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摘要：自一类特殊的微分方程即带有延迟的细胞神经网络被建立以来，讨论其各种解的存在性和唯一性成为重要研究内容，特别是对概周期型解的研究。为了探讨渐近概周期函数在一类带可变延迟细胞神经网络中的应用，依据Banach不动点定理和指数二分法的有关知识，并结合已有文献对这类细胞神经网络概周期解的研究，讨论了这类细胞神经网络的渐近概周期解的存在及唯一性问题，证明了该类方程在一定的充分条件下有唯一的渐近概周期解。
关键词：
细胞神经网络；渐近概周期解；指数二分法；不动点；延迟
DOI：1015938/jjhust201705024
中图分类号： O175
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2017）05-0130-07
Asymptotically Almost Periodic Solutions for a Class
of Cellular Neural Networks with Varying Delays
YAO Huili，SUN Haitong，BU Xianjiang
（School of Applied Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）
Abstract：Since a class of specific differential equations called cellular neural networks with delays have been established， the discussion on existence and uniqueness of all kinds of solutions for this class of equation become important study contents， especially the study on almost periodic type solutions In order to study asymptotically almost functions，applications on a class of cellular neural networks with varying delays， the existence and uniqueness of asymptotically almost periodic solutions on this class of cellular neural networks are discussed by using Banach fixed point theorem and some knowledge on exponential dichotomy， combining with the research of almost periodic solutions on this class of cellular neural networks in some literature， and it is proved that this class of cellular neural networks has unique asymptotically almost periodic solution under some sufficient conditions
Keywords：cellular neural networks； asymptotically almost periodic solutions； exponential dichotomy； fixed point， delay
收稿日期： 2016-04-19
基金項目： 黑龙江省教育厅科学技术研究项目（12511110）
作者简介：
姚慧丽（1970—），女，博士，教授，Email：huili_yao@sohu.com；
孙海彤（1992—） ，男，硕士研究生；
卜宪江（1991—），男，硕士研究生
0引言
1925年至1992年，概周期型函数有关理论相继被提出[1-4]，自提出以来已被数学研究
者广泛应用于各类微分方程中[5-7]。细胞神经网络是由歘和杨于1993年引进的[8-9]，自引进以来，数学工作者已成功地将其应用到各种领域，如信号处理、模式识别、静态图像处理、生物系统等[10-15]，还有很多文献对带各类延迟的细胞神经网络的概周期解[16-18]和伪概周期解[19-20]进行了研究。到目前，很少有文献对这些方程的渐近概周期解进行讨论。本文的研究目的是对一类带有可变延迟的细胞神经网络即方程（1）的渐近概周期解的存在唯一性问题进行讨论，由于渐近概周期函数是概周期函数加上扰动项构成的，所以研究方程的渐近概周期解更具有一般性。
方程（1）如下：
x′i（t）=-ci（t）∫∞0hi（s）xi（t-s）ds+
∑nj=1aij（t）fj（xj（t-τij（t）））+
∑nj=1bij（t）∫∞0Kij（u）gj（xj（t-u））du+
Ii（t），i=1，2，…，n（1）
其中，n对应着细胞元的数量，xi（t）表示在时间t时刻，第i个细胞元的状态向量。ci（t）>0表示神经网络系统在没有外部附加电压，也没有连通电源的情况下細胞元在t时刻恢复静止状态的速率。aij（t）和bij（t）表示的是在t时刻连接的势能。hi（s）≥0，Kij（u）和τij（t）分别表示泄漏延迟内核，传输延迟内核和传输延迟。Ii（t）表示一个在时刻t向细胞元外部输入独立的电流源。fj和gj表示的是信号传输的激活函数。hi：R→[0，+∞）是一个连续函数，ci：R→[0，+∞）是一个概周期函数。τij：R→[0，+∞），Ii，aij，bij： R→R都是渐近概周期函数。 1预备知识
本文用R表示实数集，Rn表示所有n维实向量，C（R，Rn）表示的是从R到Rn的全体有界连續函数构成的集合，并且（C（R，Rn），‖·‖∞）是一个Banach空间，其中‖f‖∞=supt∈R‖f（t）‖。若g是一个有界连续函数，定义g+=supt∈R|g（t）|，g-=inft∈R|g（t）|。
设x=（x1，x2，…，xn）T∈Rn，|x|表示的是绝对值向量|x|=（|x1|，|x2|，…，|xn|）T，并且定义‖x‖=max1≤i≤n|xi|。且对两个向量x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，定义|x|≤|y|是指|xi|≤|yi|，i=1，2，…，n。
定义1函数f∈C（R，Rn）称作是一个概周期函数，如果它满足：对任意的ε>0，存在一个lε>0，使得对任意a∈R，存在δ∈[α，α+lε]满足‖f（·+δ）-f（·）‖∞<ε。用AP（R，Rn）来表示这类函数全体。
定义2函数f∈C（R，Rn）称为是一个渐近概周期函数，若它能够表示成f=g+φ，其中g∈AP（R，Rn），φ∈C0（R，Rn）。这类函数全体用AAP（R，Rn）表示。其中
C0（R，Rn）={f∈C（R，Rn）|lim|t|→∞‖f（t）‖=0}
易知AP（R，Rn）和AAP（R，Rn）在上确界范数下都构成Banach空间。
定义3令x∈Rn，Q（t）是定义在R上的一个n×n连续矩阵，称线性系统
x′（t）=Q（t）x（t）（2）
滿足指数二分法，是指若存在正数k，α，射影P（P2=P），满足
‖X（t）PX-1（s）‖≤ke-α（t-s）（t≥s）
‖X（t）（I-P）X-1（s）‖≤ke-α（s-t）（s≥t）
其中X（t）是方程（2）的基本矩阵解，并满足X（0）=I。
定义4如果f：R→Rn是连续可微的 并且f和f′都是R上的渐近概周期函数，则称f是连续可微的渐近概周期函数。
