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我国各生产企业大量使用圆柱螺纹量规（圆柱螺纹环规和圆柱螺纹塞规）进行工件测量，其数量过亿支，为保证使用的圆柱螺纹量规质量合格，有数千个单位对在用圆柱螺纹量规开展周期检定。其中圆柱螺纹塞规中径尺寸，传统检定方法是：根据圆柱螺纹塞规牙形角和螺距规格选择三针直径在测长仪上间接测量得到。大多数单位在使用螺纹塞规中径计算公式时，牙形角和螺距按标称值代入，三针按级别使用。由于圆柱螺纹塞规牙形角、螺距和三针有允差范围，此方法对圆柱螺纹塞规牙形角、螺距和三针的误差在螺纹塞规中径测量结果中的影响有多大没有反映出来。而采用对螺纹塞规中径测量计算公式进行不确定度分析的方法，则为解决上述问题提供了一个实用、准确、可靠和有效的方法。
1 问题的提出
按照JJG888-1995《圆柱螺纹量规检定规程》要求，检定圆柱螺纹塞规中径的具体方法是：
按照圆柱螺纹塞规牙形角和螺距规格选择三针在测长仪上直接测量。将三根直径相同的的三针按图1所示放在螺纹牙槽中间，然后测出M值，通过换算求出中径d2。
图1
螺纹塞规中径计算公式
[d2=M-d针1+1sinα2+P2ctgα2] （1）
式中：[M]——测长仪给出的测量值（mm）；[d针]——三针直径（mm）；[P]——标称螺距（mm）；[α2]——标称牙型半角（°）。
上述检定圆柱螺纹塞规中径计算公式应考虑的主要问题是：
为了分析问题方便，以公制圆柱螺纹塞规M100x1.5为例分析。
1.1三针直径[d针]三个针规偏离标称值、不相等时的影响
假设[P]=6mm、[α2]=30°，三个针规直径相等但偏离标称值为：
[Δd针]=1[μ]m （按规程取最大值）
按公式（1）三针直径偏差[Δd针]对螺纹塞规中径[d2]的影响为：
[Δd2=Δd针1+1sinα2]=1x3=3[μ]m
1.2螺距[P]的影响
假设2/[α]=30°，三个针规直径为标称值但[P]偏离标称值为：
[ΔP]=7[μ]m （按规程取最大值）
按公式（1）螺距偏差[P]对螺纹塞规中径[d2]的影响为：
[Δd2=ΔP2ctgα2]=6[μ]m
1.3 2/[α]牙型半角的影响
假设[P]=1.5mm、三个针规直径为[d针]=0.866mm，但2/[α]偏离标称值为：
[Δα/2]=10′ （按规程取最大值）
按公式（1）[2/α]牙型半角偏差[Δ2/α]对螺纹塞规中径[d2]的影响为：
[Δd2=-d针1+1sinα2+P2ctgα2--d针1+1sinα+Δα2+P2ctgα+Δα2=1μm]
从上分析可看出，[2/α]牙型半角影响较小，三针直径[d针]、螺距[P]、有允差且有正有负，因此对螺纹塞规中径尺寸都有很大影响。在螺纹塞规中径测量过程中，如何判别这些影响和相互关系并减少这些影响则是一个关键问题。而公式（1）所表达出的三针直径[d针]、螺距[P]、[2/α]牙型半角间的函数关系给我们采用微分法解决此问题提供了一个很好的途径。
2 圆柱螺纹塞规中径测量不确定度分析
（1）计量标准：测长仪，（0-100）mm，MPE=（1+L/200）[μ]m。
（2）被检对象：圆柱螺纹塞规M100x6。
（3）数学模型
[d2][=M-d针1+1sinα2+P2ctgα2]
（4）方差和灵敏系数
为了分析方便，这里将温度和测力影响按忽略处理，将（1）式非线性函数转变成线性函数，然后对（1）式求全微分，再依
[uc2（y）][=∑?f/?xi2u2xi]
得[uc2（d2）=Cm2u2（M）+Cd针u2（d针）+Cα2u2（α）+CP2u2（P）]
