时候，他们的数学学习层次无疑会更上一层楼。因此，在教学中我们要注重引领学生抓住数学的本源来学习，体会基本的数学思想，为学生的简约数学搭建阶梯。
关键词：数学思想；领悟；凸显；数学素养
美国教育学家布鲁纳曾说过：“领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的光明之路。”可见在数学学习中，数学思想的建立和形成是重于数学知识的传递的，一旦学生在数学学习的过程中领会到基本的数学思想，他们的数学学习之路将大为简化，数学学习的效率也将“水涨船高”。鉴于此，在课堂教学中我们应当有意识地让学生多经历、多感悟、多消化，在学习过程中充分接触数学思想，并因此提升学生的数学学习层次。
一、在观察中初步提炼数学思想
数学教学应该是一个由浅入深的过程，在学习的过程中，我们不能仅仅满足于解决问题，还要从不同角度去比较解决问题的不同渠道的不同效果，探析这些解决问题的方法的优劣，弄清楚隐藏在方法背后的原理，这样才能学得深入，学得有效。在具体学习的过程中，我们应当引导学生关注学习细节，经历充分挖掘、探索、交流等学习过程，这样学生才能从微观角度“看门道”，并初步提炼出基本的数学思想来。
例如在“长方形的周长”教学中，我引导学生得出长方形的周长等于长与宽的和的两倍之后，给学生图1所示的图形，请学生独立计算其周长。一些学生根据题中提供的各条线段的长度计算出两条未知线段的长度，然后用12 8 9 2 3 6来计算图形的周长；还有一些学生用长方形的周长公式来计算，经过交流，学生发现虽然图1并不是一个标准的长方形，但是在计算这个图形的周长时可以将两条较短的线段平移到右上角的小长方形的对边的位置，这样能将原来的图形转化为一个标准的长方形来计算其周长。从数学的角度来看，学生完成这样的转化是有一定干扰的，因为在转化的过程中，图形的形状发生改变，面积也会变大，只有周长不变，学生能抓住这一点来完成转化，用简单的方法求图形的周长，说明他们能抓住周长的本质。完成了图1的周长计算之后，我再请学生尝试独立计算图2和图3的周长，所有的学生都能触类旁通，将原来的图形转化为长方形，并用长方形的周长公式来计算。完成了这些问题之后，我引导学生在观察和回顾中小结这个环节的学习，学生提出像图中这样的图形，虽然不是长方形，但是具备相同的特点，即都是标准的长方形在某一个角或者几个角上缺少了一个小长方形，这样的图形的周长都可以经过平移转化为长方形的周长来计算。这样的方法不但简单，而且不容易遗漏，正确率会更高。
在这个案例的学习中，学生经过动手实践和观察比较发现了计算类似图形周长的一般规律，其实在这个认识过程中学生已经初步运用了转化的思想，将复杂的图形简单化，将繁杂的计算条理化，这样的转化意识一旦在学生大脑中生根发芽，对于他们在今后的学习中能自觉运用转化的方法来解决问题有巨大的推动作用。
二、在交流中明确提出数学思想
很多数学思想来源于人们对实践的总结，当它们清晰地展示在大家的面前的时候，学生可以更好地认识它们，感悟数学思想。因此在课堂学习中，当学生在自觉或者不自觉地运用了数学思想的时候，我们要引导学生深入交流，将数学思想凸显出来，让学生建立更明确的认识。
例如在“圆的面积的练习”教学中，我给学生带来了这样一个问题：如图4所示，正方形的面积为60平方厘米，那么正方形中最大的圆的面积是多少平方厘米？在学生读题后我请他们独立尝试，之后引导学生交流思路。有学生提出了自己的疑问：“圆的面积可以用π乘半径的平方来求，所以我们需要先求出圆的半径，而圆的直径等于正方形的边长，所以根据正方形的面积等于边长乘边长，只要找到一个数的平方等于60就可以了，但是好像找不到这个数呢。”这样的算法得到了众多学生的支持，随后有学生提出了解决的方法：在学习例题的时候我们通过数格子的办法找到了圆的面积与以半径为边长的正方形面积之间的关系，而这道题中已经知道了大正方形的面积，现在我们只要将大正方形平均分成4份就可以得出小正方形（如图4中思维虚线）的面积是15平方厘米，因此半径的平方就等于15，而圆的面积就等于15π平方厘米。在这样的讲解下，学生仿佛发现了新大陆，迅速接受了这样的方法，但是我的教学并没有到此为止，接着我引导学生交流这个方法的巧妙之处，学生在比较中发现，原来的思路拘泥于求出圆的半径是多少，而新方法能直接求出圆的半径的平方，这样的算法抓住了整体，蕴含了整体的思想和代入的思想。