引理1[21]假设Q（t）是一个概周期矩阵，g（t）∈AAP（R，Rn）。如果线性系统（2）满足指数二分法，那么渐近概周期系统x′（t）=Q（t）x（t）+g（t）有唯一的渐近概周期解x（t），并且
x（t）=∫t-∞X（t）PX-1（s）g（s）ds-
∫+∞tX（t）（I-P）X-1（s）g（s）ds
引理2[21]若ci（t）是R上的概周期函数，并且
M[ci（t）]=limT→∞1T∫t+Ttci（s）ds>0，i=1，2，…n
则线性系统x′（t）=diag（-c1（t），-c2（t），…，-cn（t））x（t）满足指数二分法。
2主要结果
本部分是本文的主要研究结果。令
B={φ|φ=（φ1（t），…，φn（t））T}
其中φ是连续可微的渐近概周期函数，其范数定义为
‖φ‖B=max{supt∈Rmax1≤i≤n|φi（t）|，supt∈Rmax1≤i≤n|φ′i（t）|}
则易知B是一个Banach空间。
定理1对方程（1）假设下列条件
（A1）对于每一个j∈{1，2，…，n}，存在非负常数 Lfj和 Lgj使得
|fj（u）-fj（v）|≤Lfj|u-v|，|gj（u）-gj（v）|≤Lgj|u-v|（u，v∈R）
（A2）对于每一个i，j∈{1，2，…，n}， Kij：[0，+∞）→R是连续的，且对确定的正数k，|Kij（t）|ekt在[0，+∞）上可积的；
（A3）对于每一个i∈{1，2，…，n}，存在常数αi>0和 ξi>0，使得
-c-i∫∞0hi（v）dv+c+i∫∞0vhi（v）dv+ξ-1i∑nj=1a+ijLfjξj+ξ-1i∑nj=1b+ij∫∞t|Kij（u）|duLgjξj≤-αi
和
c-i∫∞0hi（v）dv-αi+c+i∫∞0hi（v）dv1-αic-i∫∞0hi（v）dv<1；
（A4）0<∫∞0hi（v）dv<∞，且对（A2）中确定的正数k有0<∫∞0hi（v）dv<∞，∫∞0vhi（v）ekvdv<∞，i=1，2，…，n
成立，那么方程（1）有唯一连续可微的渐近概周期解。
证明：设i（t）=ξ-1ixi（t），则可把方程（1）转变成
′i（t）=-ci（t）∫∞0hi（s）i（t-s）ds+
ξ-1i∑nj=1aij（t）fj（ξjj（t-τij（t）））+
ξ-1i∑nj=1bij（t）∫∞0Kij（u）gj（ξjj（t-u））du+ξ-1iIi（t）=
-ci（t）∫∞0hi（s）dsi（t）+ci（t）∫∞0hi（s）∫tt-s′i（u）duds+
ξ-1i∑nj=1aij（t）fj（ξjj（t-τij（t）））
+ξ-1i∑nj=1bij（t）∫∞0Kij（u）gj（ξjj（t-u））du+ξ-1iIi（t），i=1，2，…，n
对于任意的φ∈B，考虑下列非线性微分方程
′i（t）=-ci（t）（∫∞0hi（s）ds）i（t）+
ci（t）∫∞0hi（s）∫tt-sφ′i（u）duds+
ξ-1i∑nj=1aij（t）fj（ξjφj（t-τij（t）））+
ξ-1i∑nj=1bij（t）∫∞0Kij（u）gj（ξjφj（t-u））du +ξ-1iIi（t），i=1，2，…，n，（3）
由于M[ci（t）∫∞0hi（s）ds]>0，i=1，2，…，n。根據引理2知线性系统
′i（t）=-ci（t）（∫∞0hi（s）ds）i（t） ，i=1，2，…，n
在R上满足指数二分法，因此由引理1知方程（3）有一个渐近概周期解
xφ（t）=（xφ1（t），xφ2（t），…，xφn（t））T=
（∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu[c1（s）∫∞0h1（v）∫ss-vφ′1（u）dudv+
ξ-11∑nj=1a1j（s）fj（ξjφj（s-τ1j（s）））+
ξ-11∑nj=1b1j（s）∫∞0K1j（u）gj（ξjφj（s-u））du+ξ-11I1（s）]ds，…，
∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu[cn（s）∫∞0hn（v）∫ss-vφ′n（u）dudv+
ξ-1n∑nj=1anj（s）fj（ξjφj（s-τnj（s）））+
ξ-1n∑nj=1bnj（s）∫∞0Knj（u）gj（ξjφj（s-u））du+ξ-1nIn（s）]ds）T（4）
定义一个映射T：T（φ）（t）=xφ（t）， φ∈B。以下命题1至命题4证明T是从B到B的一个压缩映射。
命题1假设（A1）和（A2）成立，且φ（·）∈AAP（R，R），则函数
∫∞0Kij（u）gj（φ（t-u））du∈AAP（R，R），
i，j=1，2，…，n
證明由于φ（t）∈AAP（R，R），所以对任意ε>0，存在一个相对稠子集Pε和一个有界子集Cε，使得|φ（s+τ）-φ（s）|<ε（τ∈Pε，s+τ，s∈R＼Cε）。从而结合条件（A1）得
|gj（φ（s+τ））-gj（φ（s））|
≤Lgj|φ（s+τ）-φ（s）| 因此得gj（φ（t））∈AAP（R，R），从而gj（φ（t））=Xj1（t）+Xj2（t），其中
Xj1∈AP（R，R），Xj2∈C0（R，R）
由AP（R，R）的定义，对上述ε>0，存在一个正数l=l（ε），对长度为l的任一区间内都存在一个数τ，使得
|Xj1（t+τ）-Xj1（t）|<ε1+∫∞0|Kij（u）|du，t∈R，i，j=1，2，…，n
因此有
|∫∞0Kij（u）Xj1（t+τ-u）du-∫∞0Kij（u）Xj1（t-u）du|≤
∫∞0|Kij（u）||Xj1（t+τ-u）-Xj1（t-u）|du<
∫∞0|Kij（u）|duε1+∫∞0|Kij（u）|du<ε，t∈R，
i，j=1，2，…，n
即得∫∞0Kij（u）Xj1（t-u）du∈AP（R，R），i=1，2，…，n。
下证lim|t|→∞|∫∞0Kij（u）Xj2（t-u）du|=0。
因为Xj2（t）连续，且limt→∞|Xj2（t）|=0，故Xj2（t）在R上有界，即存在M1>0，使对任意t∈R，有|Xj2（t）|≤M1。由于limt→∞|Xj2（t）|=0，所以对任意ε>0，存在T1>0，当|t|>T1时，|Xj2（t）|<ε2。由条件（A2）知|Kij（t）|ekt在[0，+∞）是可积的，所以|Kij（t）|在[0，+∞）是可积的，故存在T2>0，使∫∞T2|Kij（u）|du<ε，并记
∫T20|Kij（u）|du=G
令M=T1+T2，当t<-M，u∈（0，+∞）时，有t-u<-M<-T1
因此|Xj2（t-u）|<ε，于是|∫∞0Kij（u）Xj2（t-u）du|<ε∫∞0|Kij（u）|du。
当t>M，u≤T2时，t-u>M-T2=T1，因此|Xj2（t-u）|<ε。于是有
|∫∞0Kij（u）Xj2（t-u）du|=∫T20|Kij（u）Xj2（t-u）du+∫∞T2Kij（u）Xj2（t-u）du|
≤∫T20|Kij（u）||Xj2（t-u）|du+∫∞T2|Kij（u）||Xj2（t-u）|du
≤ε∫T20|Kij（u）|du+M1∫∞T2|Kij（u）|du <（G+M1）ε
因此有∫∞0Kij（u）Xj2（t-u）du∈C0（R，R）。从而得
∫∞0Kij（u）gj（φ（t-u））du=∫∞0Kij（u）Xj1（t-u）du+∫∞0Kij（u）Xj2（t-u）du∈AAP（R，R）
命题2假设（A1）、（A2）和（A4）成立，且函数ci、τij、 Ii，aij，bij满足引言中所述条件，φj∈B，则有
ci（t）∫∞0hi（s）∫tt-sφ′i（u）duds+ξ-1i∑nj=1aij（t）fj（ξjφj（t-τij（t）））
