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【摘 要】因为单位圆兼有数和形双重特性,所以可以把单元圆作为研究三角函数的工具。笔者通过利用单位圆研究三角函数的概念、性质、三角恒等变换公式等,说明单位圆是研究三角函数的工具,能体现三角函数学习的知识逻辑、方法逻辑、思维逻辑。
【关键词】数学工具;概念本质;单位圆
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437(2020)34-0154-02
单位圆是一个非常好的对称图形,人们能从单位圆上找到对称点、对称线段、对称角等。三角函数是以角(实数)为自变量的函数,而单位圆是利用数形结合的思想解决有关三角函数问题的重要工具。
1 利用单位圆研究三角函数的概念
1.1 定义任意角的三角函数
利用单位圆定义三角函数,有利于学生理解三角函数的本质,即任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。学生可以从定义中看到具体的、直接的自变量和函数值的对应过程[1]。
任意给定一个角α,其终边与单位圆就有唯一的一个交点,交点的横坐标就是角α的余弦值,纵坐标就是角α的正弦值,这给学生理解三角函数的对应关系提供了极大的便利。设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么 y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;叫做α的正切,记作tanα,即。这样,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,能为后续三角函数的学习提供思路和工具。
1.2 研究同角三角函数关系
同角三角函数关系反映的是同一个角的三角函数值之间的关系,它的研究基础是三角函数的定义,研究工具是单位圆,是利用单位圆揭示正弦、余弦、正切之间的关系。设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P作PM⊥Ox,交x轴于点M,则MP叫角α的正弦线,OM叫角α的余弦线。结合图形可以看出,MP、OM和半径OP三者构成直角三角形,且,由勾股定理有,因此x2+y2=1,即cos2α+sin2α=1。当角α的终边与x轴重合时,点P的坐标为(x,0),此时,y=0,所以x2+y2=1,即cos2α+sin2α=1成立,此时。当角α的终边与y轴重合时,点P的坐标为(0,y),此时,x=0,所以x2+y2=1,即cos2α+sin2α=1成立,此时tanα不存在。所以当角α的终边与坐标轴重合时,同角三角函数基本关系式也成立。
1.3 推导诱导公式
诱导公式反映的是两个角的终边满足某种对称关系时,它们的三角函数值之间的关系,推导诱导公式的关键是角的终边的对称性。单位圆能很好地反映角的终边的对称性,借助单位圆推导诱导公式既简单,又方便。
要推导关于α,π+α,π-α,-α,的诱导公式,需要先理清π+α,π-α,-α,终边分别与角α终边的对称关系,再根据三角函数定义得出它们的值之间的关系。这样既能很好地反映诱导公式的本质,又能使它们成为一个有机整体[2]。
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)。根据角的概念,作出π+α,它的终边与单位圆交于点Q(-x,-y),可以发现角α与角π+α的终边关于原点对称,且sinα=y,sin(π+α)=-y,所以sin(π+α)=-sinα,同理cos(π+α)=-cosα,进而有
同理,可以发现角α与角π-α的终边关于 y 对称,角α与角-α的终边关于x轴对称,根据三角函数的定义及同角三角函数基本关系式可以很方便地推出π-α,-α这两组诱导公式;可发现角α与角的终边关于直线y=x对称,根据三角函数的定义,可得到角这组诱导公式。
2 利用单位圆研究三角函数的性质
利用单位圆可以研究正弦函数 f (x)=sin x与余弦函数 f (x)=cos x的周期性、奇偶性、单调性、值域、最值等性质。以正弦函数与余弦函数的单调性为例进行说明。
利用单位圆中的三角函数线,通过数形结合的方法,可以分四个象限分别研究正弦函数与余弦函数的单调性。
设角x是(0,2π)内的任意一个角,它的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥Ox,交x轴于点M,则MP为角x的正弦线,OM为角 x 的余弦线。