式中：[Cm=?d2/?M=1]
[Cd针][=?d2/?d针=-[1+1/（sinα/2）]=-3]
[Cα][=?d2/?α=[1/（sinα/2）]（d针cosα/2-2/P）]
[CP][=?d2/?P=[1/2（ctgα/2）]=3/2]
（5）计算分量标准不确定度
这里仅对M100×1.5，6G通端普通螺纹塞规检定不确定度进行分析。
已知条件：[d针]=0.866mm，一级三针，温度20±2℃，每小时温度变化不大于0.2℃。
●测长仪的标准不确定度[u（m）]
①测长仪示值误差影响的标准不确定度[u（m1）]
取k=[3]，则：
100mm时，MPE：±1.5μm [u（m1）]=1.5/[3]=0.9μm
该量不可靠性为10%，故：
[v11]=1/2（10/100）2=50
100mm时，[Cmu（m1）]=1×0.9=0.9μm
②使用测长仪两平面帽调整影响的标准不确定度[u（m2）]
两侧帽调整误差△调=0.3μm，均匀分布，则：
[u（m2）]=0.3/[3]≈0.2μm
该量不可靠性为30%，故：
[v1.2]=1/2（30/100）2≈5
[Cmu（m2）]=1×0.2=0.2μm
③螺纹量规按置误差影响的标准不确定度[u（m3）]，
使用旋转工作台，其按置误差△按=0.3μm，均匀分布，则： [u（m3）]=0.3/3≈0.2μm
该量不可靠性为30%，故：
[v1.3]=1/2（30/100）-2≈5
[Cmu（m3）]=1×0.2=0.2μm
●三针直径偏差影响的标准不确定度[u（d针）]
选用1级d针=0.866mm，△d针=1μm，三角形分布，则
[u（d针）]=1/[6]≈0.4μm
该量不可靠性为20%，故：
[v2]=1/2（20/100）2≈12
[Cd针u（d针）]=3×0.4=1.2μm
●螺纹塞规螺距P偏差影响的标准不确定度[u（p）]
在万工显上测p=1.5mm螺距时，△p=1.1μm，均匀分布，则[u（p）]=1.1/[3]≈0.8μm。
该量不可靠性为30%，故：[v3]=1/2（30/100）2≈5
[Cpu（p）]=（3/2）×0.8≈0.7μm
●螺纹牙型角α偏差影响的标准不确定度[u（α）]
测量结果为：
[Δ示=]±1′，[C2u（α）]趋于零，此项影响可略。
●标准不确定度分量一览表（表1）
M100时，[uc（d2）]=1.6μm，[veff]=79。
（6）合成标准不确定度
[uc2（d2）=Cm2u2（m1）+Cm2u2（m2）+Cm2u2（m3）+Cd针2u2（d针）+Cp2u2（p）]
M100时，[uc2（d2）][=0.92+0.22+0.22+1.22+0.72]=2.6（μm）2
[uc2（d2）]≈1.6μm
（7）有效自由度计算
M100时，
[veff]=1.74/（1.04/50+0.24/5+0.24/5+0.44/12+0.84/5）≈79
从可靠性考虑，取[veff]=59。
（8）扩展不确定度
设定P取0.95，查表得[k95]（59）=2，则
在M100时[U=k95（59）uc（d2）]=2×1.6≈3μm
从上不确定度分析可知：测长仪、三针直径、螺距是测量螺纹塞规中径尺寸的主要影响源。因此在螺纹塞规中径尺寸测量过程前，要掌握如下几点：测长仪使用点示值误差的大小；三针直径[d针]的准确尺寸和相互间的差值；测量螺距P的尺寸并加以修正。
3 检定结果的比对试验和实际效果
正是按照上述分析总结进行螺纹塞规中径尺寸测量，实际检定质量大大提高，其可靠性通过比对试验分析如下：
