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[摘 要] 新课改风向标下,数学教学以提升思维的数学观为依据,提出基于变式教学的数学教学理念. 基于变式教学具体实施的案例研究,文章从变式教学的基本理念和主要意义、注意事项谈起,详细阐释了变式教学的实践过程,为更进一步推进提供线索.
[关键词] 高中数学;变式教学;知识结构;思维能力
■问题的提出
新课改实施以来,尽管数学课堂教与学发生了巨变,但一些问题仍然是存在的. 主要表现在:大部分一线数学教师兢兢业业地传授数学知识,但教学效果却堪忧. 造成低效学习的原因是什么呢?“灌输式”教学占据主要地位,教师单向传授,学生被动思考,这是其一;“就题论题”式讲授及处理例习题的方法单一,使得学生的思维能力无法得到有效培养,这是其二;“题海战术”这样的机械性练习弥漫整个高中教学,学生的学习负担越来越重,学生的学习兴趣下降,学习效果可想而知,这是其三.
那么,如何提升学习效果呢?以“变式教学”为载体的教学方式也许能在一定程度上解决上述问题,促进课堂教与学的平衡.
■变式教学的基本理念
与变式相关的论述,教育心理学中多次给出了意见,但均一致性地认为“变式即对象正例的变化”,所谓“变式教学”就是教学过程中,或变更概念中的非本质特征,或变换问题条件、结论,又或是转化问题的形式、内容,进而又意识地引领学生从“变”中找寻“不变”,从“不变”中探究“变”的规律[1]. 可见,无论是对教学而言,还是对学生的发展而言,变式教学都有着非常重要的意义.
■变式教学的主要意义
1. 以变式渗透概念,激发兴趣
课本中,某些概念较为抽象,倘若教师直接出示概念,学生自然觉得突兀费解,而变式教学的出现正好是对概念本质的剖析,通过变式与相关概念的结合,在不断变化概念的非本质属性和反复呈现概念的本质属性中,使学生准确生成概念,起到完善概念结构的有益补充. 因此,教师可以根据概念的类型,创设生动的教学情境,设计有效的变式,不仅能使学生准确获取概念,还能由变式中情境的生动和趣味,激发他们浓厚的学习兴趣.
例如,学习“指数函数概念”时,可以提出如下变式:
①一张白纸,将它重叠后一剪为二,再重叠后剪成两半,再重叠后再剪一次……那么,剪完3次后所有的纸叠放在一起,一共有多少层?剪5次呢?剪15次呢?
②若这张纸的厚度是0.1mm,那么剪了15次后,将所有的纸叠在一起,会多高呢?有一个人那么高吗?剪20次,又有多高呢?
③请试着建立“纸张数y与剪纸次数x”之间的函数关系式. (最后提出,生活中随处可见这样的函数,适时出示概念)
又如,等差数列中的深化变式:已知等差数列{an}中,有a■=9,a■=3,求a■.
推广1:已知等差数列{an}中,有a■=n,a■=m(m≠n),求am+n.
推广2:已知等差数列{an}中,有S■=100,S■=10,求S■.
推广3: 已知等差数列{an}中,有Sm=n,S■=m(m≠n),求Sm+n.
学生变式: 已知等差数列{an}中,有S■=10,S■=100,求S■.
该变式从特殊到一般地进行推广,以建立已有经验与抽象概念间的联系,充分激趣的同时,使学生印象深刻并形成知识网络. 不仅如此,这里的变式教学还强化了学生的数学概念意识,有助于学生在面对这一类高考试题时能够举一反三,轻松应对.
2. 以变式预设错误,思维严谨
学生的思维只有在反复地锻炼中才能得以深化. 因此,在进行概念、公式、定理等的教学中,教师可以多角度地改变概念来预设学生的错误,以凸显其中的一些关键之处,从而深化学生对细微处的理解,养成严谨思维的习惯.
例如,学习函数奇偶性的定义,为了深化定义中的“定义域关于原点对称”等问题,笔者引入以下变式题组:
判断以下函数的奇偶性,并逐一阐明原因:
(1)①f(x)=-■,x∈R且x≠0;
②f(x)=-■,x∈[-1,0)∪(0,1];
③f(x)=-■,x∈[-1,0)∪(0,1);
④f(x)=-■,x∈(0,+∞);
(2)①f(x)=■;
②f(x)=■.