+ξ-1i∑nj=1bij（t）∫∞0Kij（u）gj（ξjφj（t-u））du+ξ-1Ii（t）∈AAP（R，R），i=1，2，…，n
证明由于φj∈AAP（R，R），所以是一致连续的，从而对任意ε>0，存在>0，当x1，x2∈R，|x1-x2|<时，有|φj（x1）-φj（x2）|<ε。对上述的>0，由于τij∈AAP（R，R+），所以存在一个相对稠密的子集P1ε和一个有界子集C1ε，使得
|τij（t+s）-τij（t）|< （s∈P1ε，t，t+s∈R＼C1ε）
而|t-τij（t+s）-（t-τij（t））|= |τij（t+s）-τij（t）|<，所以有 |φj（t-τij（t+s））-φj（t-τij（t））|<ε
由于φj∈AAP（R，R），所以对上述ε>0，存在一个相对稠密的子集P2ε和一个有界子集C2ε，使得|φj（t+s）-φj（t）|<ε（s∈P2ε，t，t+s∈R＼C2ε）。
令Pε=P1ε∩P2ε， Cε=C1ε∪C2ε，则Pε为相对稠子集，Cε为有界子集，且有
|φj（t+s-τij（t+s））-φj（t-τij（t+s））|<ε
（s∈Pε，t-τij（t+s），t+s-τij（t+s）∈R＼Cε）
因此有
|φj（t+s-τij（t+s））-φj（t-τij（t））|≤
|φj（t+s-τij（t+s））-φj（t-τij（t+s））+
φj（t-τij（t+s））-φj（t-τij（t））|≤
|φj（t+s-τij（t+s））-φj（t-τij（t+s））|+
|φj（t-τij（t+s））-φj（t-τij（t））|<
ε+ε=2ε
即得φj（t-τij（t））∈AAP（R，R），從而ξjφj（t-τij（t））∈AAP（R，R）。
下证fj（ξjφj（t-τij（t）））∈AAP（R，R）。
由于ξjφj（t-τij（t））∈AAP（R，R），所以对任意的ε>0，存在一个相对稠密的子集P3ε和一个有界子集C3ε，使得
|ξjφj（t+s-τij（t+s））-ξjφj（t-τij（t））|<ε
（s∈P3ε，t-τij（t），t+s-τij（t+s）∈R＼C3ε）
结合条件（A1）有
|fj（ξjφj（t+s-τij（t+s）））-fj（ξjφj（t-τij（t）））|≤
Lfj|ξjφj（t+s-τij（t+s））-ξjφj（t-τij（t））|<
Lfj·ε
所以得
fj（ξjφj（t-τij（t）））∈AAP（R，R） ，i，j=1，2，…，n（5）
由条件（A4）：0<∫∞0hi（v）dv<∞和0<∫∞0vhi（v）dv<∞，结合命题1，有
∫∞0hi（s）∫tt-sφ′i（u）duds=∫∞0hi（s）dsφi（t）-
∫∞0hi（s）dsφi（t-s）ds∈AAP（R，R）（6）
又条件（A1）和（A2）成立，所以命题1成立。结合式（5），（6）以及命题1，可得
ci（t）∫∞0hi（s）∫tt-sφ′i（u）duds+ξ-1i∑nj=1aij（t）fj（ξjφj（t-τij（t）））+
ξ-1i∑nj=1bij（t）∫∞0Kij（u）gj（ξjφj（t-u））du+ξ-1Ii（t）∈AAP（R，R），i=1，2，…，n
命题2证毕。
命题3在命题2的条件下，则式（4）中的xφ（t）和它的导数（xφ（t））′都是渐近概周期的。
证明令φi（s）=ci（s）∫∞0hi（v）∫ss-vφ′i（u）dudv+ξ-1i∑nj=1aij（s）fj（ξjφj（s-τij（s）））+ξ-1i∑nj=1bij（s）∫∞0Kij（u）gj（ξjφj（s-u））du+ξ-1iIi（s）
由命题2可知φi（s）∈AAP（R，R），因此可设φi（s）=φ1i（s）+φ2i（s），其中φ1i（s）∈AP（R，R），φ2i（s）∈C0（R，R）。于是对于1≤i≤n，有
∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφi（s）ds=∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ1i（s）ds+∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）ds
由文[19]知∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ1i（s）ds∈AP（R，R），下证
∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）ds∈C0（R，R）
由于φ2i（s）有界，所以存在M′>0，使|φ2i（s）|0，使|ci（u）|0，存在M1>0，当|s|>M1时，有|φ2i（s）|<ε；又由于当s∈[-M1，M1]时limt→∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvdu=0，所以存在M2，当t>M2时，e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvdu<ε。取M=max（M1，M2），当t<-M时有
|∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）ds-0|≤
∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvdu|φ2i（s）|ds<ε∫t-∞e-∫tsGdu∫∞0hi（v）dvds<ε·∫t-∞e-G（t-s）∫∞0hi（v）dvds<εG∫∞0hi（v）dv
当t>M时，
|∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）ds-0|≤∫t-∞|e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）|ds
=∫-M1-∞|e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）|ds+∫M1-M1|e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）|ds
+∫tM1|e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）|ds
≤εG∫∞0hi（v）dv+M′（∫M1-M1|e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvdu|ds）+εG∫∞0hi（v）dv ≤εG∫∞0hi（v）dv+M′2M1εG∫∞0hi（v）dv+εG∫∞0hi（v）dv
所以xφi（t）∈AAP（R，R），i=1，2，…，n。
又因為
（xφi（t））′=[ci（t）∫∞0hi（v）∫tt-vφ′i（u）dudv+
ξ-1i∑nj=1aij（t）fj（ξjφj（t-τij（t）））
+ξ-1i∑nj=1bij（t）∫∞0Kij（u）gj（ξjφj（t-u））du+ξ-1iIi（t）]
-ci（t）∫∞0hi（v）dv∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvdu[ci（s）∫∞0hi（v）∫ss-vφ′i（u）dudv
+ξ-1i∑nj=1aij（s）fj（ξjφj（s-τij（s）））
+ξ-1i∑nj=1bij（s）∫∞0Kij（u）gj（ξjφj（s-u））du+ξ-1iIi（s）]ds，i=1，2，…，n
再結合由命题1和命题2可得（xφi（t））′∈AAP（R，R），i=1，2，…，n。
因此由命题3可知T是从B到B的映射。
命题4上面定义的映射T是从B到B上的一个压缩映射。
证明事实上，由式（4）及条件（（A1）和（A3），对于φ，ψ∈B，有
