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[摘 要] 新课改风向标下，数学教学以提升思维的数学观为依据，提出基于变式教学的数学教学理念. 基于变式教学具体实施的案例研究，文章从变式教学的基本理念和主要意义、注意事项谈起，详细阐释了变式教学的实践过程，为更进一步推进提供线索.
[关键词] 高中数学;变式教学;知识结构;思维能力
■问题的提出
新课改实施以来，尽管数学课堂教与学发生了巨变，但一些问题仍然是存在的. 主要表现在：大部分一线数学教师兢兢业业地传授数学知识，但教学效果却堪忧. 造成低效学习的原因是什么呢？“灌输式”教学占据主要地位，教师单向传授，学生被动思考，这是其一;“就题论题”式讲授及处理例习题的方法单一，使得学生的思维能力无法得到有效培养，这是其二;“题海战术”这样的机械性练习弥漫整个高中教学，学生的学习负担越来越重，学生的学习兴趣下降，学习效果可想而知，这是其三.
那么，如何提升学习效果呢？以“变式教学”为载体的教学方式也许能在一定程度上解决上述问题，促进课堂教与学的平衡.
■变式教学的基本理念
与变式相关的论述，教育心理学中多次给出了意见，但均一致性地认为“变式即对象正例的变化”，所谓“变式教学”就是教学过程中，或变更概念中的非本质特征，或变换问题条件、结论，又或是转化问题的形式、内容，进而又意识地引领学生从“变”中找寻“不变”，从“不变”中探究“变”的规律[1]. 可见，无论是对教学而言，还是对学生的发展而言，变式教学都有着非常重要的意义.
■变式教学的主要意义
1. 以变式渗透概念，激发兴趣
课本中，某些概念较为抽象，倘若教师直接出示概念，学生自然觉得突兀费解，而变式教学的出现正好是对概念本质的剖析，通过变式与相关概念的结合，在不断变化概念的非本质属性和反复呈现概念的本质属性中，使学生准确生成概念，起到完善概念结构的有益补充. 因此，教师可以根据概念的类型，创设生动的教学情境，设计有效的变式，不仅能使学生准确获取概念，还能由变式中情境的生动和趣味，激发他们浓厚的学习兴趣.
例如，学习“指数函数概念”时，可以提出如下变式：
①一张白纸，将它重叠后一剪为二，再重叠后剪成两半，再重叠后再剪一次……那么，剪完3次后所有的纸叠放在一起，一共有多少层？剪5次呢？剪15次呢？
②若这张纸的厚度是0.1mm，那么剪了15次后，将所有的纸叠在一起，会多高呢？有一个人那么高吗？剪20次，又有多高呢？
③请试着建立“纸张数y与剪纸次数x”之间的函数关系式. （最后提出，生活中随处可见这样的函数，适时出示概念）
又如，等差数列中的深化变式：已知等差数列{an}中，有a■=9，a■=3，求a■.
推广1：已知等差数列{an}中，有a■=n，a■=m（m≠n），求am+n.
推广2：已知等差数列{an}中，有S■=100，S■=10，求S■.
推广3： 已知等差数列{an}中，有Sm=n，S■=m（m≠n），求Sm+n.
学生变式： 已知等差数列{an}中，有S■=10，S■=100，求S■.
该变式从特殊到一般地进行推广，以建立已有经验与抽象概念间的联系，充分激趣的同时，使学生印象深刻并形成知识网络. 不仅如此，这里的变式教学还强化了学生的数学概念意识，有助于学生在面对这一类高考试题时能够举一反三，轻松应对.
2. 以变式预设错误，思维严谨
学生的思维只有在反复地锻炼中才能得以深化. 因此，在进行概念、公式、定理等的教学中，教师可以多角度地改变概念来预设学生的错误，以凸显其中的一些关键之处，从而深化学生对细微处的理解，养成严谨思维的习惯.
例如，学习函数奇偶性的定义，为了深化定义中的“定义域关于原点对称”等问题，笔者引入以下变式题组：
判断以下函数的奇偶性，并逐一阐明原因：
（1）①f（x）=-■，x∈R且x≠0;
②f（x）=-■，x∈[-1，0）∪（0，1];
③f（x）=-■，x∈[-1，0）∪（0，1）;
④f（x）=-■，x∈（0，+∞）;
（2）①f（x）=■;
②f（x）=■.
