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[摘 要]课堂教学中，教师应立足信息表征，带领学生借助线段图弄清数量关系，突破认知障碍，提高他们对数学表征的加工能力，使他们完善自己的认知结构。
[关键词]小学数学 线段图 变式练习 数量关系 信息表征
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-040
教学“稍复杂的分数除法应用题”时，教材只安排了“已知比一个数多几分之几是多少，求这个数”这一类型的题目，如“运动会上，跳绳的有25人，跳绳的人比跑步的人多1 / 4，跑步的人有多少”等。针对这道题，课堂教学中，我将题改变如下：“美术组有学生24人，比舞蹈组的人数少1 / 4，舞蹈组有多少人？”没想到学生解答时却出现了分歧，有的列式计算为24 24×=30（人），有的用方程来解，即设舞蹈组人数为x，列方程为x-1 / 4x=24，解x=32。到底哪个答案才是正确的呢？学生争论不休，却没有得到确切的答案。于是，我追问：“美术组人数比舞蹈组少，能说舞蹈组人数比美术组多吗？”学生认为可以，因为甲比乙少，就是乙比甲多。显然，学生陷入了分率认知的误区。如何帮助学生完善认知结构，顺利实现教学目标，是我教学中的难点和重点。为此，我立足信息表征，进行以下三个层次的教学，让学生深入理解分率的概念。
一、采用变式练习，解析信息表征
对于小学生来说，要实现思维创新，就必须有一个完整、清晰的分析表征信息的过程。因此，在分率理解的专项练习中，我设计了变式练习，从比较量、标准量和分率三个要素入手设计问题，有意识地进行信息表征的解析，引导学生完善自己的认知结构。
练习（1）：男生有4人，女生有5人，女生比男生多几分之几？男生比女生少几分之几？
练习（2）：一个项目已经完成，包含什么数量关系？剩下几分之几没有完成？
学生认为：练习（1）中，因为女生比男生多1人，所以多的人数是男生的；因为男生比女生少1人，所以少的人数是女生的。也就是说，女生比男生多不能说成男生比女生少，这两者之间是不能互换的。练习（2）中，项目已经完成了1 / 4，这说明还有3 / 4没有完成。也就是说，将整个项目看作标准量，平均分成4份，已经完成其中的一份，剩下的还有3份，即分数为3 / 4。
上述教学，我改变题型，采用变式设计，引导学生深刻理解比较量和标准量，从分率的概念上突破原有的认知，为下一步探究做好了准备。
二、借用线段图示，呈现信息表征
教学中，教师可以借助线段图，为学生直观呈现数学表征的丰富信息，引导学生梳理数量之间的关系，从而熟练运用线段图来解决数学问题，完善自身的认知结构。
例如，课堂教学中，我先让学生观察线段图（如下），弄清线段图中直观呈现的数量关系：“如果以男生人数为标准量，那女生人数比男生多的部分怎么表述？如果以女生人数为标准量，那男生人数比女生少的部分怎么表述？”这样教学，使学生深刻体会到“比较量不同，标准量不同，分率也会不同”。其次，让学生画出线段图。学生通过对问题的探究后，认为要先找出标准量，确定等分的份数，再找出多出来的份数，然后根据这些关键要素决定线段的长度。再次，引导学生运用线段图。如在“舞蹈组人数比美术组多1 / 3”这个条件中，要让学生充分体会其中的标准量和平均分的关键要素，这样学生在遇到含有分率的条件时，就会形成固定的线段图的直观信息表征，从而顺利地找到问题解决的方法。
三、强调数量关系，加工信息表征
数量关系是正确解决问题的关键。因此，教师要从数量关系出发，帮助学生找到那些客观存在的内在联系，进行表征信息的深加工。
例如，课堂教学中，我让学生根据已知条件，找出隐含的数量关系式，并将这些数量关系式进行加工，通过加减法的形式进行数学表征：舞蹈组人数比绘画组少1 / 4，就是“绘画组人数-绘画组人数×1 / 4=舞蹈组人数”；第一天修路完成1 / 3，第二天修路完成1 / 4，就是“全长×1 / 3-全长×1 / 4=两天修路的差距”，即“全长×1 / 3 全长×1 / 4=两天共修的总长度”。同时，我又设计了反向的练习：“根据‘绘画组人数-绘画组人数×1 / 4=舞蹈组人数’，你能知道什么？”通过问题，使学生明白舞蹈组人数比绘画组少1 / 4。