|T（φ（t））-T（ψ（t））|=（|（T（φ（t））-T（ψ（t）））1|，…，
|（T（φ（t））-T（ψ（t）））n|）T
=（|∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu[c1（s）∫∞0h1（v）∫ss-v（φ′1（u）-ψ′1（u））dudv
+ξ-11∑nj=1a1j（s）fj（ξjφj（s-τ1j（s）））-fj（ξjψj（s-τ1j（s）））
+ξ-11∑nj=1b1j（s）∫∞0K1j（u）（gj（ξjφj（s-u））-gj（ξjψj（s-u）））du]ds|，…，
|∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu[cn（s）∫∞0hn（v）∫ss-v（φ′n（u）-ψ′n（u））dudv
+ξ-1n∑nj=1anj（s）（fj（ξjφj（s-τnj（s）））-fj（ξjψj（s-τnj（s））））
+ξ-1n∑nj=1bnj（s）∫∞0Knj（u）（gj（ξjφj（s-u））-gj（ξjψj（s-u）））du]ds|）T
≤（∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu[c1（s）∫∞0h1（v）∫ss-v|φ′1（u）-ψ′1（u）|dudv
+ξ-11∑nj=1|a1j（s）|Lfjξj|φj（s-τ1j（s））-ψj（s-τ1j（s））|
+ξ-11∑nj=1|b1j（s）|∫∞0|K1j（u）|Lgjξj|φj（s-u）-ψj（s-u）|du]ds，…，
∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu[cn（s）∫∞0hn（v）∫ss-v|φ′n（u）-ψ′n（u）|dudv
+ξ-1n∑nj=1|anj（s）|Lfjξj|φj（s-τnj（s））-ψj（s-τnj（s））|
+ξ-1n∑nj=1|bnj（s）|∫∞0|Knj（u）|Lgjξj|φj（s-u）-ψj（s-u）|du]ds）T
≤（∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu[c+1∫∞0vh1（v）dv+ξ-11∑nj=1（a+1jLfj
+b+1j∫∞0|K1j（u）|duLgj）ξj]ds‖φ（t）-ψ（t）‖B，…，
∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu[c+n∫∞0vhn（v）dv+ξ-1n∑nj=1（a+njLfj
+b+nj∫∞0|Knj（u）|duLgj）ξj]ds‖φ（t）-ψ（t）‖B）T
≤（∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu（c1（s）∫∞0h1（v）dv-α1）ds，…，
∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu（cn（s）∫∞0hn（v）dv-αn）ds）T‖φ（t）-ψ（t）‖B
≤（∫t-∞e∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu∫tsc1（s）∫∞0h1（v）dvds-
α1∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvduds，…，
∫t-∞e∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu∫tscn（s）∫∞0hn（v）dvds-
αn∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvduds）T‖φ（t）-ψ（t）‖B
≤（1-α1∫t-∞e-∫tsc+1∫∞0h1（v）dvduds，…，1-
αn∫t-∞e-∫tsc+n∫∞0hn（v）dvduds）T‖φ（t）-ψ（t）‖B
≤（1-α1c+1∫∞0h1（v）dv，…，1-αnc+n∫∞0hn（v）dv）T‖φ（t）-ψ（t）‖B（7）
且有
|T′（φ（t））-T′（ψ（t））|=（|（T′（φ（t））-T′（ψ（t）））1|，…，
|（T′（φ（t））-T′（ψ（t）））n|）T
=（|[c1（t）∫∞0h1（v）∫tt-v（φ′1（u）-ψ′1（u））dudv
+ξ-11∑nj=1a1j（t）（fj（ξjφj（t-τ1j（t）））-fj（ξjψj（t-τ1j（t））））
+ξ-11∑nj=1b1j（t）∫∞0K1j（u）（gj（ξjφj（t-u））-gj（ξjψj（t-u）））du] -c1（t）∫∞0h1（v）dv∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu[c1（s）∫∞0h1（v）∫ss-v（φ′1（u）-ψ′1（u））dudv
+ξ-11∑nj=1a1j（s）（fj（ξjφj（s-τ1j（s）））-fj（ξjψj（s-τ1j（s））））
+ξ-11∑nj=1b1j（s）∫∞0K1j（u）（gj（ξjφj（s-u））-gj（ξjψj（s-u）））du]ds|，…，
|[cn（t）∫∞0hn（v）∫tt-v（φ′n（u）-ψ′n（u））dudv
+ξ-1n∑nj=1anj（t）（fj（ξjφj（t-τnj（t）））-fj（ξjψj（t-τnj（t））））
+ξ-1n∑nj=1bnj（t）∫∞0Knj（u）（gj（ξjφj（t-u））-gj（ξjψj（t-u）））du]
-cn（t）∫∞0hn（v）dv∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu[cn（s）∫∞0hn（v）∫ss-v（φ′n（u）-ψ′n（u））dudv
+ξ-1n∑nj=1anj（s）（fj（ξjφj（s-τnj（s）））-fj（ξjψj（s-τnj（s））））
+ξ-1n∑nj=1bnj（s）∫∞0Knj（u）（gj（ξjφj（s-u））-gj（ξjψj（s-u）））du]ds|）T
≤（[c+1∫∞0vh1（v）dv+ξ-11∑nj=1（a+1jLfj+
b+1j∫∞0|K1j（u）|duLgj）ξj]‖φ（t）-ψ（t）‖B
+c+1∫∞0h1（v）dv∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu[c+1∫∞0vh1（v）dv
+ξ-11∑nj=1（a+1jLfj
+b+1j∫∞0|K1j（u）|duLgj）ξj]ds‖φ（t）-ψ（t）‖B，…，
[c+n∫∞0vhn（v）dv+ξ-1n∑nj=1（a+njLfj
+b+nj∫∞0|K1j（u）|duLgj）ξj]‖φ（t）-ψ（t）‖B
+c+n∫∞0hn（v）dv∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu[c+n∫∞0vhn（v）dv+ξ-1n∑nj=1（a+njLfj
+b+nj∫∞0|Knj（u）|duLgj）ξj]ds‖φ（t）-ψ（t）‖B）T
≤（c-1∫∞0h1（v）dv-α1+c+1∫∞0h1（v）dv1-α1c+1∫∞0h1（v）dv，…，
c-n∫∞0hn（v）dv-αn
+c+n∫∞0hn（v）dv1-αnc+n∫∞0hn（v）dv）T‖φ（t）-ψ（t）‖B（8）
由条件（A3）可得0<1-αic+i∫∞0hi（v）dv<1以及
K=maxmax1≤i≤n1-αic+i∫∞0hi（v）dv，
max1≤i≤nc-i∫∞0hi（v）dv-αi+c+i∫∞0hi（v）dv1-αic+i∫∞0hi（v）dv<1