可以说这个解题的方法让学生印象深刻，在此基础上我让学生继续深入探析，将整体思想托出水面，学生对这样的数学思想的作用无疑有更清晰的认识，对于数学思想的认识也更加深入。
三、在总结中反思回顾数学思想
很多数学知识彼此之间是相关联的，在单独学习的时候，学生已经累积了相关的解题经验，当时机成熟的时候，我们应当引导学生进行总结和回顾，让他们将零散的知识串联起来，将孤立的认识系统起来，这样对于学生建立完备的数学认识，形成清晰的数学思想有很大的帮助。
例如在“转化的策略”教学中，学生解决“比较例1中两个图形的大小”的问题相当轻松，他们没有经过任何的提示，很自然地就将原来的拱门和花瓶转化为简单的长方形的面积来比较，并很快得出面积相等的结论。在此基础上，我追问学生是怎样想到这样的方法的，很多学生表示一看到这个问题就想到了如果计算出每个部分的面积再相加，计算量一定比较大，所以很自然就想到了用剪、移、拼的方法将原来的不规则图形转化为规则图形来计算面积。在此基础上，我引导学生回忆在以往的数学学习中有没有运用转化的策略来解决问题的经历，学生想到了很多例子，比如在几何领域，很多平面图形的面积计算公式都是经过转化来进行推导的，像平行四边形的面积计算公式就是转化为长方形之后推导出来的，而三角形和梯形的面积计算公式的推导是在转化为平行四边形的基础上进行的；在数的领域，有将异分母分数经过通分来比较大小及进行分数加减法的计算。通过回忆，学生发现转化的策略其实在数学学习中属于常见的方法，它能够将复杂的问题简单化，可以帮助我们更迅捷地解决问题，有了这样的认识，学生对于转化的认识就从具体的策略上升到一种意识形态和数学思想的高度，这对于学生体会基本的数学思想是大有裨益的。
四、在运用中深化拓展数学思想
数学思想的教学不同于一般的解题技能的训练，可以有相对具体的抓手，在实际教学中我们要引导学生以感悟为主来深化对数学思想的沉淀。因此，在数学课堂上我们要多引导学生比较不同方法间的差异，让学生自己体会运用数学思想给解决问题带来的便利，这样学生就能有意识地展开对数学思想的挖掘，并在日常学习的过程中逐步拓展对数学思想的认识。
例如有这样一道经典的数学问题：黄金分割是一个重要的发现，研究表明，模特儿的腿长占人体高度的百分之六十左右时显得最美，现有一名模特儿的身高为1.65米，她的腿长为97厘米，那么她需要穿上多高的高跟鞋才能让身体比例更协调？不少学生在解决这样的问题时只是用1.65米乘0.6得到99厘米，然后用99厘米减去97厘米等于2厘米。然而经过画图分析，学生发现这样的思路是不正确的，原因在于穿上高跟鞋之后，腿长有所增加，而模特的身高也随之增加，这样其腿长还不能占身高的百分之六十。同样在画图中可以发现，整个过程中模特上身的长度不变，所以计算的时候应抓住这个不变的量来计算，用1.65米减去97厘米得到68厘米，再除以0.4得出穿上高跟鞋后模特的身高应为170厘米，这样就能算出高跟鞋的高度等于170厘米减165厘米，答案为5厘米。这个解题的过程结合图示给了学生清晰的认识，让学生在具体形象面前一望便知具体的方法，也让学生对数形结合的思想有更多的领悟。
总之，数学思想的感悟是数学学习的重要组成部分，我们在实际教学中要注重引导学生在具体生动的情境中体会数学思想、挖掘数学思想，并能自觉运用相应的数学思想去辅助解决实际问题，这样学生的数学素养才能有质的提升，学生的数学学习才能直达根源。