当点P绕坐标原点逆时针旋转时,角x由0逐渐增大为,正弦线MP逐渐变长,余弦线OM逐渐变短,且正余弦均为正值,所以在上,正弦函数 f (x)=sin x为增函数,余弦函数 f (x)=cos x为减函数。
当点P绕坐标原点逆时针旋转时,角x由逐渐减小为π,正弦线MP逐渐变短,余弦线OM逐渐变长,且正弦为正值,余弦为负值,所以在上,正弦函数 f (x)=sin x为减函数,余弦函数 f (x)=cos x也为减函数。
当点P绕坐标原点逆时针旋转时,角x由π逐渐增大为,正弦线MP逐渐变长,余弦线OM逐渐变短,且正余弦均为负值,所以在上,正弦函数 f (x)=sin x减函数,余弦函数 f (x)=cos x为增函数。
当点P绕坐标原点逆时针旋转时,角x由逐渐减小为2π,正弦线MP逐渐变短,余弦线OM逐渐变长,且正弦均为负值,余弦为正值,所以在上,正弦函数 f (x)=sin x与余弦函数 f (x)=cos x都为增函数。
同理,借助单元圆,可以研究三角函数的周期性、奇偶性、值域、最值等性质。
3 利用单位圆与平面向量推导三角公式
在三角恒等变换中,两角差的余弦公式的推导具有重要意义,其他公式的推导都可以利用这个公式。在这个公式的推导过程中,需要寻找角的余弦值与角、的三角函数值之间的关系,需要理解角的运算。余弦函数的概念与性质,可借助单位圆进行推导。
在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角、,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则,,由向量数量积的坐标表示,有·=·
=+。设与
的夹角为,则·=·=
+,则;所以
,也有+。有了两角差的余弦公式做基础,结合诱导公式及同角三角函数基本关系式,可推导出、、、、、等的公式。
总之,三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、三角函数性质、两角差的余弦都可以借助单位圆推导,以让学生更好学习与掌握,体会数形结合思想在解决数学问题中的作用,进一步体悟单位圆是研究三角函数的工具,掌握三角函数学习的知识逻辑、方法逻辑、思维逻辑。
【参考文献】
[1]张波,苑智莉,王保东.“诱导公式”单元—课时教学设计与点评[J].中国数学教育:高中版,2020(7).
[2]楊彬.三角函数概念教学[J].中学数学,2020(7).
【关键词】数学工具;概念本质;单位圆
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437(2020)34-0154-02
单位圆是一个非常好的对称图形,人们能从单位圆上找到对称点、对称线段、对称角等。三角函数是以角(实数)为自变量的函数,而单位圆是利用数形结合的思想解决有关三角函数问题的重要工具。
1 利用单位圆研究三角函数的概念
1.1 定义任意角的三角函数
利用单位圆定义三角函数,有利于学生理解三角函数的本质,即任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。学生可以从定义中看到具体的、直接的自变量和函数值的对应过程[1]。
任意给定一个角α,其终边与单位圆就有唯一的一个交点,交点的横坐标就是角α的余弦值,纵坐标就是角α的正弦值,这给学生理解三角函数的对应关系提供了极大的便利。设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么 y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;叫做α的正切,记作tanα,即。这样,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,能为后续三角函数的学习提供思路和工具。
1.2 研究同角三角函数关系
同角三角函数关系反映的是同一个角的三角函数值之间的关系,它的研究基础是三角函数的定义,研究工具是单位圆,是利用单位圆揭示正弦、余弦、正切之间的关系。设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P作PM⊥Ox,交x轴于点M,则MP叫角α的正弦线,OM叫角α的余弦线。结合图形可以看出,MP、OM和半径OP三者构成直角三角形,且,由勾股定理有,因此x2+y2=1,即cos2α+sin2α=1。当角α的终边与x轴重合时,点P的坐标为(x,0),此时,y=0,所以x2+y2=1,即cos2α+sin2α=1成立,此时。当角α的终边与y轴重合时,点P的坐标为(0,y),此时,x=0,所以x2+y2=1,即cos2α+sin2α=1成立,此时tanα不存在。所以当角α的终边与坐标轴重合时,同角三角函数基本关系式也成立。
