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摘 要：在土木和机械工程中有时会遇到变截面板，如混凝土地基板、混凝土挡水墙和特殊要求的变截面板。变截面板具有受力均匀、节省材料的优点，它的计算比等截面板要复杂些。应用传统的有限元方法求解，为了提高精度必须细分单元，随之而来的是未知数和方程阶数的增加，这样受微机容量的限制而难以实现。而传递矩阵法克服了相关的困难，应用传递矩阵法计算变截面板时，在截面变化较大处将单元细分，在截面变化较小处将单元粗分，处理比较灵活，而将每一单元按等截面处理，梁的单元弯曲刚度等于每单元中点的实际弯曲刚度，而在荷载和刚度突变出均将其划分为单元节点。
关键词：变截面板；传递矩阵；静力分析
一、研究对象
本文研究对象为变截面的矩形板，一个方向的板厚保持不变，另一个方向的板厚度任意变化，还可能出现突变，板对边简支，另外两个边可以是自由、简支、固定或弹性支撑，外荷载包括集中荷载和任意分布荷载。
二、总体设计思路与重点要解决的问题
首先我在这里阐述一个概念——传递矩阵。研究变截面板时的传递矩阵是一个5×5的矩阵，如果已知第1个单元左端的四个物理量（挠度、转角、弯矩和剪力），我们就可根据该单元的传递矩阵来求得第1单元右端的四个物理量（也就是第1节线左端的四个物理量），然后根据第1节线的传递矩阵来求得第一节线右端的四个物理量（也就是第2单元左端的四个物理量）。以此类推，我们就可以根据传递矩阵求得所有单元两端的四个物理量。这些矩阵将板从最左端联系到了最右端，起到传递的作用，因此称为传递矩阵。传递矩阵分为单元传递矩阵和节线传递矩阵。
我将静力分析传递矩阵推导的思路设计如下：根据弹性力学理论求得薄板的弹性曲面微分方程，但由于其是关于x和y的二元微分方程，我们不能直接求解。因此我们试着将荷载q和挠度w展开成傅里叶级数，使其成为只关于x的一元微分方程。通过微分方程理论，求解一元微分方程。由于是非齐次，微分方程的解包括通解和特解。通解的各项系数通过单元左端的边界条件来确定，特解的各项系数通过常数变易法建立方程组来求解。当求得了挠度的函数表达式（其为x的函数），转角、弯矩、剪力的函数表达式也就可以通过薄板理论很容易的得出了。最后用这些函数表达式来求得单元右端截面的四个物理量（x用单元的长度代入），而单元右端四个物理量的表达式中必定含有单元左端的四个物理量，这样单元传递矩阵就出来了，整个过程的关键是求得挠度的函数表达式。
三、传递矩阵法与有限元法的比较
由于变厚度板的基本方程比较复杂、难度大，很难求得解析解，毕欧拉等曾求出了厚度按线性变化和指数变化时板的级数解，而对一般变厚度板仍采用数值法求解，有限元法是工程计算中常用的一种方法。下面简单介绍一下有限法。
有限元法是一种高效能、常用的计算方法。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法（Galerkin）或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。但由于有限元法所含未知数多、计算量大而掩盖了它的优越性。采用的传递矩阵法则从根本上弥补了这些缺点，其优越性体现在：
1.传递矩阵法与有限元法的结果相比，误差不大，可以认为结果是可信的。主要的误差来源于分段数不够，截面斜率较大等因素。
2.传递矩阵法具有未知数少（5×5阶矩阵）、方法简便、易于程序实现、节省内存和计算精度高的优点。
3.在应用传递矩阵法时，将复杂结构分割成若干单元，在截面变化较大处将单元细分，在截面变化较小处，将单元粗分，处理比较灵活，单元内部和单元之间的特性分别用单元传递矩阵和节线传递矩阵表示，整个结构的状态用单元传递矩阵和节线传递矩阵组合来确定。
四、传递矩阵法的应用领域与发展现状
随着人类社会的发展和工程领域的不断拓展，传递矩阵法在当今工程领域中的应用趋于广泛，从土木到机械再到声学，从内力计算到稳定分析，从振动研究到抗震分析，从地基梁到桥梁再到屋面板，从直线到曲线，传递矩阵法已经形成了一个比较完整的应用体系。
传递矩阵法在土木工程领域中主要用于计算变截面构件，计算内容包括内力、振动和稳定。比如，变厚度环板的轴对称弯曲、考虑剪切变形时变截面梁的弯曲和稳定、连续板自由振动的传递矩阵法等，研究对象不同但求解的过程和程序都很相似，先建立微分方程，应用微分方程理论求出单元传递矩阵，再结合节线传递矩阵求得整体传递矩阵，最后通过编程让计算机实现结果。整个过程思路很清晰，简洁易懂。
参考文献：
[1]郑建军，周欣竹.任意变截面杆件的轴向和弯曲自由振动[J].四川建筑科学研究，1993（2）.