為了使学生深化对定义内涵和外延的认识,除了出示定义的过程中反复强调以外,还可以反例和错例的辨析等形式设置变式题组,使学生多方位、多角度和多层次进行分析,从而发现问题症结所在,以达到融会贯通的目的. 以上变式题组中,第(2)组是易错问题,不仅需考虑到函数的定义域,还需化简后才能得以判断,通过这一类问题的辨析,可以提升学生思维的严谨性.
3. 以变式深化问题,拓展思维
面对时间紧、内容多、任务重的高三复习课的局面,闯出一条省时而有效的复习道路是每个高中数学教师关注的课题. 针对这一局面,教师需要加强变式训练的力度,通过对一个问题的深入变式,引导学生去类比、去联想,探索并确定问题的思考方向,深化学生的问题认识和理解,在更深入而透彻理解问题的本质的同时,增强应变能力,拓展思维,提升数学素养[2].
例1:已知定点A(-3,0)和B(4,0),若动点P(x,y)与A,B两点构成的∠APB恒为直角,试求出点P的轨迹方程.
变式1:已知定点A(-3,0)和B(4,0),若分别过点A和B的动直线l■,l■相互垂直,试求出交点P的轨迹方程.
变式2:已知定点A(-3,0)和B(4,0),试求出动点P(动点P为垂足)满足PA⊥PB时的轨迹方程.
深入挖掘本例可以看出,变式1和2与例1不仅意思相同,知识背景也一样,而仅仅是在表达方式上有了变化,这里只需学生明晰“点P在以线段AB为直径的圆周上”这一重要性质即可完善解题路径,以此变式题组进行推广和引申,达到多题一解的效果. ■几个注意点
1. 适量性与适度性兼顾
变式教学中,教师需明晰变式并不在于多,关键在于精,要以具有典型性的变式去启迪学生的思维. 倘若数量过多,则易异化为题海战术,加重学习负担,带来负面影响;倘若数量过少,则无法实现预期效果.
除此之外,变式也不可过度滥用,需掌握好适度性原则,既不能难度太小,也不可难度过大. 倘若仅在原题的数字或符号上做文章,则无法激活学生的思维,耗时且耗力;倘若“变”出“繁、难、杂”的题型,来消磨学生有效的学习时间,则易使其产生挫败感,无法生成高层次的思维.
唯有循序渐进地进行变式,并兼顾适量性和适度性原则,才能使学生在全面而深刻地理解知识的同时,发展思维品质.
2. 适度的训练与适时的总结兼行
变式教学需要适度的训练,以适度的训练来展现其千差万别的表现形式,以适度的训练来丰富学生的知识系统,以适度的训练来锻炼学生的数学思维. 当然,变式教学中,除了适度的训练,还必须有适时的总结. 适时的总结能让学生概括出一般性的规律,拥有更多解决问题的策略,更加透彻地理解知识间的联系与区别,实现知识的有效迁移. 因此,适度的训练与适时的总结应兼行,通过适度的训练,学生对变式背后的问题有了一定的理解;通过适时的总结,了解到知识的来龙去脉和相互关系.
总之,变式教学给数学教学带来了勃勃生机,提升了学生的兴趣,回避了“题海战术”,提升了教学效率,引领学生去体验“变”与“不变”,发现问题中的“变”与“不变”,使学生获得了较好的数学体验[3]. 只有这样,学生的思维能力才能得到极大程度的锻炼,才能更好地培养数学素养[4].
参考文献:
[1] 劉兵生. 高中数学变式教学的心理学浅议[J]. 中学课程辅导(教学研究),2013,7(24).
[2] 温孙莹. 让数学课堂在“变式”中生成精彩——从习题的“变身”浅谈变式教学[J].数学教学研究,2015(8).
[3] 王广余. “变”中出“彩”——一堂高三复习课的教学实录与点评[J]. 中学数学教学参考,2007(9).