為了使学生深化对定义内涵和外延的认识，除了出示定义的过程中反复强调以外，还可以反例和错例的辨析等形式设置变式题组，使学生多方位、多角度和多层次进行分析，从而发现问题症结所在，以达到融会贯通的目的. 以上变式题组中，第（2）组是易错问题，不仅需考虑到函数的定义域，还需化简后才能得以判断，通过这一类问题的辨析，可以提升学生思维的严谨性.
3. 以变式深化问题，拓展思维
面对时间紧、内容多、任务重的高三复习课的局面，闯出一条省时而有效的复习道路是每个高中数学教师关注的课题. 针对这一局面，教师需要加强变式训练的力度，通过对一个问题的深入变式，引导学生去类比、去联想，探索并确定问题的思考方向，深化学生的问题认识和理解，在更深入而透彻理解问题的本质的同时，增强应变能力，拓展思维，提升数学素养[2].
例1：已知定点A（-3，0）和B（4，0），若动点P（x，y）与A，B两点构成的∠APB恒为直角，试求出点P的轨迹方程.
变式1：已知定点A（-3，0）和B（4，0），若分别过点A和B的动直线l■，l■相互垂直，试求出交点P的轨迹方程.
变式2：已知定点A（-3，0）和B（4，0），试求出动点P（动点P为垂足）满足PA⊥PB时的轨迹方程.
深入挖掘本例可以看出，变式1和2与例1不仅意思相同，知识背景也一样，而仅仅是在表达方式上有了变化，这里只需学生明晰“点P在以线段AB为直径的圆周上”这一重要性质即可完善解题路径，以此变式题组进行推广和引申，达到多题一解的效果. ■几个注意点
1. 适量性与适度性兼顾
变式教学中，教师需明晰变式并不在于多，关键在于精，要以具有典型性的变式去启迪学生的思维. 倘若数量过多，则易异化为题海战术，加重学习负担，带来负面影响;倘若数量过少，则无法实现预期效果.
除此之外，变式也不可过度滥用，需掌握好适度性原则，既不能难度太小，也不可难度过大. 倘若仅在原题的数字或符号上做文章，则无法激活学生的思维，耗时且耗力;倘若“变”出“繁、难、杂”的题型，来消磨学生有效的学习时间，则易使其产生挫败感，无法生成高层次的思维.
唯有循序渐进地进行变式，并兼顾适量性和适度性原则，才能使学生在全面而深刻地理解知识的同时，发展思维品质.
2. 适度的训练与适时的总结兼行
变式教学需要适度的训练，以适度的训练来展现其千差万别的表现形式，以适度的训练来丰富学生的知识系统，以适度的训练来锻炼学生的数学思维. 当然，变式教学中，除了适度的训练，还必须有适时的总结. 适时的总结能让学生概括出一般性的规律，拥有更多解决问题的策略，更加透彻地理解知识间的联系与区别，实现知识的有效迁移. 因此，适度的训练与适时的总结应兼行，通过适度的训练，学生对变式背后的问题有了一定的理解;通过适时的总结，了解到知识的来龙去脉和相互关系.
总之，变式教学给数学教学带来了勃勃生机，提升了学生的兴趣，回避了“题海战术”，提升了教学效率，引领学生去体验“变”与“不变”，发现问题中的“变”与“不变”，使学生获得了较好的数学体验[3]. 只有这样，学生的思维能力才能得到极大程度的锻炼，才能更好地培养数学素养[4].
参考文献：
[1] 劉兵生. 高中数学变式教学的心理学浅议[J]. 中学课程辅导（教学研究），2013，7（24）.
[2] 温孙莹. 让数学课堂在“变式”中生成精彩——从习题的“变身”浅谈变式教学[J].数学教学研究，2015（8）.
[3] 王广余. “变”中出“彩”——一堂高三复习课的教学实录与点评[J]. 中学数学教学参考，2007（9）.
