如图1，等边三角形△ABC中，点P是∠ABC内部的点，且∠BPC=120°,求证：PA=PB+PC.
　　方法一：（割补法）如图2，在直线PA上截取PD=PB，因为∠BPC=120°，∠BAC=60°，所以A，B，C，P四点共圆，因此∠ABC=∠APC=∠ACB=∠APB=60°.所以△PBD是等边三角形，所以BD=PB,因为BC=AB，∠ABD=∠CBP，所以△ABD≌△PBC，因此AD=PC，所以PA=PB+PC.同理，如图3，延长CP，在延长线上取PD=PB，一样通过全等可以证出PA=PB+PC
　　
　　方法二：（托勒密定理）根据托勒密定理的内容：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.如图1因为∠BPC=120°，∠BAC=60°，所以A，B，C，P四点共圆.所以AB•PC+AC•BP=BC•AP，又因为三角形△ABC是等边三角形，所以等式两边约分可得PA=PB+PC.
　　方法三：（正弦定理）如图1，因为∠BPC=120°，∠BAC=60°，所以A，B，C，P四点共圆，因此∠ABC=∠APC=∠ACB=∠APB=60°.所以设∠BAP=α，在△ABP中，BPsinα=APsin（120°-α），在△APC中，CPsin(60°-α)=APsin(60°+α)，所以BP+CP=APsinαsin（60°+α）+sin（60°-α）sin（60°+α），通分后sinαsin（60°+α）+sin（60°-α）sin（60°+α）=1，所以PA=PB+PC.
　　方法四：（面积法）如图1，因为∠BPC=120°，∠BAC=60°，所以A，B，C，P四点共圆，因此∠ABC=∠APC=∠ACB=∠APB=60°.所以设∠BAP=α，∠PAC=60°-α，根据S△ABP+S△APC=S△ABP+S△APC得
　　12AB•APsinα+12AP•ACsin（60°-α）=12AB•BPsin(120°-α)+12PC•ACsin（60°+α）
　　约分AB，AC，12得APsina+APsin（60°-α）=BPsin（120°-α）+PCsin（60°+α）
　　运用两角差的余弦公式和诱导公式可得：APsin(60°+α)=（BP+PC）sin（60°+α），继续约分，所以PA=PB+PC.
　　方法五：（余弦定理）如图1，因为∠BPC=120°，∠BAC=60°，所以A，B，C，P四点共圆，因此∠ABC=∠APC=∠ACB=∠APB=60°.所以可得AC2=PC2+PA2-2PC•PAcos60°=PC2+PA2-PC•PA，同理，AB2=PB2+PA2-PB•PA，所以
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文