1.3 推导诱导公式
诱导公式反映的是两个角的终边满足某种对称关系时,它们的三角函数值之间的关系,推导诱导公式的关键是角的终边的对称性。单位圆能很好地反映角的终边的对称性,借助单位圆推导诱导公式既简单,又方便。
要推导关于α,π+α,π-α,-α,的诱导公式,需要先理清π+α,π-α,-α,终边分别与角α终边的对称关系,再根据三角函数定义得出它们的值之间的关系。这样既能很好地反映诱导公式的本质,又能使它们成为一个有机整体[2]。
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)。根据角的概念,作出π+α,它的终边与单位圆交于点Q(-x,-y),可以发现角α与角π+α的终边关于原点对称,且sinα=y,sin(π+α)=-y,所以sin(π+α)=-sinα,同理cos(π+α)=-cosα,进而有
同理,可以发现角α与角π-α的终边关于 y 对称,角α与角-α的终边关于x轴对称,根据三角函数的定义及同角三角函数基本关系式可以很方便地推出π-α,-α这两组诱导公式;可发现角α与角的终边关于直线y=x对称,根据三角函数的定义,可得到角这组诱导公式。
2 利用单位圆研究三角函数的性质
利用单位圆可以研究正弦函数 f (x)=sin x与余弦函数 f (x)=cos x的周期性、奇偶性、单调性、值域、最值等性质。以正弦函数与余弦函数的单调性为例进行说明。
利用单位圆中的三角函数线,通过数形结合的方法,可以分四个象限分别研究正弦函数与余弦函数的单调性。
设角x是(0,2π)内的任意一个角,它的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥Ox,交x轴于点M,则MP为角x的正弦线,OM为角 x 的余弦线。
当点P绕坐标原点逆时针旋转时,角x由0逐渐增大为,正弦线MP逐渐变长,余弦线OM逐渐变短,且正余弦均为正值,所以在上,正弦函数 f (x)=sin x为增函数,余弦函数 f (x)=cos x为减函数。
当点P绕坐标原点逆时针旋转时,角x由逐渐减小为π,正弦线MP逐渐变短,余弦线OM逐渐变长,且正弦为正值,余弦为负值,所以在上,正弦函数 f (x)=sin x为减函数,余弦函数 f (x)=cos x也为减函数。
当点P绕坐标原点逆时针旋转时,角x由π逐渐增大为,正弦线MP逐渐变长,余弦线OM逐渐变短,且正余弦均为负值,所以在上,正弦函数 f (x)=sin x减函数,余弦函数 f (x)=cos x为增函数。
当点P绕坐标原点逆时针旋转时,角x由逐渐减小为2π,正弦线MP逐渐变短,余弦线OM逐渐变长,且正弦均为负值,余弦为正值,所以在上,正弦函数 f (x)=sin x与余弦函数 f (x)=cos x都为增函数。
同理,借助单元圆,可以研究三角函数的周期性、奇偶性、值域、最值等性质。
3 利用单位圆与平面向量推导三角公式
在三角恒等变换中,两角差的余弦公式的推导具有重要意义,其他公式的推导都可以利用这个公式。在这个公式的推导过程中,需要寻找角的余弦值与角、的三角函数值之间的关系,需要理解角的运算。余弦函数的概念与性质,可借助单位圆进行推导。
在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角、,它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B,则,,由向量数量积的坐标表示,有·=·
=+。设与
的夹角为,则·=·=
+,则;所以
,也有+。有了两角差的余弦公式做基础,结合诱导公式及同角三角函数基本关系式,可推导出、、、、、等的公式。
总之,三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、三角函数性质、两角差的余弦都可以借助单位圆推导,以让学生更好学习与掌握,体会数形结合思想在解决数学问题中的作用,进一步体悟单位圆是研究三角函数的工具,掌握三角函数学习的知识逻辑、方法逻辑、思维逻辑。
【参考文献】
[1]张波,苑智莉,王保东.“诱导公式”单元—课时教学设计与点评[J].中国数学教育:高中版,2020(7).
[2]楊彬.三角函数概念教学[J].中学数学,2020(7).