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在几何教学中，如何合理设计问题，引导学生直观想象，如何让学生通过独立思考和探索分析来获得数学模型，进行逻辑推理，如何让学生慢慢形成在解决实际生活中的数学问题时能将实际问题抽象成数学问题，形成数学思维模式的能力，是初中教师需要探索和解决的重要课题。下面笔者就以人教版《数学》八年级上册《最短路径问题》内容为例，谈谈几何教学中核心素养的渗透。
一、复习迁移，引入数学模型
本节课是在学生学习了线段和角，研究了三角形以及轴对称图形之后给出的一个课题材料的学习。最短路径问题在生活中经常遇到，初中阶段以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中垂线段最短”为知识基础，还要借助轴对称、平移、旋转等知识进行探究。
本节课以复习预备知识作为内容的切入点，教师设计了两个问题：1.连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.点P是直线l外一点，点A，B，C，D在直线l上，则线段PA，PB，PC，PD哪条最短？为什么？
配上相应的图形，设计的问题目的明确，让学生马上积极思考进入正题。当然，如果用“蚂蚁找食物”的实例引入，可能更形象、更有趣味性。笔者在备课时就与教研组成员讨论过引入的问题，其中也有各种设想，但最终觉得所有的知识都是在旧知识的基础上生成的，这样有利于学生形成数学体系，所学的内容也不会让学生感觉太突兀。与其创设这种指向不明、浪费时间的情景，不如选择简单明了的方式，让学生通过两个问题复习知识点“两点之间，线段最短”和“直线外一点到直线的所有连线中垂线段最短”，通过数学模型直接引入本节课主题“最短路径”问题。
二、合理抽象，解决实际问题
数学就是为了能在实际生活中应用，数学是人们用来解决实际问题的，数学问题就产生在生活中。所以，课堂教学中应加强数学知识与生活实际的联系。本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马”为载体，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”问题。
本节课围绕着“将军饮马”问题展开，对于这样一个实际的问题首要解决的就是让学生能从实际问题中抽象出数学问题来，让学生明确可以把笔直的河看成一条无限延伸的直线，把将军和马看成两个点，从而抽象出此题要解决的数学问题——这两个点到这条直线上能否找到一个点使得长度和最短的问题。课堂上，笔者引导学生观察之后，让学生自主说出想法，画出图形，探讨出当点C在直线的什么位置时，AC与CB的和最小，从而将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”，通过训练实现学生对数学抽象能力的提升。
三、抓住本质，搭建探究阶梯
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
为了更好地突破难点，这节课笔者选择让学生尝试自主探究解决问题的方法和规律。在探索新知的环节，直接探究同侧两点最短路径问题对于学生来说有很大难度，因此笔者首先选择了由异侧两点寻找最短路径入手，让学生可以很快找到一个点C使得AC BC最短。在缓解学生的畏难情绪的同时也为学生解决后面问题搭建了“脚手架”，让学生感知到可以用“两点之间，线段最短”的原理来寻找最短路径。这时，再将同侧两点寻找最短路径的问题出示给学生，及时引导学生思考：我们能不能把同侧的这两个点中其中一个点转移到异侧去呢？能不能找到一个点来代替点A？是随便什么地方的点都可以替代吗？让学生跟着笔者一系列的问题逐步思考解决方法，然后再让学生通过作图、小组讨论等方式自主尝试寻找到最短路徑。
四、大胆猜想，培养数学思维
杜威曾说：“科学的每一项巨大成就，都是以大胆的幻想为出发点的。”对数学问题的猜想，实际是一种数学想象，是一种创新精神的体现。在数学教学中，要鼓励学生大胆提出猜想，创新地学习数学。让学生经历观察、实验、猜想、证明等一系列数学活动，分享自己的想法，锻炼自己的数学思维。