结合式（7）和式（8），可得‖T（φ（t）-T（ψ（t）））‖B≤K‖φ（t）-ψ（t）‖B，即映射T：B→B是一个压缩映射。
因此由Banach不动点定理知映射T有一个唯一的不动点
x**=（x**1（t），x**2（t），…，x**n（t））T∈B，Tx**=x**
由式（3）和式（4）知x**满足式（3）。因此方程（1）有一个唯一的连续可微的渐近概周期解x*=（ξ1x**1（t），ξ2x**2（t），…，ξnx**n（t））T。
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（編辑：王萍）
关键词：
细胞神经网络；渐近概周期解；指数二分法；不动点；延迟
DOI：1015938/jjhust201705024
中图分类号： O175
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2017）05-0130-07
Asymptotically Almost Periodic Solutions for a Class
of Cellular Neural Networks with Varying Delays
YAO Huili，SUN Haitong，BU Xianjiang
（School of Applied Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）
Abstract：Since a class of specific differential equations called cellular neural networks with delays have been established， the discussion on existence and uniqueness of all kinds of solutions for this class of equation become important study contents， especially the study on almost periodic type solutions In order to study asymptotically almost functions，applications on a class of cellular neural networks with varying delays， the existence and uniqueness of asymptotically almost periodic solutions on this class of cellular neural networks are discussed by using Banach fixed point theorem and some knowledge on exponential dichotomy， combining with the research of almost periodic solutions on this class of cellular neural networks in some literature， and it is proved that this class of cellular neural networks has unique asymptotically almost periodic solution under some sufficient conditions
Keywords：cellular neural networks； asymptotically almost periodic solutions； exponential dichotomy； fixed point， delay
收稿日期： 2016-04-19
基金項目： 黑龙江省教育厅科学技术研究项目（12511110）
作者简介：
姚慧丽（1970—），女，博士，教授，Email：huili_yao@sohu.com；
孙海彤（1992—） ，男，硕士研究生；
卜宪江（1991—），男，硕士研究生
0引言
1925年至1992年，概周期型函数有关理论相继被提出[1-4]，自提出以来已被数学研究
者广泛应用于各类微分方程中[5-7]。细胞神经网络是由歘和杨于1993年引进的[8-9]，自引进以来，数学工作者已成功地将其应用到各种领域，如信号处理、模式识别、静态图像处理、生物系统等[10-15]，还有很多文献对带各类延迟的细胞神经网络的概周期解[16-18]和伪概周期解[19-20]进行了研究。到目前，很少有文献对这些方程的渐近概周期解进行讨论。本文的研究目的是对一类带有可变延迟的细胞神经网络即方程（1）的渐近概周期解的存在唯一性问题进行讨论，由于渐近概周期函数是概周期函数加上扰动项构成的，所以研究方程的渐近概周期解更具有一般性。
方程（1）如下：
x′i（t）=-ci（t）∫∞0hi（s）xi（t-s）ds+
∑nj=1aij（t）fj（xj（t-τij（t）））+
∑nj=1bij（t）∫∞0Kij（u）gj（xj（t-u））du+
Ii（t），i=1，2，…，n（1）
其中，n对应着细胞元的数量，xi（t）表示在时间t时刻，第i个细胞元的状态向量。ci（t）>0表示神经网络系统在没有外部附加电压，也没有连通电源的情况下細胞元在t时刻恢复静止状态的速率。aij（t）和bij（t）表示的是在t时刻连接的势能。hi（s）≥0，Kij（u）和τij（t）分别表示泄漏延迟内核，传输延迟内核和传输延迟。Ii（t）表示一个在时刻t向细胞元外部输入独立的电流源。fj和gj表示的是信号传输的激活函数。hi：R→[0，+∞）是一个连续函数，ci：R→[0，+∞）是一个概周期函数。τij：R→[0，+∞），Ii，aij，bij： R→R都是渐近概周期函数。 1预备知识
本文用R表示实数集，Rn表示所有n维实向量，C（R，Rn）表示的是从R到Rn的全体有界连續函数构成的集合，并且（C（R，Rn），‖·‖∞）是一个Banach空间，其中‖f‖∞=supt∈R‖f（t）‖。若g是一个有界连续函数，定义g+=supt∈R|g（t）|，g-=inft∈R|g（t）|。
设x=（x1，x2，…，xn）T∈Rn，|x|表示的是绝对值向量|x|=（|x1|，|x2|，…，|xn|）T，并且定义‖x‖=max1≤i≤n|xi|。且对两个向量x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，定义|x|≤|y|是指|xi|≤|yi|，i=1，2，…，n。
定义1函数f∈C（R，Rn）称作是一个概周期函数，如果它满足：对任意的ε>0，存在一个lε>0，使得对任意a∈R，存在δ∈[α，α+lε]满足‖f（·+δ）-f（·）‖∞<ε。用AP（R，Rn）来表示这类函数全体。
定义2函数f∈C（R，Rn）称为是一个渐近概周期函数，若它能够表示成f=g+φ，其中g∈AP（R，Rn），φ∈C0（R，Rn）。这类函数全体用AAP（R，Rn）表示。其中
C0（R，Rn）={f∈C（R，Rn）|lim|t|→∞‖f（t）‖=0}
易知AP（R，Rn）和AAP（R，Rn）在上确界范数下都构成Banach空间。
定义3令x∈Rn，Q（t）是定义在R上的一个n×n连续矩阵，称线性系统
x′（t）=Q（t）x（t）（2）
滿足指数二分法，是指若存在正数k，α，射影P（P2=P），满足
‖X（t）PX-1（s）‖≤ke-α（t-s）（t≥s）
‖X（t）（I-P）X-1（s）‖≤ke-α（s-t）（s≥t）
其中X（t）是方程（2）的基本矩阵解，并满足X（0）=I。
