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【摘要】本文通过分析正方形纸折正三角形板的折叠方法及其数学原理，探索用长方形纸和圆形纸折叠正三角形板过程中的数理问题。
【关键词】正三角形板 折叠 数理
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）27-0116-02
正三角形是最完美的三角形，也是最简单的正多边形。正三角形板用处很多，可以用来拼正六边形，柏拉图多面体、有趣的图案等作为教具，还可以作为棋子玩游戏。在正三角形板的折叠过程中，蕴涵着丰富的数学问题。
1.用正方形纸折正三角形板的折法
目前，用正方形纸折叠正三角形板通常采用如下的方法[1]：
2.折叠方法中的数理问题
如折叠步骤1有△BCH≌△BGH，因此BG=BC，∠GBH=∠CBH，∠BGH=∠BCH=90°.因E为BC的中点，故BE=BC =BG，由直角三角形斜边中线定理得∠BGE=30°，因此∠GBE=60°，∠HGI=90°-∠BGI=60°，且∠GBH=30°，而∠GHI=90°-∠GBH=60°，因此，△GHI为正三角形。
由折叠步骤1，即可将一个直角三等分。过G点将AB自身重合折叠，折痕与DC的交点为N，可得长方形GECN的长宽之比为∶1，通常称这样的长方形为长方形[2]，这也给出了一种用正方形纸折长方形的折法。
3.拓展数学问题探析
折正三角形板，关键是构造60°角，对于正方形纸，人们借助于正方形固有的直角，利用直角三角形斜边中线定理寻找60°角，从而构造正三角形。
问题1：长方形也有直角，利用上述折叠方法中的数学原理，如何在长方形中构造60°角呢？
对于长方形纸，仿照用正方形纸折叠正三角形板的方法，先将两对边对折，取中位线。正方形的两条中位线等价，而长方形有长短两条中位线，这里以取较长中位线为例。
如右圖，E、F分别为AB、CD边的中点，则CF=CD，∠EFC=90°。将长方形纸的右上角向左翻折，让点D折到直线EF上且让折痕通过点C，与AD交于点H，则△CDH≌△CGH，因此CD=CG，∠CGH=∠CDH=90°，∠GCH=∠DCH。在Rt△GCF中，CF=CG，则∠FGC=30°，∠GCF=60°，∠GCH=∠DCH=30°，∠GCI=90°-∠GCF=30°在Rt△GCH中，∠GHC=90°-∠GCH=60°，同时，∠HCI=∠GCH+∠GCI=60°。延长HG交BC于点I，则△HIC为正三角形。显然，直线CE、CH为∠BCD的三等分线。
例1 （2014舟山）如右图，在一张矩形纸片中ABCD，AD=4cm，点E、F分别是CD和AB的中点，现将这张纸折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH。若HG的延长线恰好经过点D，求CD的长。
解析：由题意结合上述分析过程可知，△ADH为等边三角形，因此，HD=AD=4cm，∠ADH=60°，所以∠CDH=30°，在Rt△CDH中，由勾股定理可以得出CD的长。
问题2：圆中无现成的直角，如何在圆中构造60°角呢？
考虑圆的特点，如果把60°的角定在圆周上，由圆的性质，60°的圆周角等于同弧所对的圆心角的一半，那能否借助于120°的圆心角找到60°的角呢？很显然只需将圆周三等分即可找到120°的圆心角，我们一般都只会2等分，如何三等分呢？
如右图所示，在圆O中，若∠BAC=60°，则∠BOC=120°，连接BC，则△BOC为等腰三角形，显然∠OBC=30°，若过圆心O作BC的垂线OE交圆周于E，垂足为D，则OD=BO=E，即D为OE的中点。
因此，只要将圆周上任意一点与圆心重合折叠，折痕所对的劣弧就是圆周的三分之一，所对的圆周角即为60°，显然，当A位于底边的垂直平分线上时，△ABC为等边三角形。
例2 （2013.宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为多少___cm。
解析：由题意，即将圆周上任意一点与圆心重合折叠，求折痕AB的长。由上述分析可知，连接OA、OB，则△AOB为顶角120°，腰长为2cm的等腰三角形过点O作底边AB的垂线交AB与C，则C亦为中点，在Rt△AOC中，用勾股定理可求得AC的长，进而可得AB的长。
例3 （2014.吉林）如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积是___（结果保留π）
解析：由问题2中的分析可知，将圆周上任意一点与圆心重合折叠，折痕所对的劣弧是圆周的三分之一，因此，点A、B、C分别为圆周的三等分点，连接AO、BO、CO，则∠AOC=120°，AO=BO=CO，阴影部分的面积即为半径为3的扇形AOC的面积，即为圆面积的三分之一。
4.结束语
折正三角形板，关键是要构造60°的角。本文在基于正方形纸折叠正三角形板的原理，探索在长方形纸和圆形纸中构造60°角，从而构造正三角形，分析其中的数学原理，并将这些原理用于几何题求解。正三角形在中小学平面几何部分常常可见，基于正三角板的用途和折叠过程中的丰富数学内涵，有许多的数学活动可以在课堂中展开，也可以作为探究性题材用于多种类型的数学课堂[3]。
参考文献：
[1]黄燕苹，李秉彝 .动动手、练练脑—折纸拼图玩游戏[M].广西：广西师范大学出版社，2014.
[2]黄燕苹，李秉彝 .折纸与数学[M].北京：科学出版社，2012.
