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1.概念辨析法
在认真分析题意的基础上,运用问题所涉及的有关概念进行分析推理,从而得出正确结论。
例1.一个三位数,百位上的数字既不是质数也不是合数,十位上的数字是最小的质数,个位上的数字既是6的因数,又是6的倍数。把这个三位数分解质因数是( )。
[分析与解]要解这道题必须理解合数、质数、因数、倍数、分解质因数等概念,并且掌握分解质因数的方法,然后根据题中条件“百位上的数字既不是质数也不是合数,十位上的数字是最小的质数,个位上的数字既是6的因数,又是6的倍数。”得出这个三位数是126,分解质因数为126=2×3×3×7。
例2. 的分子加上6,要使得分数的大小不变,分母应再加上( )。
[分析与解]解这道题的依据是分数的基本性质,即分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变。本题中分子加上6变为8,也就是把原来的分子乘4,要使分数的大小不变,分母5也要乘4,得20,由此可得分母应该加上20﹣5=15。
2.逆向思考法
解决一些问题时,按常规思路正向思考有时会难以解决,而采取反向思考的方法更容易使问题得到解决。
例3.把 这五个分数,按从大到小的顺序排列,哪一个数在中间?
[分析与解]比较几个分母不同的分数的大小,通常是把几个分数先通分再比较,或将几个分数都化成小数来比较。这道题中的五个分数的分母是互质数,如果通分,分母會比较大,通分起来很麻烦,而化成小数计算起来也很麻烦。既然从分母入手考虑比较复杂,可以换一个角度从分子入手,把这五个分数的分子化成相同的数,即 ,再比较这五个分数的分母,便可很容易找到中间的分数是 。
3.有序列举法
将问题的各种情况有序列举出来,然后逐一分析,找到问题的答案。
例4.有2、3、4、5数字卡片各一张。每次任意取两张组成一个两位数。可以组成多少个偶数?
[分析与解]从四张卡片中任意取两张组成一个两位数,情况比较复杂。题中要求组成的两位数是偶数,因此这个两位数的个位上必须是2或4,可以将这两种情况一一列举出来,加以分析。个位上是2,任意取两张组成一个两位数有:32、42、52;个位上是4,任意取两张组成一个两位数有:24、34、54。所以,可以组成6个偶数。
4.分类讨论法
解答有些数学问题,有时会需要对各种情况进行逐类分析、综合思考,使得问题得到解决。
例5.把一个长8厘米,宽6厘米,高5厘米的长方体木块分割成形状、大小相同的两个长方体。表面积最多增加多少平方厘米?
[分析与解]根据题意可知,无论分割哪条棱,都比原来长方体多了两个分割面,但不同的分割方法,增加的表面积就不同,不能直接判断出分割后表面积最多增加多少平方厘米。需要分三种分割情况(如下页图)逐一分析:从长方体的“长”进行分割,表面积增加6×5×2=60(平方厘米),从长方体的“宽”进行分割,表面积增加8×5×2=80(平方厘米),从长方体的“高”进行分割,表面积增加8×6×2=96(平方厘米)。由此可得分割后的表面积最多增加96平方厘米。
5.想象推理法
有些数学问题中所给条件不是很清楚,可以借助想象进行推理分析,进而寻找到解决问题所需要的条件。
例6.下图是一个长方体的展开图,求这个长方体的表面积和体积。(单位:厘米)
[分析与解]求这个长方体的表面积和体积,首先需要弄清楚这个长方体的长、宽高。而题中所给的是一个长方体展开图,有直接给出长方体的长、宽、高。可以通过观察这个长方体展开图,借助空间想象力,推理分析得出这个长方体的长是8厘米、宽是6厘米,由此推理出高是(14-6)÷2=4(厘米)。所以这个长方体的表面积是(8×6+8×4+6×4)×2=208(平方厘米),体积是8×6×4=192(立方厘米)。
6.等量替换法
有些数学问题,直接分析难以找出数量之间的内在联系,可以根据已知条件与未知条件之间的相等关系,把未知条件转化为已知条件,使隐蔽的数量关系明朗化,从而解决问题。
例7.一个长方体容器的长是15厘米,宽是12厘米。把一块完全浸没的铁块从容器中取出,水面下降了4厘米。这块铁块的体积是多少立方厘米?