定义4如果f：R→Rn是连续可微的 并且f和f′都是R上的渐近概周期函数，则称f是连续可微的渐近概周期函数。
引理1[21]假设Q（t）是一个概周期矩阵，g（t）∈AAP（R，Rn）。如果线性系统（2）满足指数二分法，那么渐近概周期系统x′（t）=Q（t）x（t）+g（t）有唯一的渐近概周期解x（t），并且
x（t）=∫t-∞X（t）PX-1（s）g（s）ds-
∫+∞tX（t）（I-P）X-1（s）g（s）ds
引理2[21]若ci（t）是R上的概周期函数，并且
M[ci（t）]=limT→∞1T∫t+Ttci（s）ds>0，i=1，2，…n
则线性系统x′（t）=diag（-c1（t），-c2（t），…，-cn（t））x（t）满足指数二分法。
2主要结果
本部分是本文的主要研究结果。令
B={φ|φ=（φ1（t），…，φn（t））T}
其中φ是连续可微的渐近概周期函数，其范数定义为
‖φ‖B=max{supt∈Rmax1≤i≤n|φi（t）|，supt∈Rmax1≤i≤n|φ′i（t）|}
则易知B是一个Banach空间。
定理1对方程（1）假设下列条件
（A1）对于每一个j∈{1，2，…，n}，存在非负常数 Lfj和 Lgj使得
|fj（u）-fj（v）|≤Lfj|u-v|，|gj（u）-gj（v）|≤Lgj|u-v|（u，v∈R）
（A2）对于每一个i，j∈{1，2，…，n}， Kij：[0，+∞）→R是连续的，且对确定的正数k，|Kij（t）|ekt在[0，+∞）上可积的；
（A3）对于每一个i∈{1，2，…，n}，存在常数αi>0和 ξi>0，使得
-c-i∫∞0hi（v）dv+c+i∫∞0vhi（v）dv+ξ-1i∑nj=1a+ijLfjξj+ξ-1i∑nj=1b+ij∫∞t|Kij（u）|duLgjξj≤-αi
和
c-i∫∞0hi（v）dv-αi+c+i∫∞0hi（v）dv1-αic-i∫∞0hi（v）dv<1；
（A4）0<∫∞0hi（v）dv<∞，且对（A2）中确定的正数k有0<∫∞0hi（v）dv<∞，∫∞0vhi（v）ekvdv<∞，i=1，2，…，n
成立，那么方程（1）有唯一连续可微的渐近概周期解。
证明：设i（t）=ξ-1ixi（t），则可把方程（1）转变成
′i（t）=-ci（t）∫∞0hi（s）i（t-s）ds+
ξ-1i∑nj=1aij（t）fj（ξjj（t-τij（t）））+
ξ-1i∑nj=1bij（t）∫∞0Kij（u）gj（ξjj（t-u））du+ξ-1iIi（t）=
-ci（t）∫∞0hi（s）dsi（t）+ci（t）∫∞0hi（s）∫tt-s′i（u）duds+
ξ-1i∑nj=1aij（t）fj（ξjj（t-τij（t）））
+ξ-1i∑nj=1bij（t）∫∞0Kij（u）gj（ξjj（t-u））du+ξ-1iIi（t），i=1，2，…，n
对于任意的φ∈B，考虑下列非线性微分方程
′i（t）=-ci（t）（∫∞0hi（s）ds）i（t）+
ci（t）∫∞0hi（s）∫tt-sφ′i（u）duds+
ξ-1i∑nj=1aij（t）fj（ξjφj（t-τij（t）））+
ξ-1i∑nj=1bij（t）∫∞0Kij（u）gj（ξjφj（t-u））du +ξ-1iIi（t），i=1，2，…，n，（3）
由于M[ci（t）∫∞0hi（s）ds]>0，i=1，2，…，n。根據引理2知线性系统
′i（t）=-ci（t）（∫∞0hi（s）ds）i（t） ，i=1，2，…，n
在R上满足指数二分法，因此由引理1知方程（3）有一个渐近概周期解
xφ（t）=（xφ1（t），xφ2（t），…，xφn（t））T=
（∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu[c1（s）∫∞0h1（v）∫ss-vφ′1（u）dudv+
ξ-11∑nj=1a1j（s）fj（ξjφj（s-τ1j（s）））+
ξ-11∑nj=1b1j（s）∫∞0K1j（u）gj（ξjφj（s-u））du+ξ-11I1（s）]ds，…，
∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu[cn（s）∫∞0hn（v）∫ss-vφ′n（u）dudv+
ξ-1n∑nj=1anj（s）fj（ξjφj（s-τnj（s）））+
ξ-1n∑nj=1bnj（s）∫∞0Knj（u）gj（ξjφj（s-u））du+ξ-1nIn（s）]ds）T（4）
定义一个映射T：T（φ）（t）=xφ（t）， φ∈B。以下命题1至命题4证明T是从B到B的一个压缩映射。
命题1假设（A1）和（A2）成立，且φ（·）∈AAP（R，R），则函数
∫∞0Kij（u）gj（φ（t-u））du∈AAP（R，R），
i，j=1，2，…，n
證明由于φ（t）∈AAP（R，R），所以对任意ε>0，存在一个相对稠子集Pε和一个有界子集Cε，使得|φ（s+τ）-φ（s）|<ε（τ∈Pε，s+τ，s∈R＼Cε）。从而结合条件（A1）得
|gj（φ（s+τ））-gj（φ（s））|
≤Lgj|φ（s+τ）-φ（s）|
Xj1∈AP（R，R），Xj2∈C0（R，R）
由AP（R，R）的定义，对上述ε>0，存在一个正数l=l（ε），对长度为l的任一区间内都存在一个数τ，使得
|Xj1（t+τ）-Xj1（t）|<ε1+∫∞0|Kij（u）|du，t∈R，i，j=1，2，…，n
因此有
|∫∞0Kij（u）Xj1（t+τ-u）du-∫∞0Kij（u）Xj1（t-u）du|≤
∫∞0|Kij（u）||Xj1（t+τ-u）-Xj1（t-u）|du<
∫∞0|Kij（u）|duε1+∫∞0|Kij（u）|du<ε，t∈R，
i，j=1，2，…，n
即得∫∞0Kij（u）Xj1（t-u）du∈AP（R，R），i=1，2，…，n。
下证lim|t|→∞|∫∞0Kij（u）Xj2（t-u）du|=0。
因为Xj2（t）连续，且limt→∞|Xj2（t）|=0，故Xj2（t）在R上有界，即存在M1>0，使对任意t∈R，有|Xj2（t）|≤M1。由于limt→∞|Xj2（t）|=0，所以对任意ε>0，存在T1>0，当|t|>T1时，|Xj2（t）|<ε2。由条件（A2）知|Kij（t）|ekt在[0，+∞）是可积的，所以|Kij（t）|在[0，+∞）是可积的，故存在T2>0，使∫∞T2|Kij（u）|du<ε，并记
∫T20|Kij（u）|du=G
令M=T1+T2，当t<-M，u∈（0，+∞）时，有t-u<-M<-T1
因此|Xj2（t-u）|<ε，于是|∫∞0Kij（u）Xj2（t-u）du|<ε∫∞0|Kij（u）|du。
当t>M，u≤T2时，t-u>M-T2=T1，因此|Xj2（t-u）|<ε。于是有
|∫∞0Kij（u）Xj2（t-u）du|=∫T20|Kij（u）Xj2（t-u）du+∫∞T2Kij（u）Xj2（t-u）du|
≤∫T20|Kij（u）||Xj2（t-u）|du+∫∞T2|Kij（u）||Xj2（t-u）|du
≤ε∫T20|Kij（u）|du+M1∫∞T2|Kij（u）|du <（G+M1）ε
因此有∫∞0Kij（u）Xj2（t-u）du∈C0（R，R）。从而得
∫∞0Kij（u）gj（φ（t-u））du=∫∞0Kij（u）Xj1（t-u）du+∫∞0Kij（u）Xj2（t-u）du∈AAP（R，R）
命题2假设（A1）、（A2）和（A4）成立，且函数ci、τij、 Ii，aij，bij满足引言中所述条件，φj∈B，则有
ci（t）∫∞0hi（s）∫tt-sφ′i（u）duds+ξ-1i∑nj=1aij（t）fj（ξjφj（t-τij（t）））