[4] 胡水林. 情景引入、启发诱导、变式探究、反思提高——高中新课程理念下数学课堂教学模式的探讨[J]. 浙江教学研究,2007(3).
[关键词] 高中数学;变式教学;知识结构;思维能力
■问题的提出
新课改实施以来,尽管数学课堂教与学发生了巨变,但一些问题仍然是存在的. 主要表现在:大部分一线数学教师兢兢业业地传授数学知识,但教学效果却堪忧. 造成低效学习的原因是什么呢?“灌输式”教学占据主要地位,教师单向传授,学生被动思考,这是其一;“就题论题”式讲授及处理例习题的方法单一,使得学生的思维能力无法得到有效培养,这是其二;“题海战术”这样的机械性练习弥漫整个高中教学,学生的学习负担越来越重,学生的学习兴趣下降,学习效果可想而知,这是其三.
那么,如何提升学习效果呢?以“变式教学”为载体的教学方式也许能在一定程度上解决上述问题,促进课堂教与学的平衡.
■变式教学的基本理念
与变式相关的论述,教育心理学中多次给出了意见,但均一致性地认为“变式即对象正例的变化”,所谓“变式教学”就是教学过程中,或变更概念中的非本质特征,或变换问题条件、结论,又或是转化问题的形式、内容,进而又意识地引领学生从“变”中找寻“不变”,从“不变”中探究“变”的规律[1]. 可见,无论是对教学而言,还是对学生的发展而言,变式教学都有着非常重要的意义.
■变式教学的主要意义
1. 以变式渗透概念,激发兴趣
课本中,某些概念较为抽象,倘若教师直接出示概念,学生自然觉得突兀费解,而变式教学的出现正好是对概念本质的剖析,通过变式与相关概念的结合,在不断变化概念的非本质属性和反复呈现概念的本质属性中,使学生准确生成概念,起到完善概念结构的有益补充. 因此,教师可以根据概念的类型,创设生动的教学情境,设计有效的变式,不仅能使学生准确获取概念,还能由变式中情境的生动和趣味,激发他们浓厚的学习兴趣.
例如,学习“指数函数概念”时,可以提出如下变式:
①一张白纸,将它重叠后一剪为二,再重叠后剪成两半,再重叠后再剪一次……那么,剪完3次后所有的纸叠放在一起,一共有多少层?剪5次呢?剪15次呢?
②若这张纸的厚度是0.1mm,那么剪了15次后,将所有的纸叠在一起,会多高呢?有一个人那么高吗?剪20次,又有多高呢?
③请试着建立“纸张数y与剪纸次数x”之间的函数关系式. (最后提出,生活中随处可见这样的函数,适时出示概念)
又如,等差数列中的深化变式:已知等差数列{an}中,有a■=9,a■=3,求a■.
推广1:已知等差数列{an}中,有a■=n,a■=m(m≠n),求am+n.
推广2:已知等差数列{an}中,有S■=100,S■=10,求S■.
推广3: 已知等差数列{an}中,有Sm=n,S■=m(m≠n),求Sm+n.
学生变式: 已知等差数列{an}中,有S■=10,S■=100,求S■.
该变式从特殊到一般地进行推广,以建立已有经验与抽象概念间的联系,充分激趣的同时,使学生印象深刻并形成知识网络. 不仅如此,这里的变式教学还强化了学生的数学概念意识,有助于学生在面对这一类高考试题时能够举一反三,轻松应对.
2. 以变式预设错误,思维严谨
学生的思维只有在反复地锻炼中才能得以深化. 因此,在进行概念、公式、定理等的教学中,教师可以多角度地改变概念来预设学生的错误,以凸显其中的一些关键之处,从而深化学生对细微处的理解,养成严谨思维的习惯.
例如,学习函数奇偶性的定义,为了深化定义中的“定义域关于原点对称”等问题,笔者引入以下变式题组:
判断以下函数的奇偶性,并逐一阐明原因:
(1)①f(x)=-■,x∈R且x≠0;
②f(x)=-■,x∈[-1,0)∪(0,1];
③f(x)=-■,x∈[-1,0)∪(0,1);
④f(x)=-■,x∈(0,+∞);
(2)①f(x)=■;
②f(x)=■.
