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自新课改降低了对圆锥曲线这一知识点的的考查要求，近几年高考对圆锥曲线的考查经常涉及到离心率的问题，考生对求离心率的大小或求离心率的范围比较害怕，特别对离心率的范围的考查往往觉得无从下手，找不出基本量a、b、c的关系（等量关系或不等关系），有时即使解出答案也不知正确与否，本文就离心率问题谈一谈解决方法.
一、 求圆锥曲线的离心率大小
1.根据题意直接构造等量关系
例1 已知双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线过点P(1,43)，则该双曲线的离心率为__________ .
分析：直接将点P的坐标代入双曲线的渐近线方程y=bax得ba=43，即b=43a又∵c2=a2+b2得c=53ae=53
2.数形结合构造等量关系
例2 （2010•全国卷Ⅰ）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则C的离心率为__________ .
【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.
分析1：如图，|BF|=b2+c2=a,
作DD1⊥y轴于点D1,则由BF=2FD，得
|OF||DD1|=|BF||BD|=23,所以|DD1|=32|OF|=32c,
即xD=3c2,由椭圆的第二定义得|FD|=e(a2c-3c2)=a-3c22a
又由|BF|=2|FD|,得a=2a-3c2a,e=33
分析2：设椭圆方程为第一标准形式x2a2+y2b2，设D(x2,y2)，F分BD所成的比为2，
xc=0+2x21+2x2=32xc,
x2=32c;yc=b+2y21+2y2=3yc-b2=3•0-b2=-b2，代入
9c24a2+1b24b2=1，e=33
3.隐含条件的挖掘
例3 设双曲线x2a2－y2b2=1(0 分析：由l过两点（a,0)、(0,b),得l的方程为bx+ay-ab=0.
由原点到l的距离为34c,得aba2+b2=3c4.
将 b=c2－a2代入，平方后整理,得 16(a2c2)2－16a2c2+3=0,
令 a2c2=x,则16x2-16x+3=0，解得x=34或x=14 .
∴e=233或e=2.
∵02∴应舍去e=233，故所求离心率e=2.
二、求圆锥曲线的离心率的取值范围
1.求出椭圆或双曲线上一点的坐标，在利用几何性质建立关于a、b、c的不等关系.即可求出离心率的取值范围．
例4 若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围为__________
分析：设M点的横坐标为x，由椭圆的第二定义及题意得e(x0+a2c)=2(a2c－x0)x0=2a3－a2cc2+2ac，而－a≤x0≤a解得e≥17－32又因为0 2．先求出焦半径的表达式，然后用焦半径的取值范围（a-c）≤椭圆焦半径≤（a+c）；（c-a） ≤双曲线焦半径≤ （c+a）求椭圆的离心率．
例5 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P（异于长轴的端点），使得csin∠PF1F2=asin∠PF2F1，则该椭圆离心率的取值范围是__________ ．
分析：△PF1F2中，由正弦定理得PF1sin∠PF2F1=PF2sin∠PF1F2PF1PF2=sin∠PF2Fsin∠PF1F,
由已知可得sin∠PF2Fsin∠PF1F=ca，ca=PF1PF2,又由于PF1+PF2=2a得PF1=2aca+c,a－c≤PF1≤a+c，又由于PF1，PF2,F1F2是三角形的三边，0 3.已知椭圆的两条焦半径所成的角大小求离心率的取值范围．
例6 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2 =θ.(0<θ<π) 则椭圆离心率的取值范围为__________ ．
分析：△PF1F1中，由余弦定理得cos θ=PF21+PF22-4c22PF1•PF2,PF1+PF2=2a，PF1•PF2≤(PF2+PF1)24=a2（当且仅当PF1=PF2取等号）
4b2－2PF1•PF22PF1•PF2=2b2PF1•PF2－1∴(ba)2≤1+cosθ2e≥sinθ2又因为0 4.椭圆与双曲线的二者综合求离心率的取值范围.
例7 已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1=8,双曲线的离心率的取值范围为（1，3），则椭圆离心率的取值范围为 __________ .
分析：此题考查了椭圆与双曲线的第一定义和离心率的定义，因为△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，所以PF2=2c,由椭圆和双曲线的第一定义可知PF1－2c=2a，PF1+2c=2a1，1 总之，无论是求离心率的值还是求范围，其实质是都要划归为基本量（a、b、c）之间的关系去解决.
跟踪训练
1.（江苏10届无锡零模改编）设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右两个焦点分别为F1，F2，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且F1PF2Q为正方形，则椭圆的离心率为__________ .