内部比对试验分析
2010年8月在更换三针和测长仪的条件下对同一M100×1.5，6G通端普通螺纹塞规分别进行中径测量，结果如表2：
表2
2010年9月将该M100×1.5，6G通端普通螺纹塞规送辽宁省计量院进行中径测量，结果如表3：
表3
结论：本单位两次中径尺寸测量结果差和与上级测量结果差均远小于不确定度分析的[2U]倍，完全符合要求。
1 问题的提出
按照JJG888-1995《圆柱螺纹量规检定规程》要求，检定圆柱螺纹塞规中径的具体方法是：
按照圆柱螺纹塞规牙形角和螺距规格选择三针在测长仪上直接测量。将三根直径相同的的三针按图1所示放在螺纹牙槽中间，然后测出M值，通过换算求出中径d2。
图1
螺纹塞规中径计算公式
[d2=M-d针1+1sinα2+P2ctgα2] （1）
式中：[M]——测长仪给出的测量值（mm）；[d针]——三针直径（mm）；[P]——标称螺距（mm）；[α2]——标称牙型半角（°）。
上述检定圆柱螺纹塞规中径计算公式应考虑的主要问题是：
为了分析问题方便，以公制圆柱螺纹塞规M100x1.5为例分析。
1.1三针直径[d针]三个针规偏离标称值、不相等时的影响
假设[P]=6mm、[α2]=30°，三个针规直径相等但偏离标称值为：
[Δd针]=1[μ]m （按规程取最大值）
按公式（1）三针直径偏差[Δd针]对螺纹塞规中径[d2]的影响为：
[Δd2=Δd针1+1sinα2]=1x3=3[μ]m
1.2螺距[P]的影响
假设2/[α]=30°，三个针规直径为标称值但[P]偏离标称值为：
[ΔP]=7[μ]m （按规程取最大值）
按公式（1）螺距偏差[P]对螺纹塞规中径[d2]的影响为：
[Δd2=ΔP2ctgα2]=6[μ]m
1.3 2/[α]牙型半角的影响
假设[P]=1.5mm、三个针规直径为[d针]=0.866mm，但2/[α]偏离标称值为：
[Δα/2]=10′ （按规程取最大值）
按公式（1）[2/α]牙型半角偏差[Δ2/α]对螺纹塞规中径[d2]的影响为：
[Δd2=-d针1+1sinα2+P2ctgα2--d针1+1sinα+Δα2+P2ctgα+Δα2=1μm]
从上分析可看出，[2/α]牙型半角影响较小，三针直径[d针]、螺距[P]、有允差且有正有负，因此对螺纹塞规中径尺寸都有很大影响。在螺纹塞规中径测量过程中，如何判别这些影响和相互关系并减少这些影响则是一个关键问题。而公式（1）所表达出的三针直径[d针]、螺距[P]、[2/α]牙型半角间的函数关系给我们采用微分法解决此问题提供了一个很好的途径。
2 圆柱螺纹塞规中径测量不确定度分析
（1）计量标准：测长仪，（0-100）mm，MPE=（1+L/200）[μ]m。
（2）被检对象：圆柱螺纹塞规M100x6。
（3）数学模型
[d2][=M-d针1+1sinα2+P2ctgα2]
（4）方差和灵敏系数
为了分析方便，这里将温度和测力影响按忽略处理，将（1）式非线性函数转变成线性函数，然后对（1）式求全微分，再依
[uc2（y）][=∑?f/?xi2u2xi]
得[uc2（d2）=Cm2u2（M）+Cd针u2（d针）+Cα2u2（α）+CP2u2（P）]
式中：[Cm=?d2/?M=1]
[Cd针][=?d2/?d针=-[1+1/（sinα/2）]=-3]
[Cα][=?d2/?α=[1/（sinα/2）]（d针cosα/2-2/P）]
[CP][=?d2/?P=[1/2（ctgα/2）]=3/2]
（5）计算分量标准不确定度
这里仅对M100×1.5，6G通端普通螺纹塞规检定不确定度进行分析。