為了使学生深化对定义内涵和外延的认识,除了出示定义的过程中反复强调以外,还可以反例和错例的辨析等形式设置变式题组,使学生多方位、多角度和多层次进行分析,从而发现问题症结所在,以达到融会贯通的目的. 以上变式题组中,第(2)组是易错问题,不仅需考虑到函数的定义域,还需化简后才能得以判断,通过这一类问题的辨析,可以提升学生思维的严谨性.
3. 以变式深化问题,拓展思维
面对时间紧、内容多、任务重的高三复习课的局面,闯出一条省时而有效的复习道路是每个高中数学教师关注的课题. 针对这一局面,教师需要加强变式训练的力度,通过对一个问题的深入变式,引导学生去类比、去联想,探索并确定问题的思考方向,深化学生的问题认识和理解,在更深入而透彻理解问题的本质的同时,增强应变能力,拓展思维,提升数学素养[2].
例1:已知定点A(-3,0)和B(4,0),若动点P(x,y)与A,B两点构成的∠APB恒为直角,试求出点P的轨迹方程.
变式1:已知定点A(-3,0)和B(4,0),若分别过点A和B的动直线l■,l■相互垂直,试求出交点P的轨迹方程.
变式2:已知定点A(-3,0)和B(4,0),试求出动点P(动点P为垂足)满足PA⊥PB时的轨迹方程.
深入挖掘本例可以看出,变式1和2与例1不仅意思相同,知识背景也一样,而仅仅是在表达方式上有了变化,这里只需学生明晰“点P在以线段AB为直径的圆周上”这一重要性质即可完善解题路径,以此变式题组进行推广和引申,达到多题一解的效果. ■几个注意点
1. 适量性与适度性兼顾
变式教学中,教师需明晰变式并不在于多,关键在于精,要以具有典型性的变式去启迪学生的思维. 倘若数量过多,则易异化为题海战术,加重学习负担,带来负面影响;倘若数量过少,则无法实现预期效果.
除此之外,变式也不可过度滥用,需掌握好适度性原则,既不能难度太小,也不可难度过大. 倘若仅在原题的数字或符号上做文章,则无法激活学生的思维,耗时且耗力;倘若“变”出“繁、难、杂”的题型,来消磨学生有效的学习时间,则易使其产生挫败感,无法生成高层次的思维.
唯有循序渐进地进行变式,并兼顾适量性和适度性原则,才能使学生在全面而深刻地理解知识的同时,发展思维品质.
2. 适度的训练与适时的总结兼行
变式教学需要适度的训练,以适度的训练来展现其千差万别的表现形式,以适度的训练来丰富学生的知识系统,以适度的训练来锻炼学生的数学思维. 当然,变式教学中,除了适度的训练,还必须有适时的总结. 适时的总结能让学生概括出一般性的规律,拥有更多解决问题的策略,更加透彻地理解知识间的联系与区别,实现知识的有效迁移. 因此,适度的训练与适时的总结应兼行,通过适度的训练,学生对变式背后的问题有了一定的理解;通过适时的总结,了解到知识的来龙去脉和相互关系.
总之,变式教学给数学教学带来了勃勃生机,提升了学生的兴趣,回避了“题海战术”,提升了教学效率,引领学生去体验“变”与“不变”,发现问题中的“变”与“不变”,使学生获得了较好的数学体验[3]. 只有这样,学生的思维能力才能得到极大程度的锻炼,才能更好地培养数学素养[4].
参考文献:
[1] 劉兵生. 高中数学变式教学的心理学浅议[J]. 中学课程辅导(教学研究),2013,7(24).
[2] 温孙莹. 让数学课堂在“变式”中生成精彩——从习题的“变身”浅谈变式教学[J].数学教学研究,2015(8).
[3] 王广余. “变”中出“彩”——一堂高三复习课的教学实录与点评[J]. 中学数学教学参考,2007(9).
[4] 胡水林. 情景引入、启发诱导、变式探究、反思提高——高中新课程理念下数学课堂教学模式的探讨[J]. 浙江教学研究,2007(3).