[分析与解]题中要求铁块的体积,却没有给出铁块的形状和大小等条件,不能直接求出问题的答案。根据“把一块完全浸没的铁块从容器中取出,水面下降了4厘米”可知,下降的水的体积与取出的铁块体积相等,可以通过“等量替换”,将铁块的体积转化为水的体积,求出下降的水的体积就是铁块的体积。水面下降的部分是一个长15厘米、宽12厘米、高4厘米的长方体。因此,这部分水的体积是15×12×4=720(立方厘米),即铁块的体积是720立方厘米。
在认真分析题意的基础上,运用问题所涉及的有关概念进行分析推理,从而得出正确结论。
例1.一个三位数,百位上的数字既不是质数也不是合数,十位上的数字是最小的质数,个位上的数字既是6的因数,又是6的倍数。把这个三位数分解质因数是( )。
[分析与解]要解这道题必须理解合数、质数、因数、倍数、分解质因数等概念,并且掌握分解质因数的方法,然后根据题中条件“百位上的数字既不是质数也不是合数,十位上的数字是最小的质数,个位上的数字既是6的因数,又是6的倍数。”得出这个三位数是126,分解质因数为126=2×3×3×7。
例2. 的分子加上6,要使得分数的大小不变,分母应再加上( )。
[分析与解]解这道题的依据是分数的基本性质,即分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变。本题中分子加上6变为8,也就是把原来的分子乘4,要使分数的大小不变,分母5也要乘4,得20,由此可得分母应该加上20﹣5=15。
2.逆向思考法
解决一些问题时,按常规思路正向思考有时会难以解决,而采取反向思考的方法更容易使问题得到解决。
例3.把 这五个分数,按从大到小的顺序排列,哪一个数在中间?
[分析与解]比较几个分母不同的分数的大小,通常是把几个分数先通分再比较,或将几个分数都化成小数来比较。这道题中的五个分数的分母是互质数,如果通分,分母會比较大,通分起来很麻烦,而化成小数计算起来也很麻烦。既然从分母入手考虑比较复杂,可以换一个角度从分子入手,把这五个分数的分子化成相同的数,即 ,再比较这五个分数的分母,便可很容易找到中间的分数是 。
3.有序列举法
将问题的各种情况有序列举出来,然后逐一分析,找到问题的答案。
例4.有2、3、4、5数字卡片各一张。每次任意取两张组成一个两位数。可以组成多少个偶数?
[分析与解]从四张卡片中任意取两张组成一个两位数,情况比较复杂。题中要求组成的两位数是偶数,因此这个两位数的个位上必须是2或4,可以将这两种情况一一列举出来,加以分析。个位上是2,任意取两张组成一个两位数有:32、42、52;个位上是4,任意取两张组成一个两位数有:24、34、54。所以,可以组成6个偶数。
4.分类讨论法
解答有些数学问题,有时会需要对各种情况进行逐类分析、综合思考,使得问题得到解决。
例5.把一个长8厘米,宽6厘米,高5厘米的长方体木块分割成形状、大小相同的两个长方体。表面积最多增加多少平方厘米?
[分析与解]根据题意可知,无论分割哪条棱,都比原来长方体多了两个分割面,但不同的分割方法,增加的表面积就不同,不能直接判断出分割后表面积最多增加多少平方厘米。需要分三种分割情况(如下页图)逐一分析:从长方体的“长”进行分割,表面积增加6×5×2=60(平方厘米),从长方体的“宽”进行分割,表面积增加8×5×2=80(平方厘米),从长方体的“高”进行分割,表面积增加8×6×2=96(平方厘米)。由此可得分割后的表面积最多增加96平方厘米。
5.想象推理法
有些数学问题中所给条件不是很清楚,可以借助想象进行推理分析,进而寻找到解决问题所需要的条件。
例6.下图是一个长方体的展开图,求这个长方体的表面积和体积。(单位:厘米)
[分析与解]求这个长方体的表面积和体积,首先需要弄清楚这个长方体的长、宽高。而题中所给的是一个长方体展开图,有直接给出长方体的长、宽、高。可以通过观察这个长方体展开图,借助空间想象力,推理分析得出这个长方体的长是8厘米、宽是6厘米,由此推理出高是(14-6)÷2=4(厘米)。所以这个长方体的表面积是(8×6+8×4+6×4)×2=208(平方厘米),体积是8×6×4=192(立方厘米)。
6.等量替换法
有些数学问题,直接分析难以找出数量之间的内在联系,可以根据已知条件与未知条件之间的相等关系,把未知条件转化为已知条件,使隐蔽的数量关系明朗化,从而解决问题。
例7.一个长方体容器的长是15厘米,宽是12厘米。把一块完全浸没的铁块从容器中取出,水面下降了4厘米。这块铁块的体积是多少立方厘米?
[分析与解]题中要求铁块的体积,却没有给出铁块的形状和大小等条件,不能直接求出问题的答案。根据“把一块完全浸没的铁块从容器中取出,水面下降了4厘米”可知,下降的水的体积与取出的铁块体积相等,可以通过“等量替换”,将铁块的体积转化为水的体积,求出下降的水的体积就是铁块的体积。水面下降的部分是一个长15厘米、宽12厘米、高4厘米的长方体。因此,这部分水的体积是15×12×4=720(立方厘米),即铁块的体积是720立方厘米。