关键词：数学思想；领悟；凸显；数学素养
美国教育学家布鲁纳曾说过：“领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的光明之路。”可见在数学学习中，数学思想的建立和形成是重于数学知识的传递的，一旦学生在数学学习的过程中领会到基本的数学思想，他们的数学学习之路将大为简化，数学学习的效率也将“水涨船高”。鉴于此，在课堂教学中我们应当有意识地让学生多经历、多感悟、多消化，在学习过程中充分接触数学思想，并因此提升学生的数学学习层次。
一、在观察中初步提炼数学思想
数学教学应该是一个由浅入深的过程，在学习的过程中，我们不能仅仅满足于解决问题，还要从不同角度去比较解决问题的不同渠道的不同效果，探析这些解决问题的方法的优劣，弄清楚隐藏在方法背后的原理，这样才能学得深入，学得有效。在具体学习的过程中，我们应当引导学生关注学习细节，经历充分挖掘、探索、交流等学习过程，这样学生才能从微观角度“看门道”，并初步提炼出基本的数学思想来。
例如在“长方形的周长”教学中，我引导学生得出长方形的周长等于长与宽的和的两倍之后，给学生图1所示的图形，请学生独立计算其周长。一些学生根据题中提供的各条线段的长度计算出两条未知线段的长度，然后用12 8 9 2 3 6来计算图形的周长；还有一些学生用长方形的周长公式来计算，经过交流，学生发现虽然图1并不是一个标准的长方形，但是在计算这个图形的周长时可以将两条较短的线段平移到右上角的小长方形的对边的位置，这样能将原来的图形转化为一个标准的长方形来计算其周长。从数学的角度来看，学生完成这样的转化是有一定干扰的，因为在转化的过程中，图形的形状发生改变，面积也会变大，只有周长不变，学生能抓住这一点来完成转化，用简单的方法求图形的周长，说明他们能抓住周长的本质。完成了图1的周长计算之后，我再请学生尝试独立计算图2和图3的周长，所有的学生都能触类旁通，将原来的图形转化为长方形，并用长方形的周长公式来计算。完成了这些问题之后，我引导学生在观察和回顾中小结这个环节的学习，学生提出像图中这样的图形，虽然不是长方形，但是具备相同的特点，即都是标准的长方形在某一个角或者几个角上缺少了一个小长方形，这样的图形的周长都可以经过平移转化为长方形的周长来计算。这样的方法不但简单，而且不容易遗漏，正确率会更高。
在这个案例的学习中，学生经过动手实践和观察比较发现了计算类似图形周长的一般规律，其实在这个认识过程中学生已经初步运用了转化的思想，将复杂的图形简单化，将繁杂的计算条理化，这样的转化意识一旦在学生大脑中生根发芽，对于他们在今后的学习中能自觉运用转化的方法来解决问题有巨大的推动作用。
二、在交流中明确提出数学思想
很多数学思想来源于人们对实践的总结，当它们清晰地展示在大家的面前的时候，学生可以更好地认识它们，感悟数学思想。因此在课堂学习中，当学生在自觉或者不自觉地运用了数学思想的时候，我们要引导学生深入交流，将数学思想凸显出来，让学生建立更明确的认识。
例如在“圆的面积的练习”教学中，我给学生带来了这样一个问题：如图4所示，正方形的面积为60平方厘米，那么正方形中最大的圆的面积是多少平方厘米？在学生读题后我请他们独立尝试，之后引导学生交流思路。有学生提出了自己的疑问：“圆的面积可以用π乘半径的平方来求，所以我们需要先求出圆的半径，而圆的直径等于正方形的边长，所以根据正方形的面积等于边长乘边长，只要找到一个数的平方等于60就可以了，但是好像找不到这个数呢。”这样的算法得到了众多学生的支持，随后有学生提出了解决的方法：在学习例题的时候我们通过数格子的办法找到了圆的面积与以半径为边长的正方形面积之间的关系，而这道题中已经知道了大正方形的面积，现在我们只要将大正方形平均分成4份就可以得出小正方形（如图4中思维虚线）的面积是15平方厘米，因此半径的平方就等于15，而圆的面积就等于15π平方厘米。在这样的讲解下，学生仿佛发现了新大陆，迅速接受了这样的方法，但是我的教学并没有到此为止，接着我引导学生交流这个方法的巧妙之处，学生在比较中发现，原来的思路拘泥于求出圆的半径是多少，而新方法能直接求出圆的半径的平方，这样的算法抓住了整体，蕴含了整体的思想和代入的思想。