已知条件：[d针]=0.866mm，一级三针，温度20±2℃，每小时温度变化不大于0.2℃。
●测长仪的标准不确定度[u（m）]
①测长仪示值误差影响的标准不确定度[u（m1）]
取k=[3]，则：
100mm时，MPE：±1.5μm [u（m1）]=1.5/[3]=0.9μm
该量不可靠性为10%，故：
[v11]=1/2（10/100）2=50
100mm时，[Cmu（m1）]=1×0.9=0.9μm
②使用测长仪两平面帽调整影响的标准不确定度[u（m2）]
两侧帽调整误差△调=0.3μm，均匀分布，则：
[u（m2）]=0.3/[3]≈0.2μm
该量不可靠性为30%，故：
[v1.2]=1/2（30/100）2≈5
[Cmu（m2）]=1×0.2=0.2μm
③螺纹量规按置误差影响的标准不确定度[u（m3）]，
使用旋转工作台，其按置误差△按=0.3μm，均匀分布，则： [u（m3）]=0.3/3≈0.2μm
该量不可靠性为30%，故：
[v1.3]=1/2（30/100）-2≈5
[Cmu（m3）]=1×0.2=0.2μm
●三针直径偏差影响的标准不确定度[u（d针）]
选用1级d针=0.866mm，△d针=1μm，三角形分布，则
[u（d针）]=1/[6]≈0.4μm
该量不可靠性为20%，故：
[v2]=1/2（20/100）2≈12
[Cd针u（d针）]=3×0.4=1.2μm
●螺纹塞规螺距P偏差影响的标准不确定度[u（p）]
在万工显上测p=1.5mm螺距时，△p=1.1μm，均匀分布，则[u（p）]=1.1/[3]≈0.8μm。
该量不可靠性为30%，故：[v3]=1/2（30/100）2≈5
[Cpu（p）]=（3/2）×0.8≈0.7μm
●螺纹牙型角α偏差影响的标准不确定度[u（α）]
测量结果为：
[Δ示=]±1′，[C2u（α）]趋于零，此项影响可略。
●标准不确定度分量一览表（表1）
M100时，[uc（d2）]=1.6μm，[veff]=79。
（6）合成标准不确定度
[uc2（d2）=Cm2u2（m1）+Cm2u2（m2）+Cm2u2（m3）+Cd针2u2（d针）+Cp2u2（p）]
M100时，[uc2（d2）][=0.92+0.22+0.22+1.22+0.72]=2.6（μm）2
[uc2（d2）]≈1.6μm
（7）有效自由度计算
M100时，
[veff]=1.74/（1.04/50+0.24/5+0.24/5+0.44/12+0.84/5）≈79
从可靠性考虑，取[veff]=59。
（8）扩展不确定度
设定P取0.95，查表得[k95]（59）=2，则
在M100时[U=k95（59）uc（d2）]=2×1.6≈3μm
从上不确定度分析可知：测长仪、三针直径、螺距是测量螺纹塞规中径尺寸的主要影响源。因此在螺纹塞规中径尺寸测量过程前，要掌握如下几点：测长仪使用点示值误差的大小；三针直径[d针]的准确尺寸和相互间的差值；测量螺距P的尺寸并加以修正。
3 检定结果的比对试验和实际效果
正是按照上述分析总结进行螺纹塞规中径尺寸测量，实际检定质量大大提高，其可靠性通过比对试验分析如下：
内部比对试验分析
2010年8月在更换三针和测长仪的条件下对同一M100×1.5，6G通端普通螺纹塞规分别进行中径测量，结果如表2：
表2
2010年9月将该M100×1.5，6G通端普通螺纹塞规送辽宁省计量院进行中径测量，结果如表3：
表3
结论：本单位两次中径尺寸测量结果差和与上级测量结果差均远小于不确定度分析的[2U]倍，完全符合要求。