本节课在经过小组讨论寻找最短路径的方法之后，学生自己作图尝试去找最短的线段和。有的学生去作垂线，有的学生去作同侧两点的垂直平分线，也有的学生去找其中一点关于直线的对称点，各有各的道理和思考。这里无论学生有怎样的思考，不管学生的设想是否有价值，只要是学生自己真实的想法，教师都应该给予充分的肯定，然后对问题采取有效的方法进行引导和解决。对于有创新意识的问题和见解，不仅要给予鼓励，而且要表扬学生能够善于发现问题并提出问题进而引导大家一起去深层次地思考交流。
通过验证，学生发现先前作垂线和中垂线的猜想是错误的，于是就会产生疑惑，并有了探求新知的欲望。这时笔者利用错误，引导学生观察利用轴对称来将同侧两点转化到直线的异侧，构造成了两点之间线段最短的问题，在笔者的启发下，学生又能重新作出新的方案，这时笔者放手让学生自主探究验证，将问题解决。
五、由浅入深，形成几何思维模型
问题设计要让学生真正有所思考，并且可以经过思考得到结论。授课的过程中应该环环相扣，由浅入深，要将问题分解，化大为小，化难为易，化繁为简。
本节课在突破难点处设计了四个步骤逐步击破。首先，通过类比思想引导学生转换思维寻找解决方法，然后发问除了通过A点可以实现目的之外，转换B点到异侧可以找到实现最短路径的C点吗？通过作图让学生发现，选择A或B都能实现目的。为了更深层次理解，于是设计了第三步提问：这两点是同一个点吗？为什么是同一个点呢？最后给出图形，让学生探索如何证明AC BC最短，最终让学生体会到利用轴对称可以解决一些简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
数学核心素养是一个高度抽象的思维产物，它是高于数学知识的思维方法。数学核心素养的培养不能脱离具体的数学知识与方法，它需要在数学知识的学习过程中，数学思想方法的掌握过程中，通过逐步积累、领悟、内省形成。也就是说，学生数学核心素养的培养和提升离不开教师的合理引导，教师“教什么，怎么教”，很大程度上影响着学生将来具备怎样的数学素养。对于大多数学生而言，数学能力的形成与数学核心素养的提升主要依赖于数学课堂，或者源于数学课堂。在数学的几何课堂中我们应该多关注“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象”等方面的问题，引导学生多思考数学，体验数学，使数学核心素养得以有效体现与落实。
（作者单位：武汉市武昌文华中学）
责任编辑 陈建军
责任校对 张 敏
一、复习迁移，引入数学模型
本节课是在学生学习了线段和角，研究了三角形以及轴对称图形之后给出的一个课题材料的学习。最短路径问题在生活中经常遇到，初中阶段以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中垂线段最短”为知识基础，还要借助轴对称、平移、旋转等知识进行探究。
本节课以复习预备知识作为内容的切入点，教师设计了两个问题：1.连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？2.点P是直线l外一点，点A，B，C，D在直线l上，则线段PA，PB，PC，PD哪条最短？为什么？
配上相应的图形，设计的问题目的明确，让学生马上积极思考进入正题。当然，如果用“蚂蚁找食物”的实例引入，可能更形象、更有趣味性。笔者在备课时就与教研组成员讨论过引入的问题，其中也有各种设想，但最终觉得所有的知识都是在旧知识的基础上生成的，这样有利于学生形成数学体系，所学的内容也不会让学生感觉太突兀。与其创设这种指向不明、浪费时间的情景，不如选择简单明了的方式，让学生通过两个问题复习知识点“两点之间，线段最短”和“直线外一点到直线的所有连线中垂线段最短”，通过数学模型直接引入本节课主题“最短路径”问题。
二、合理抽象，解决实际问题
数学就是为了能在实际生活中应用，数学是人们用来解决实际问题的，数学问题就产生在生活中。所以，课堂教学中应加强数学知识与生活实际的联系。本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马”为载体，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”问题。