总之，课堂教学中，教师应立足信息表征，带领学生借助线段图弄清数量关系，突破认知障碍，提高他们对数学表征的加工能力，使他们完善自己的认知结构。
（责编 蓝 天）
[关键词]小学数学 线段图 变式练习 数量关系 信息表征
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-040
教学“稍复杂的分数除法应用题”时，教材只安排了“已知比一个数多几分之几是多少，求这个数”这一类型的题目，如“运动会上，跳绳的有25人，跳绳的人比跑步的人多1 / 4，跑步的人有多少”等。针对这道题，课堂教学中，我将题改变如下：“美术组有学生24人，比舞蹈组的人数少1 / 4，舞蹈组有多少人？”没想到学生解答时却出现了分歧，有的列式计算为24 24×=30（人），有的用方程来解，即设舞蹈组人数为x，列方程为x-1 / 4x=24，解x=32。到底哪个答案才是正确的呢？学生争论不休，却没有得到确切的答案。于是，我追问：“美术组人数比舞蹈组少，能说舞蹈组人数比美术组多吗？”学生认为可以，因为甲比乙少，就是乙比甲多。显然，学生陷入了分率认知的误区。如何帮助学生完善认知结构，顺利实现教学目标，是我教学中的难点和重点。为此，我立足信息表征，进行以下三个层次的教学，让学生深入理解分率的概念。
一、采用变式练习，解析信息表征
对于小学生来说，要实现思维创新，就必须有一个完整、清晰的分析表征信息的过程。因此，在分率理解的专项练习中，我设计了变式练习，从比较量、标准量和分率三个要素入手设计问题，有意识地进行信息表征的解析，引导学生完善自己的认知结构。
练习（1）：男生有4人，女生有5人，女生比男生多几分之几？男生比女生少几分之几？
练习（2）：一个项目已经完成，包含什么数量关系？剩下几分之几没有完成？
学生认为：练习（1）中，因为女生比男生多1人，所以多的人数是男生的；因为男生比女生少1人，所以少的人数是女生的。也就是说，女生比男生多不能说成男生比女生少，这两者之间是不能互换的。练习（2）中，项目已经完成了1 / 4，这说明还有3 / 4没有完成。也就是说，将整个项目看作标准量，平均分成4份，已经完成其中的一份，剩下的还有3份，即分数为3 / 4。
上述教学，我改变题型，采用变式设计，引导学生深刻理解比较量和标准量，从分率的概念上突破原有的认知，为下一步探究做好了准备。
二、借用线段图示，呈现信息表征
教学中，教师可以借助线段图，为学生直观呈现数学表征的丰富信息，引导学生梳理数量之间的关系，从而熟练运用线段图来解决数学问题，完善自身的认知结构。
例如，课堂教学中，我先让学生观察线段图（如下），弄清线段图中直观呈现的数量关系：“如果以男生人数为标准量，那女生人数比男生多的部分怎么表述？如果以女生人数为标准量，那男生人数比女生少的部分怎么表述？”这样教学，使学生深刻体会到“比较量不同，标准量不同，分率也会不同”。其次，让学生画出线段图。学生通过对问题的探究后，认为要先找出标准量，确定等分的份数，再找出多出来的份数，然后根据这些关键要素决定线段的长度。再次，引导学生运用线段图。如在“舞蹈组人数比美术组多1 / 3”这个条件中，要让学生充分体会其中的标准量和平均分的关键要素，这样学生在遇到含有分率的条件时，就会形成固定的线段图的直观信息表征，从而顺利地找到问题解决的方法。
三、强调数量关系，加工信息表征
数量关系是正确解决问题的关键。因此，教师要从数量关系出发，帮助学生找到那些客观存在的内在联系，进行表征信息的深加工。
例如，课堂教学中，我让学生根据已知条件，找出隐含的数量关系式，并将这些数量关系式进行加工，通过加减法的形式进行数学表征：舞蹈组人数比绘画组少1 / 4，就是“绘画组人数-绘画组人数×1 / 4=舞蹈组人数”；第一天修路完成1 / 3，第二天修路完成1 / 4，就是“全长×1 / 3-全长×1 / 4=两天修路的差距”，即“全长×1 / 3 全长×1 / 4=两天共修的总长度”。同时，我又设计了反向的练习：“根据‘绘画组人数-绘画组人数×1 / 4=舞蹈组人数’，你能知道什么？”通过问题，使学生明白舞蹈组人数比绘画组少1 / 4。
总之，课堂教学中，教师应立足信息表征，带领学生借助线段图弄清数量关系，突破认知障碍，提高他们对数学表征的加工能力，使他们完善自己的认知结构。
（责编 蓝 天）