[3]陆新生.正五边形折法中的数理[J].上海中学数学，2009（12）.
【关键词】正三角形板 折叠 数理
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）27-0116-02
正三角形是最完美的三角形，也是最简单的正多边形。正三角形板用处很多，可以用来拼正六边形，柏拉图多面体、有趣的图案等作为教具，还可以作为棋子玩游戏。在正三角形板的折叠过程中，蕴涵着丰富的数学问题。
1.用正方形纸折正三角形板的折法
目前，用正方形纸折叠正三角形板通常采用如下的方法[1]：
2.折叠方法中的数理问题
如折叠步骤1有△BCH≌△BGH，因此BG=BC，∠GBH=∠CBH，∠BGH=∠BCH=90°.因E为BC的中点，故BE=BC =BG，由直角三角形斜边中线定理得∠BGE=30°，因此∠GBE=60°，∠HGI=90°-∠BGI=60°，且∠GBH=30°，而∠GHI=90°-∠GBH=60°，因此，△GHI为正三角形。
由折叠步骤1，即可将一个直角三等分。过G点将AB自身重合折叠，折痕与DC的交点为N，可得长方形GECN的长宽之比为∶1，通常称这样的长方形为长方形[2]，这也给出了一种用正方形纸折长方形的折法。
3.拓展数学问题探析
折正三角形板，关键是构造60°角，对于正方形纸，人们借助于正方形固有的直角，利用直角三角形斜边中线定理寻找60°角，从而构造正三角形。
问题1：长方形也有直角，利用上述折叠方法中的数学原理，如何在长方形中构造60°角呢？
对于长方形纸，仿照用正方形纸折叠正三角形板的方法，先将两对边对折，取中位线。正方形的两条中位线等价，而长方形有长短两条中位线，这里以取较长中位线为例。
如右圖，E、F分别为AB、CD边的中点，则CF=CD，∠EFC=90°。将长方形纸的右上角向左翻折，让点D折到直线EF上且让折痕通过点C，与AD交于点H，则△CDH≌△CGH，因此CD=CG，∠CGH=∠CDH=90°，∠GCH=∠DCH。在Rt△GCF中，CF=CG，则∠FGC=30°，∠GCF=60°，∠GCH=∠DCH=30°，∠GCI=90°-∠GCF=30°在Rt△GCH中，∠GHC=90°-∠GCH=60°，同时，∠HCI=∠GCH+∠GCI=60°。延长HG交BC于点I，则△HIC为正三角形。显然，直线CE、CH为∠BCD的三等分线。
例1 （2014舟山）如右图，在一张矩形纸片中ABCD，AD=4cm，点E、F分别是CD和AB的中点，现将这张纸折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH。若HG的延长线恰好经过点D，求CD的长。
解析：由题意结合上述分析过程可知，△ADH为等边三角形，因此，HD=AD=4cm，∠ADH=60°，所以∠CDH=30°，在Rt△CDH中，由勾股定理可以得出CD的长。
问题2：圆中无现成的直角，如何在圆中构造60°角呢？
考虑圆的特点，如果把60°的角定在圆周上，由圆的性质，60°的圆周角等于同弧所对的圆心角的一半，那能否借助于120°的圆心角找到60°的角呢？很显然只需将圆周三等分即可找到120°的圆心角，我们一般都只会2等分，如何三等分呢？
如右图所示，在圆O中，若∠BAC=60°，则∠BOC=120°，连接BC，则△BOC为等腰三角形，显然∠OBC=30°，若过圆心O作BC的垂线OE交圆周于E，垂足为D，则OD=BO=E，即D为OE的中点。
因此，只要将圆周上任意一点与圆心重合折叠，折痕所对的劣弧就是圆周的三分之一，所对的圆周角即为60°，显然，当A位于底边的垂直平分线上时，△ABC为等边三角形。
例2 （2013.宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为多少___cm。
解析：由题意，即将圆周上任意一点与圆心重合折叠，求折痕AB的长。由上述分析可知，连接OA、OB，则△AOB为顶角120°，腰长为2cm的等腰三角形过点O作底边AB的垂线交AB与C，则C亦为中点，在Rt△AOC中，用勾股定理可求得AC的长，进而可得AB的长。
例3 （2014.吉林）如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积是___（结果保留π）
解析：由问题2中的分析可知，将圆周上任意一点与圆心重合折叠，折痕所对的劣弧是圆周的三分之一，因此，点A、B、C分别为圆周的三等分点，连接AO、BO、CO，则∠AOC=120°，AO=BO=CO，阴影部分的面积即为半径为3的扇形AOC的面积，即为圆面积的三分之一。
4.结束语
折正三角形板，关键是要构造60°的角。本文在基于正方形纸折叠正三角形板的原理，探索在长方形纸和圆形纸中构造60°角，从而构造正三角形，分析其中的数学原理，并将这些原理用于几何题求解。正三角形在中小学平面几何部分常常可见，基于正三角板的用途和折叠过程中的丰富数学内涵，有许多的数学活动可以在课堂中展开，也可以作为探究性题材用于多种类型的数学课堂[3]。
参考文献：
[1]黄燕苹，李秉彝 .动动手、练练脑—折纸拼图玩游戏[M].广西：广西师范大学出版社，2014.
[2]黄燕苹，李秉彝 .折纸与数学[M].北京：科学出版社，2012.
[3]陆新生.正五边形折法中的数理[J].上海中学数学，2009（12）.