可以说这个解题的方法让学生印象深刻，在此基础上我让学生继续深入探析，将整体思想托出水面，学生对这样的数学思想的作用无疑有更清晰的认识，对于数学思想的认识也更加深入。
三、在总结中反思回顾数学思想
很多数学知识彼此之间是相关联的，在单独学习的时候，学生已经累积了相关的解题经验，当时机成熟的时候，我们应当引导学生进行总结和回顾，让他们将零散的知识串联起来，将孤立的认识系统起来，这样对于学生建立完备的数学认识，形成清晰的数学思想有很大的帮助。
例如在“转化的策略”教学中，学生解决“比较例1中两个图形的大小”的问题相当轻松，他们没有经过任何的提示，很自然地就将原来的拱门和花瓶转化为简单的长方形的面积来比较，并很快得出面积相等的结论。在此基础上，我追问学生是怎样想到这样的方法的，很多学生表示一看到这个问题就想到了如果计算出每个部分的面积再相加，计算量一定比较大，所以很自然就想到了用剪、移、拼的方法将原来的不规则图形转化为规则图形来计算面积。在此基础上，我引导学生回忆在以往的数学学习中有没有运用转化的策略来解决问题的经历，学生想到了很多例子，比如在几何领域，很多平面图形的面积计算公式都是经过转化来进行推导的，像平行四边形的面积计算公式就是转化为长方形之后推导出来的，而三角形和梯形的面积计算公式的推导是在转化为平行四边形的基础上进行的；在数的领域，有将异分母分数经过通分来比较大小及进行分数加减法的计算。通过回忆，学生发现转化的策略其实在数学学习中属于常见的方法，它能够将复杂的问题简单化，可以帮助我们更迅捷地解决问题，有了这样的认识，学生对于转化的认识就从具体的策略上升到一种意识形态和数学思想的高度，这对于学生体会基本的数学思想是大有裨益的。
四、在运用中深化拓展数学思想
数学思想的教学不同于一般的解题技能的训练，可以有相对具体的抓手，在实际教学中我们要引导学生以感悟为主来深化对数学思想的沉淀。因此，在数学课堂上我们要多引导学生比较不同方法间的差异，让学生自己体会运用数学思想给解决问题带来的便利，这样学生就能有意识地展开对数学思想的挖掘，并在日常学习的过程中逐步拓展对数学思想的认识。
例如有这样一道经典的数学问题：黄金分割是一个重要的发现，研究表明，模特儿的腿长占人体高度的百分之六十左右时显得最美，现有一名模特儿的身高为1.65米，她的腿长为97厘米，那么她需要穿上多高的高跟鞋才能让身体比例更协调？不少学生在解决这样的问题时只是用1.65米乘0.6得到99厘米，然后用99厘米减去97厘米等于2厘米。然而经过画图分析，学生发现这样的思路是不正确的，原因在于穿上高跟鞋之后，腿长有所增加，而模特的身高也随之增加，这样其腿长还不能占身高的百分之六十。同样在画图中可以发现，整个过程中模特上身的长度不变，所以计算的时候应抓住这个不变的量来计算，用1.65米减去97厘米得到68厘米，再除以0.4得出穿上高跟鞋后模特的身高应为170厘米，这样就能算出高跟鞋的高度等于170厘米减165厘米，答案为5厘米。这个解题的过程结合图示给了学生清晰的认识，让学生在具体形象面前一望便知具体的方法，也让学生对数形结合的思想有更多的领悟。
总之，数学思想的感悟是数学学习的重要组成部分，我们在实际教学中要注重引导学生在具体生动的情境中体会数学思想、挖掘数学思想，并能自觉运用相应的数学思想去辅助解决实际问题，这样学生的数学素养才能有质的提升，学生的数学学习才能直达根源。