+ξ-1i∑nj=1bij（t）∫∞0Kij（u）gj（ξjφj（t-u））du+ξ-1Ii（t）∈AAP（R，R），i=1，2，…，n
证明由于φj∈AAP（R，R），所以是一致连续的，从而对任意ε>0，存在>0，当x1，x2∈R，|x1-x2|<时，有|φj（x1）-φj（x2）|<ε。对上述的>0，由于τij∈AAP（R，R+），所以存在一个相对稠密的子集P1ε和一个有界子集C1ε，使得
|τij（t+s）-τij（t）|< （s∈P1ε，t，t+s∈R＼C1ε）
而|t-τij（t+s）-（t-τij（t））|= |τij（t+s）-τij（t）|<，所以有 |φj（t-τij（t+s））-φj（t-τij（t））|<ε
由于φj∈AAP（R，R），所以对上述ε>0，存在一个相对稠密的子集P2ε和一个有界子集C2ε，使得|φj（t+s）-φj（t）|<ε（s∈P2ε，t，t+s∈R＼C2ε）。
令Pε=P1ε∩P2ε， Cε=C1ε∪C2ε，则Pε为相对稠子集，Cε为有界子集，且有
|φj（t+s-τij（t+s））-φj（t-τij（t+s））|<ε
（s∈Pε，t-τij（t+s），t+s-τij（t+s）∈R＼Cε）
因此有
|φj（t+s-τij（t+s））-φj（t-τij（t））|≤
|φj（t+s-τij（t+s））-φj（t-τij（t+s））+
φj（t-τij（t+s））-φj（t-τij（t））|≤
|φj（t+s-τij（t+s））-φj（t-τij（t+s））|+
|φj（t-τij（t+s））-φj（t-τij（t））|<
ε+ε=2ε
即得φj（t-τij（t））∈AAP（R，R），從而ξjφj（t-τij（t））∈AAP（R，R）。
下证fj（ξjφj（t-τij（t）））∈AAP（R，R）。
由于ξjφj（t-τij（t））∈AAP（R，R），所以对任意的ε>0，存在一个相对稠密的子集P3ε和一个有界子集C3ε，使得
|ξjφj（t+s-τij（t+s））-ξjφj（t-τij（t））|<ε
（s∈P3ε，t-τij（t），t+s-τij（t+s）∈R＼C3ε）
结合条件（A1）有
|fj（ξjφj（t+s-τij（t+s）））-fj（ξjφj（t-τij（t）））|≤
Lfj|ξjφj（t+s-τij（t+s））-ξjφj（t-τij（t））|<
Lfj·ε
所以得
fj（ξjφj（t-τij（t）））∈AAP（R，R） ，i，j=1，2，…，n（5）
由条件（A4）：0<∫∞0hi（v）dv<∞和0<∫∞0vhi（v）dv<∞，结合命题1，有
∫∞0hi（s）∫tt-sφ′i（u）duds=∫∞0hi（s）dsφi（t）-
∫∞0hi（s）dsφi（t-s）ds∈AAP（R，R）（6）
又条件（A1）和（A2）成立，所以命题1成立。结合式（5），（6）以及命题1，可得
ci（t）∫∞0hi（s）∫tt-sφ′i（u）duds+ξ-1i∑nj=1aij（t）fj（ξjφj（t-τij（t）））+
ξ-1i∑nj=1bij（t）∫∞0Kij（u）gj（ξjφj（t-u））du+ξ-1Ii（t）∈AAP（R，R），i=1，2，…，n
命题2证毕。
命题3在命题2的条件下，则式（4）中的xφ（t）和它的导数（xφ（t））′都是渐近概周期的。
证明令φi（s）=ci（s）∫∞0hi（v）∫ss-vφ′i（u）dudv+ξ-1i∑nj=1aij（s）fj（ξjφj（s-τij（s）））+ξ-1i∑nj=1bij（s）∫∞0Kij（u）gj（ξjφj（s-u））du+ξ-1iIi（s）
由命题2可知φi（s）∈AAP（R，R），因此可设φi（s）=φ1i（s）+φ2i（s），其中φ1i（s）∈AP（R，R），φ2i（s）∈C0（R，R）。于是对于1≤i≤n，有
∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφi（s）ds=∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ1i（s）ds+∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）ds
由文[19]知∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ1i（s）ds∈AP（R，R），下证
∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）ds∈C0（R，R）
由于φ2i（s）有界，所以存在M′>0，使|φ2i（s）|
|∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）ds-0|≤
∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvdu|φ2i（s）|ds<ε∫t-∞e-∫tsGdu∫∞0hi（v）dvds<ε·∫t-∞e-G（t-s）∫∞0hi（v）dvds<εG∫∞0hi（v）dv
当t>M时，
|∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）ds-0|≤∫t-∞|e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）|ds
=∫-M1-∞|e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）|ds+∫M1-M1|e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）|ds
+∫tM1|e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvduφ2i（s）|ds
≤εG∫∞0hi（v）dv+M′（∫M1-M1|e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvdu|ds）+εG∫∞0hi（v）dv ≤εG∫∞0hi（v）dv+M′2M1εG∫∞0hi（v）dv+εG∫∞0hi（v）dv
所以xφi（t）∈AAP（R，R），i=1，2，…，n。
又因為
（xφi（t））′=[ci（t）∫∞0hi（v）∫tt-vφ′i（u）dudv+
ξ-1i∑nj=1aij（t）fj（ξjφj（t-τij（t）））
+ξ-1i∑nj=1bij（t）∫∞0Kij（u）gj（ξjφj（t-u））du+ξ-1iIi（t）]
-ci（t）∫∞0hi（v）dv∫t-∞e-∫tsci（u）∫∞0hi（v）dvdu[ci（s）∫∞0hi（v）∫ss-vφ′i（u）dudv
+ξ-1i∑nj=1aij（s）fj（ξjφj（s-τij（s）））
+ξ-1i∑nj=1bij（s）∫∞0Kij（u）gj（ξjφj（s-u））du+ξ-1iIi（s）]ds，i=1，2，…，n
再結合由命题1和命题2可得（xφi（t））′∈AAP（R，R），i=1，2，…，n。
因此由命题3可知T是从B到B的映射。
命题4上面定义的映射T是从B到B上的一个压缩映射。
证明事实上，由式（4）及条件（（A1）和（A3），对于φ，ψ∈B，有
|T（φ（t））-T（ψ（t））|=（|（T（φ（t））-T（ψ（t）））1|，…，
|（T（φ（t））-T（ψ（t）））n|）T
=（|∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu[c1（s）∫∞0h1（v）∫ss-v（φ′1（u）-ψ′1（u））dudv
+ξ-11∑nj=1a1j（s）fj（ξjφj（s-τ1j（s）））-fj（ξjψj（s-τ1j（s）））