[4] 胡水林. 情景引入、启发诱导、变式探究、反思提高——高中新课程理念下数学课堂教学模式的探讨[J]. 浙江教学研究，2007（3）.
[关键词] 高中数学;变式教学;知识结构;思维能力
■问题的提出
新课改实施以来，尽管数学课堂教与学发生了巨变，但一些问题仍然是存在的. 主要表现在：大部分一线数学教师兢兢业业地传授数学知识，但教学效果却堪忧. 造成低效学习的原因是什么呢？“灌输式”教学占据主要地位，教师单向传授，学生被动思考，这是其一;“就题论题”式讲授及处理例习题的方法单一，使得学生的思维能力无法得到有效培养，这是其二;“题海战术”这样的机械性练习弥漫整个高中教学，学生的学习负担越来越重，学生的学习兴趣下降，学习效果可想而知，这是其三.
那么，如何提升学习效果呢？以“变式教学”为载体的教学方式也许能在一定程度上解决上述问题，促进课堂教与学的平衡.
■变式教学的基本理念
与变式相关的论述，教育心理学中多次给出了意见，但均一致性地认为“变式即对象正例的变化”，所谓“变式教学”就是教学过程中，或变更概念中的非本质特征，或变换问题条件、结论，又或是转化问题的形式、内容，进而又意识地引领学生从“变”中找寻“不变”，从“不变”中探究“变”的规律[1]. 可见，无论是对教学而言，还是对学生的发展而言，变式教学都有着非常重要的意义.
■变式教学的主要意义
1. 以变式渗透概念，激发兴趣
课本中，某些概念较为抽象，倘若教师直接出示概念，学生自然觉得突兀费解，而变式教学的出现正好是对概念本质的剖析，通过变式与相关概念的结合，在不断变化概念的非本质属性和反复呈现概念的本质属性中，使学生准确生成概念，起到完善概念结构的有益补充. 因此，教师可以根据概念的类型，创设生动的教学情境，设计有效的变式，不仅能使学生准确获取概念，还能由变式中情境的生动和趣味，激发他们浓厚的学习兴趣.
例如，学习“指数函数概念”时，可以提出如下变式：
①一张白纸，将它重叠后一剪为二，再重叠后剪成两半，再重叠后再剪一次……那么，剪完3次后所有的纸叠放在一起，一共有多少层？剪5次呢？剪15次呢？
②若这张纸的厚度是0.1mm，那么剪了15次后，将所有的纸叠在一起，会多高呢？有一个人那么高吗？剪20次，又有多高呢？
③请试着建立“纸张数y与剪纸次数x”之间的函数关系式. （最后提出，生活中随处可见这样的函数，适时出示概念）
又如，等差数列中的深化变式：已知等差数列{an}中，有a■=9，a■=3，求a■.
推广1：已知等差数列{an}中，有a■=n，a■=m（m≠n），求am+n.
推广2：已知等差数列{an}中，有S■=100，S■=10，求S■.
推广3： 已知等差数列{an}中，有Sm=n，S■=m（m≠n），求Sm+n.
学生变式： 已知等差数列{an}中，有S■=10，S■=100，求S■.
该变式从特殊到一般地进行推广，以建立已有经验与抽象概念间的联系，充分激趣的同时，使学生印象深刻并形成知识网络. 不仅如此，这里的变式教学还强化了学生的数学概念意识，有助于学生在面对这一类高考试题时能够举一反三，轻松应对.
2. 以变式预设错误，思维严谨
学生的思维只有在反复地锻炼中才能得以深化. 因此，在进行概念、公式、定理等的教学中，教师可以多角度地改变概念来预设学生的错误，以凸显其中的一些关键之处，从而深化学生对细微处的理解，养成严谨思维的习惯.
例如，学习函数奇偶性的定义，为了深化定义中的“定义域关于原点对称”等问题，笔者引入以下变式题组：
判断以下函数的奇偶性，并逐一阐明原因：
（1）①f（x）=-■，x∈R且x≠0;
②f（x）=-■，x∈[-1，0）∪（0，1];
③f（x）=-■，x∈[-1，0）∪（0，1）;
④f（x）=-■，x∈（0，+∞）;
（2）①f（x）=■;
②f（x）=■.