本节课围绕着“将军饮马”问题展开，对于这样一个实际的问题首要解决的就是让学生能从实际问题中抽象出数学问题来，让学生明确可以把笔直的河看成一条无限延伸的直线，把将军和马看成两个点，从而抽象出此题要解决的数学问题——这两个点到这条直线上能否找到一个点使得长度和最短的问题。课堂上，笔者引导学生观察之后，让学生自主说出想法，画出图形，探讨出当点C在直线的什么位置时，AC与CB的和最小，从而将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”，通过训练实现学生对数学抽象能力的提升。
三、抓住本质，搭建探究阶梯
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
为了更好地突破难点，这节课笔者选择让学生尝试自主探究解决问题的方法和规律。在探索新知的环节，直接探究同侧两点最短路径问题对于学生来说有很大难度，因此笔者首先选择了由异侧两点寻找最短路径入手，让学生可以很快找到一个点C使得AC BC最短。在缓解学生的畏难情绪的同时也为学生解决后面问题搭建了“脚手架”，让学生感知到可以用“两点之间，线段最短”的原理来寻找最短路径。这时，再将同侧两点寻找最短路径的问题出示给学生，及时引导学生思考：我们能不能把同侧的这两个点中其中一个点转移到异侧去呢？能不能找到一个点来代替点A？是随便什么地方的点都可以替代吗？让学生跟着笔者一系列的问题逐步思考解决方法，然后再让学生通过作图、小组讨论等方式自主尝试寻找到最短路徑。
四、大胆猜想，培养数学思维
杜威曾说：“科学的每一项巨大成就，都是以大胆的幻想为出发点的。”对数学问题的猜想，实际是一种数学想象，是一种创新精神的体现。在数学教学中，要鼓励学生大胆提出猜想，创新地学习数学。让学生经历观察、实验、猜想、证明等一系列数学活动，分享自己的想法，锻炼自己的数学思维。
本节课在经过小组讨论寻找最短路径的方法之后，学生自己作图尝试去找最短的线段和。有的学生去作垂线，有的学生去作同侧两点的垂直平分线，也有的学生去找其中一点关于直线的对称点，各有各的道理和思考。这里无论学生有怎样的思考，不管学生的设想是否有价值，只要是学生自己真实的想法，教师都应该给予充分的肯定，然后对问题采取有效的方法进行引导和解决。对于有创新意识的问题和见解，不仅要给予鼓励，而且要表扬学生能够善于发现问题并提出问题进而引导大家一起去深层次地思考交流。
通过验证，学生发现先前作垂线和中垂线的猜想是错误的，于是就会产生疑惑，并有了探求新知的欲望。这时笔者利用错误，引导学生观察利用轴对称来将同侧两点转化到直线的异侧，构造成了两点之间线段最短的问题，在笔者的启发下，学生又能重新作出新的方案，这时笔者放手让学生自主探究验证，将问题解决。
五、由浅入深，形成几何思维模型
问题设计要让学生真正有所思考，并且可以经过思考得到结论。授课的过程中应该环环相扣，由浅入深，要将问题分解，化大为小，化难为易，化繁为简。
本节课在突破难点处设计了四个步骤逐步击破。首先，通过类比思想引导学生转换思维寻找解决方法，然后发问除了通过A点可以实现目的之外，转换B点到异侧可以找到实现最短路径的C点吗？通过作图让学生发现，选择A或B都能实现目的。为了更深层次理解，于是设计了第三步提问：这两点是同一个点吗？为什么是同一个点呢？最后给出图形，让学生探索如何证明AC BC最短，最终让学生体会到利用轴对称可以解决一些简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。
数学核心素养是一个高度抽象的思维产物，它是高于数学知识的思维方法。数学核心素养的培养不能脱离具体的数学知识与方法，它需要在数学知识的学习过程中，数学思想方法的掌握过程中，通过逐步积累、领悟、内省形成。也就是说，学生数学核心素养的培养和提升离不开教师的合理引导，教师“教什么，怎么教”，很大程度上影响着学生将来具备怎样的数学素养。对于大多数学生而言，数学能力的形成与数学核心素养的提升主要依赖于数学课堂，或者源于数学课堂。在数学的几何课堂中我们应该多关注“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象”等方面的问题，引导学生多思考数学，体验数学，使数学核心素养得以有效体现与落实。
（作者单位：武汉市武昌文华中学）
责任编辑 陈建军
责任校对 张 敏