2.（扬州10高三模拟试卷）如下图，已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为__________ .
3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴的右端点、短轴的上端点分别为A、B，从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量.则椭圆的离心率e=__________ .4.双曲线x2a2－y2b2=1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为__________ .
5.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠PF1F2 =60°. 则椭圆离心率的取值范围为__________ .
参考答案：1.e=1010
2.e=53
3.e=22
4.（1，3）
5.12,1）
（作者:马守奎、张宜云,江苏太仓）
一、 求圆锥曲线的离心率大小
1.根据题意直接构造等量关系
例1 已知双曲线x2a2－y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线过点P(1,43)，则该双曲线的离心率为__________ .
分析：直接将点P的坐标代入双曲线的渐近线方程y=bax得ba=43，即b=43a又∵c2=a2+b2得c=53ae=53
2.数形结合构造等量关系
例2 （2010•全国卷Ⅰ）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则C的离心率为__________ .
【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.
分析1：如图，|BF|=b2+c2=a,
作DD1⊥y轴于点D1,则由BF=2FD，得
|OF||DD1|=|BF||BD|=23,所以|DD1|=32|OF|=32c,
即xD=3c2,由椭圆的第二定义得|FD|=e(a2c-3c2)=a-3c22a
又由|BF|=2|FD|,得a=2a-3c2a,e=33
分析2：设椭圆方程为第一标准形式x2a2+y2b2，设D(x2,y2)，F分BD所成的比为2，
xc=0+2x21+2x2=32xc,
x2=32c;yc=b+2y21+2y2=3yc-b2=3•0-b2=-b2，代入
9c24a2+1b24b2=1，e=33
3.隐含条件的挖掘
例3 设双曲线x2a2－y2b2=1(0
由原点到l的距离为34c,得aba2+b2=3c4.
将 b=c2－a2代入，平方后整理,得 16(a2c2)2－16a2c2+3=0,
令 a2c2=x,则16x2-16x+3=0，解得x=34或x=14 .
∴e=233或e=2.
∵0
二、求圆锥曲线的离心率的取值范围
1.求出椭圆或双曲线上一点的坐标，在利用几何性质建立关于a、b、c的不等关系.即可求出离心率的取值范围．
例4 若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围为__________
分析：设M点的横坐标为x，由椭圆的第二定义及题意得e(x0+a2c)=2(a2c－x0)x0=2a3－a2cc2+2ac，而－a≤x0≤a解得e≥17－32又因为0
例5 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P（异于长轴的端点），使得csin∠PF1F2=asin∠PF2F1，则该椭圆离心率的取值范围是__________ ．
分析：△PF1F2中，由正弦定理得PF1sin∠PF2F1=PF2sin∠PF1F2PF1PF2=sin∠PF2Fsin∠PF1F,
由已知可得sin∠PF2Fsin∠PF1F=ca，ca=PF1PF2,又由于PF1+PF2=2a得PF1=2aca+c,a－c≤PF1≤a+c，又由于PF1，PF2,F1F2是三角形的三边，0
例6 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2 =θ.(0<θ<π) 则椭圆离心率的取值范围为__________ ．
分析：△PF1F1中，由余弦定理得cos θ=PF21+PF22-4c22PF1•PF2,PF1+PF2=2a，PF1•PF2≤(PF2+PF1)24=a2（当且仅当PF1=PF2取等号）
4b2－2PF1•PF22PF1•PF2=2b2PF1•PF2－1∴(ba)2≤1+cosθ2e≥sinθ2又因为0
例7 已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若PF1=8,双曲线的离心率的取值范围为（1，3），则椭圆离心率的取值范围为 __________ .
分析：此题考查了椭圆与双曲线的第一定义和离心率的定义，因为△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，所以PF2=2c,由椭圆和双曲线的第一定义可知PF1－2c=2a，PF1+2c=2a1，1
跟踪训练
1.（江苏10届无锡零模改编）设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右两个焦点分别为F1，F2，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且F1PF2Q为正方形，则椭圆的离心率为__________ .
2.（扬州10高三模拟试卷）如下图，已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为__________ .
3.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴的右端点、短轴的上端点分别为A、B，从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量.则椭圆的离心率e=__________ .4.双曲线x2a2－y2b2=1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为__________ .
5.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠PF1F2 =60°. 则椭圆离心率的取值范围为__________ .
参考答案：1.e=1010
2.e=53
3.e=22
4.（1，3）
5.12,1）
（作者:马守奎、张宜云,江苏太仓）