為了使学生深化对定义内涵和外延的认识，除了出示定义的过程中反复强调以外，还可以反例和错例的辨析等形式设置变式题组，使学生多方位、多角度和多层次进行分析，从而发现问题症结所在，以达到融会贯通的目的. 以上变式题组中，第（2）组是易错问题，不仅需考虑到函数的定义域，还需化简后才能得以判断，通过这一类问题的辨析，可以提升学生思维的严谨性.
3. 以变式深化问题，拓展思维
面对时间紧、内容多、任务重的高三复习课的局面，闯出一条省时而有效的复习道路是每个高中数学教师关注的课题. 针对这一局面，教师需要加强变式训练的力度，通过对一个问题的深入变式，引导学生去类比、去联想，探索并确定问题的思考方向，深化学生的问题认识和理解，在更深入而透彻理解问题的本质的同时，增强应变能力，拓展思维，提升数学素养[2].
例1：已知定点A（-3，0）和B（4，0），若动点P（x，y）与A，B两点构成的∠APB恒为直角，试求出点P的轨迹方程.
变式1：已知定点A（-3，0）和B（4，0），若分别过点A和B的动直线l■，l■相互垂直，试求出交点P的轨迹方程.
变式2：已知定点A（-3，0）和B（4，0），试求出动点P（动点P为垂足）满足PA⊥PB时的轨迹方程.
深入挖掘本例可以看出，变式1和2与例1不仅意思相同，知识背景也一样，而仅仅是在表达方式上有了变化，这里只需学生明晰“点P在以线段AB为直径的圆周上”这一重要性质即可完善解题路径，以此变式题组进行推广和引申，达到多题一解的效果. ■几个注意点
1. 适量性与适度性兼顾
变式教学中，教师需明晰变式并不在于多，关键在于精，要以具有典型性的变式去启迪学生的思维. 倘若数量过多，则易异化为题海战术，加重学习负担，带来负面影响;倘若数量过少，则无法实现预期效果.
除此之外，变式也不可过度滥用，需掌握好适度性原则，既不能难度太小，也不可难度过大. 倘若仅在原题的数字或符号上做文章，则无法激活学生的思维，耗时且耗力;倘若“变”出“繁、难、杂”的题型，来消磨学生有效的学习时间，则易使其产生挫败感，无法生成高层次的思维.
唯有循序渐进地进行变式，并兼顾适量性和适度性原则，才能使学生在全面而深刻地理解知识的同时，发展思维品质.
2. 适度的训练与适时的总结兼行
变式教学需要适度的训练，以适度的训练来展现其千差万别的表现形式，以适度的训练来丰富学生的知识系统，以适度的训练来锻炼学生的数学思维. 当然，变式教学中，除了适度的训练，还必须有适时的总结. 适时的总结能让学生概括出一般性的规律，拥有更多解决问题的策略，更加透彻地理解知识间的联系与区别，实现知识的有效迁移. 因此，适度的训练与适时的总结应兼行，通过适度的训练，学生对变式背后的问题有了一定的理解;通过适时的总结，了解到知识的来龙去脉和相互关系.
总之，变式教学给数学教学带来了勃勃生机，提升了学生的兴趣，回避了“题海战术”，提升了教学效率，引领学生去体验“变”与“不变”，发现问题中的“变”与“不变”，使学生获得了较好的数学体验[3]. 只有这样，学生的思维能力才能得到极大程度的锻炼，才能更好地培养数学素养[4].
参考文献：
[1] 劉兵生. 高中数学变式教学的心理学浅议[J]. 中学课程辅导（教学研究），2013，7（24）.
[2] 温孙莹. 让数学课堂在“变式”中生成精彩——从习题的“变身”浅谈变式教学[J].数学教学研究，2015（8）.
[3] 王广余. “变”中出“彩”——一堂高三复习课的教学实录与点评[J]. 中学数学教学参考，2007（9）.
[4] 胡水林. 情景引入、启发诱导、变式探究、反思提高——高中新课程理念下数学课堂教学模式的探讨[J]. 浙江教学研究，2007（3）.