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DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2017.14.034
摘 要：CORDIC算法广泛用于三角、反三角函数计算。对该算法的研究主要集中于减少硬件资源消耗、提升处理效率，但对其计算误差的深入分析较少。指出了CORDIC算法在矢量模式和旋转模式下的误差来源，并据此对CORDIC算法计算正弦、余弦和反正切函数的不确定度进行了定量分析。数值仿真表明理论推导与实际计算结果相吻合。
关键词：CORDIC 誤差分析 不确定度
中图分类号：TM38；TP301.6 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）05（b）-0034-02
CORDIC算法全称为“坐标旋转数字计算机（coordinates rotation digital computer）”，该算法最初旨在仅依靠移位和加减操作计算二维坐标的旋转变换，稍加改进后可用于实现多种超越函数，尤其多用于计算三角与反三角函数[1-3]。
目前对CORDIC算法的研究集中在降低硬件消耗、提高计算速度上[4-5]，而对该算法的计算误差则关注甚少。早期文献中关于CORDIC算法的误差分析也往往限于讨论误差的上限[6-7]，且对误差来源的分析尚不够深入。
该文对CORDIC算法的两种常用模式——矢量模式和旋转模式下的误差来源进行了讨论，采用不确定度评定的方法估计计算误差，并通过数值仿真验证了推导结果的正确性。
2 仿真验证
假定角度分辨率弧度，迭代16次。对于矢量模式，随机产生10 000个幅角在区间内的矢量，并使矢量模长从逐步增大到224，用矢量模式计算反正切并统计其均方误差（RMSE），并与式（8）给出的不确定度理论值进行对比，结果见图1。
对于旋转模式，随机产生10000个区间内的角度，用旋转模式计算它们的正弦和余弦，且矢量模长亦从逐步增大到224，统计均方误差并与不确定度理论值对比，结果见图2。
由图1与图2可见，无论矢量模式或旋转模式，按式（8）得到的不确定度理论值均与实际的均方误差相吻合。
3 结语
该文对CORDIC算法计算反正切、正弦和余弦函数的误差进行了分析并给出了不确定度表达式。数值仿真结果表明，该文给出的CORDIC算法不确定度表达式能准确地估计实际计算误差的大小，可为CORDIC算法在实际应用中的精度评估提供参考。
参考文献
[1] 冯英翘，万秋华，宋超，等.基于坐标旋转数字计算算法的小型光电编码器细分[J].光学学报，2014，34（2）：34-39.
[2] 薛凌云，孙世荣.基于CORDIC算法的磁编码器角度误差修正仿真研究[J].杭州电子科技大学学报：自然科学版，2016，36（1）：75-79.
[3] 叶树亮，张潜，朱维斌.光栅莫尔信号正交误差实时补偿研究[J].仪器仪表学报，2017，38（1）：57-64.
[4] 刘小宁，谢宜壮，陈禾，等.CORDIC算法的优化及实现[J].北京理工大学学报，2015，35（11）：1164-1170.
[5] 张朝柱，韩吉南，燕慧智.高速高精度固定角度旋转CORDIC算法的设计与实现[J].电子学报，2016，44（2）：485-490.
[6] Antelo E，Bruguera J D，Lang T，et al. Error analysis and reduction for angle calculation using the CORDIC algorithm[J].IEEE Transactions on Computers，1997，46（11）：1264-1271.
[7] Sang Yoon Park， Nam Ik Cho.Fixed-point error analysis of CORDIC processor based on the variance propagation[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems-I，2004，51（3）：573-584.
摘 要：CORDIC算法广泛用于三角、反三角函数计算。对该算法的研究主要集中于减少硬件资源消耗、提升处理效率，但对其计算误差的深入分析较少。指出了CORDIC算法在矢量模式和旋转模式下的误差来源，并据此对CORDIC算法计算正弦、余弦和反正切函数的不确定度进行了定量分析。数值仿真表明理论推导与实际计算结果相吻合。
关键词：CORDIC 誤差分析 不确定度
中图分类号：TM38；TP301.6 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）05（b）-0034-02
CORDIC算法全称为“坐标旋转数字计算机（coordinates rotation digital computer）”，该算法最初旨在仅依靠移位和加减操作计算二维坐标的旋转变换，稍加改进后可用于实现多种超越函数，尤其多用于计算三角与反三角函数[1-3]。
目前对CORDIC算法的研究集中在降低硬件消耗、提高计算速度上[4-5]，而对该算法的计算误差则关注甚少。早期文献中关于CORDIC算法的误差分析也往往限于讨论误差的上限[6-7]，且对误差来源的分析尚不够深入。
该文对CORDIC算法的两种常用模式——矢量模式和旋转模式下的误差来源进行了讨论，采用不确定度评定的方法估计计算误差，并通过数值仿真验证了推导结果的正确性。
2 仿真验证
假定角度分辨率弧度，迭代16次。对于矢量模式，随机产生10 000个幅角在区间内的矢量，并使矢量模长从逐步增大到224，用矢量模式计算反正切并统计其均方误差（RMSE），并与式（8）给出的不确定度理论值进行对比，结果见图1。
对于旋转模式，随机产生10000个区间内的角度，用旋转模式计算它们的正弦和余弦，且矢量模长亦从逐步增大到224，统计均方误差并与不确定度理论值对比，结果见图2。
由图1与图2可见，无论矢量模式或旋转模式，按式（8）得到的不确定度理论值均与实际的均方误差相吻合。
3 结语
该文对CORDIC算法计算反正切、正弦和余弦函数的误差进行了分析并给出了不确定度表达式。数值仿真结果表明，该文给出的CORDIC算法不确定度表达式能准确地估计实际计算误差的大小，可为CORDIC算法在实际应用中的精度评估提供参考。
参考文献
[1] 冯英翘，万秋华，宋超，等.基于坐标旋转数字计算算法的小型光电编码器细分[J].光学学报，2014，34（2）：34-39.
[2] 薛凌云，孙世荣.基于CORDIC算法的磁编码器角度误差修正仿真研究[J].杭州电子科技大学学报：自然科学版，2016，36（1）：75-79.
[3] 叶树亮，张潜，朱维斌.光栅莫尔信号正交误差实时补偿研究[J].仪器仪表学报，2017，38（1）：57-64.
[4] 刘小宁，谢宜壮，陈禾，等.CORDIC算法的优化及实现[J].北京理工大学学报，2015，35（11）：1164-1170.
[5] 张朝柱，韩吉南，燕慧智.高速高精度固定角度旋转CORDIC算法的设计与实现[J].电子学报，2016，44（2）：485-490.
[6] Antelo E，Bruguera J D，Lang T，et al. Error analysis and reduction for angle calculation using the CORDIC algorithm[J].IEEE Transactions on Computers，1997，46（11）：1264-1271.
[7] Sang Yoon Park， Nam Ik Cho.Fixed-point error analysis of CORDIC processor based on the variance propagation[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems-I，2004，51（3）：573-584.