+ξ-11∑nj=1b1j（s）∫∞0K1j（u）（gj（ξjφj（s-u））-gj（ξjψj（s-u）））du]ds|，…，
|∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu[cn（s）∫∞0hn（v）∫ss-v（φ′n（u）-ψ′n（u））dudv
+ξ-1n∑nj=1anj（s）（fj（ξjφj（s-τnj（s）））-fj（ξjψj（s-τnj（s））））
+ξ-1n∑nj=1bnj（s）∫∞0Knj（u）（gj（ξjφj（s-u））-gj（ξjψj（s-u）））du]ds|）T
≤（∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu[c1（s）∫∞0h1（v）∫ss-v|φ′1（u）-ψ′1（u）|dudv
+ξ-11∑nj=1|a1j（s）|Lfjξj|φj（s-τ1j（s））-ψj（s-τ1j（s））|
+ξ-11∑nj=1|b1j（s）|∫∞0|K1j（u）|Lgjξj|φj（s-u）-ψj（s-u）|du]ds，…，
∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu[cn（s）∫∞0hn（v）∫ss-v|φ′n（u）-ψ′n（u）|dudv
+ξ-1n∑nj=1|anj（s）|Lfjξj|φj（s-τnj（s））-ψj（s-τnj（s））|
+ξ-1n∑nj=1|bnj（s）|∫∞0|Knj（u）|Lgjξj|φj（s-u）-ψj（s-u）|du]ds）T
≤（∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu[c+1∫∞0vh1（v）dv+ξ-11∑nj=1（a+1jLfj
+b+1j∫∞0|K1j（u）|duLgj）ξj]ds‖φ（t）-ψ（t）‖B，…，
∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu[c+n∫∞0vhn（v）dv+ξ-1n∑nj=1（a+njLfj
+b+nj∫∞0|Knj（u）|duLgj）ξj]ds‖φ（t）-ψ（t）‖B）T
≤（∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu（c1（s）∫∞0h1（v）dv-α1）ds，…，
∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu（cn（s）∫∞0hn（v）dv-αn）ds）T‖φ（t）-ψ（t）‖B
≤（∫t-∞e∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu∫tsc1（s）∫∞0h1（v）dvds-
α1∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvduds，…，
∫t-∞e∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu∫tscn（s）∫∞0hn（v）dvds-
αn∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvduds）T‖φ（t）-ψ（t）‖B
≤（1-α1∫t-∞e-∫tsc+1∫∞0h1（v）dvduds，…，1-
αn∫t-∞e-∫tsc+n∫∞0hn（v）dvduds）T‖φ（t）-ψ（t）‖B
≤（1-α1c+1∫∞0h1（v）dv，…，1-αnc+n∫∞0hn（v）dv）T‖φ（t）-ψ（t）‖B（7）
且有
|T′（φ（t））-T′（ψ（t））|=（|（T′（φ（t））-T′（ψ（t）））1|，…，
|（T′（φ（t））-T′（ψ（t）））n|）T
=（|[c1（t）∫∞0h1（v）∫tt-v（φ′1（u）-ψ′1（u））dudv
+ξ-11∑nj=1a1j（t）（fj（ξjφj（t-τ1j（t）））-fj（ξjψj（t-τ1j（t））））
+ξ-11∑nj=1b1j（t）∫∞0K1j（u）（gj（ξjφj（t-u））-gj（ξjψj（t-u）））du] -c1（t）∫∞0h1（v）dv∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu[c1（s）∫∞0h1（v）∫ss-v（φ′1（u）-ψ′1（u））dudv
+ξ-11∑nj=1a1j（s）（fj（ξjφj（s-τ1j（s）））-fj（ξjψj（s-τ1j（s））））
+ξ-11∑nj=1b1j（s）∫∞0K1j（u）（gj（ξjφj（s-u））-gj（ξjψj（s-u）））du]ds|，…，
|[cn（t）∫∞0hn（v）∫tt-v（φ′n（u）-ψ′n（u））dudv
+ξ-1n∑nj=1anj（t）（fj（ξjφj（t-τnj（t）））-fj（ξjψj（t-τnj（t））））
+ξ-1n∑nj=1bnj（t）∫∞0Knj（u）（gj（ξjφj（t-u））-gj（ξjψj（t-u）））du]
-cn（t）∫∞0hn（v）dv∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu[cn（s）∫∞0hn（v）∫ss-v（φ′n（u）-ψ′n（u））dudv
+ξ-1n∑nj=1anj（s）（fj（ξjφj（s-τnj（s）））-fj（ξjψj（s-τnj（s））））
+ξ-1n∑nj=1bnj（s）∫∞0Knj（u）（gj（ξjφj（s-u））-gj（ξjψj（s-u）））du]ds|）T
≤（[c+1∫∞0vh1（v）dv+ξ-11∑nj=1（a+1jLfj+
b+1j∫∞0|K1j（u）|duLgj）ξj]‖φ（t）-ψ（t）‖B
+c+1∫∞0h1（v）dv∫t-∞e-∫tsc1（u）∫∞0h1（v）dvdu[c+1∫∞0vh1（v）dv
+ξ-11∑nj=1（a+1jLfj
+b+1j∫∞0|K1j（u）|duLgj）ξj]ds‖φ（t）-ψ（t）‖B，…，
[c+n∫∞0vhn（v）dv+ξ-1n∑nj=1（a+njLfj
+b+nj∫∞0|K1j（u）|duLgj）ξj]‖φ（t）-ψ（t）‖B
+c+n∫∞0hn（v）dv∫t-∞e-∫tscn（u）∫∞0hn（v）dvdu[c+n∫∞0vhn（v）dv+ξ-1n∑nj=1（a+njLfj
+b+nj∫∞0|Knj（u）|duLgj）ξj]ds‖φ（t）-ψ（t）‖B）T
≤（c-1∫∞0h1（v）dv-α1+c+1∫∞0h1（v）dv1-α1c+1∫∞0h1（v）dv，…，
c-n∫∞0hn（v）dv-αn
+c+n∫∞0hn（v）dv1-αnc+n∫∞0hn（v）dv）T‖φ（t）-ψ（t）‖B（8）
由条件（A3）可得0<1-αic+i∫∞0hi（v）dv<1以及
K=maxmax1≤i≤n1-αic+i∫∞0hi（v）dv，
max1≤i≤nc-i∫∞0hi（v）dv-αi+c+i∫∞0hi（v）dv1-αic+i∫∞0hi（v）dv<1
结合式（7）和式（8），可得‖T（φ（t）-T（ψ（t）））‖B≤K‖φ（t）-ψ（t）‖B，即映射T：B→B是一个压缩映射。
因此由Banach不动点定理知映射T有一个唯一的不动点
x**=（x**1（t），x**2（t），…，x**n（t））T∈B，Tx**=x**
由式（3）和式（4）知x**满足式（3）。因此方程（1）有一个唯一的连续可微的渐近概周期解x*=（ξ1x**1（t），ξ2x**2（t），…，ξnx**n（t））T。
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（編辑：王萍）