[2]周欣竹，郑建军，姜璐.Winkler地基上变厚度圆板的轴对称弯曲[J].力学季刊，2005（1）.
[3]刘庆潭.含契形变截面梁静力分析的传递矩阵法求解[J].力学与实践，1993（1）.
关键词：变截面板；传递矩阵；静力分析
一、研究对象
本文研究对象为变截面的矩形板，一个方向的板厚保持不变，另一个方向的板厚度任意变化，还可能出现突变，板对边简支，另外两个边可以是自由、简支、固定或弹性支撑，外荷载包括集中荷载和任意分布荷载。
二、总体设计思路与重点要解决的问题
首先我在这里阐述一个概念——传递矩阵。研究变截面板时的传递矩阵是一个5×5的矩阵，如果已知第1个单元左端的四个物理量（挠度、转角、弯矩和剪力），我们就可根据该单元的传递矩阵来求得第1单元右端的四个物理量（也就是第1节线左端的四个物理量），然后根据第1节线的传递矩阵来求得第一节线右端的四个物理量（也就是第2单元左端的四个物理量）。以此类推，我们就可以根据传递矩阵求得所有单元两端的四个物理量。这些矩阵将板从最左端联系到了最右端，起到传递的作用，因此称为传递矩阵。传递矩阵分为单元传递矩阵和节线传递矩阵。
我将静力分析传递矩阵推导的思路设计如下：根据弹性力学理论求得薄板的弹性曲面微分方程，但由于其是关于x和y的二元微分方程，我们不能直接求解。因此我们试着将荷载q和挠度w展开成傅里叶级数，使其成为只关于x的一元微分方程。通过微分方程理论，求解一元微分方程。由于是非齐次，微分方程的解包括通解和特解。通解的各项系数通过单元左端的边界条件来确定，特解的各项系数通过常数变易法建立方程组来求解。当求得了挠度的函数表达式（其为x的函数），转角、弯矩、剪力的函数表达式也就可以通过薄板理论很容易的得出了。最后用这些函数表达式来求得单元右端截面的四个物理量（x用单元的长度代入），而单元右端四个物理量的表达式中必定含有单元左端的四个物理量，这样单元传递矩阵就出来了，整个过程的关键是求得挠度的函数表达式。
三、传递矩阵法与有限元法的比较
由于变厚度板的基本方程比较复杂、难度大，很难求得解析解，毕欧拉等曾求出了厚度按线性变化和指数变化时板的级数解，而对一般变厚度板仍采用数值法求解，有限元法是工程计算中常用的一种方法。下面简单介绍一下有限法。
有限元法是一种高效能、常用的计算方法。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中（这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系）。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法（Galerkin）或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。但由于有限元法所含未知数多、计算量大而掩盖了它的优越性。采用的传递矩阵法则从根本上弥补了这些缺点，其优越性体现在：
1.传递矩阵法与有限元法的结果相比，误差不大，可以认为结果是可信的。主要的误差来源于分段数不够，截面斜率较大等因素。
2.传递矩阵法具有未知数少（5×5阶矩阵）、方法简便、易于程序实现、节省内存和计算精度高的优点。
3.在应用传递矩阵法时，将复杂结构分割成若干单元，在截面变化较大处将单元细分，在截面变化较小处，将单元粗分，处理比较灵活，单元内部和单元之间的特性分别用单元传递矩阵和节线传递矩阵表示，整个结构的状态用单元传递矩阵和节线传递矩阵组合来确定。
四、传递矩阵法的应用领域与发展现状
随着人类社会的发展和工程领域的不断拓展，传递矩阵法在当今工程领域中的应用趋于广泛，从土木到机械再到声学，从内力计算到稳定分析，从振动研究到抗震分析，从地基梁到桥梁再到屋面板，从直线到曲线，传递矩阵法已经形成了一个比较完整的应用体系。
传递矩阵法在土木工程领域中主要用于计算变截面构件，计算内容包括内力、振动和稳定。比如，变厚度环板的轴对称弯曲、考虑剪切变形时变截面梁的弯曲和稳定、连续板自由振动的传递矩阵法等，研究对象不同但求解的过程和程序都很相似，先建立微分方程，应用微分方程理论求出单元传递矩阵，再结合节线传递矩阵求得整体传递矩阵，最后通过编程让计算机实现结果。整个过程思路很清晰，简洁易懂。
参考文献：
[1]郑建军，周欣竹.任意变截面杆件的轴向和弯曲自由振动[J].四川建筑科学研究，1993（2）.
[2]周欣竹，郑建军，姜璐.Winkler地基上变厚度圆板的轴对称弯曲[J].力学季刊，2005（1）.
[3]刘庆潭.含契形变截面梁静力分析的传递矩阵法求解[J].力学与实践，1993（1）.