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随着以培养数学素质为主要标志的素质型质量观的出现,教学要强调数学思想方法的呼声日渐高涨,掌握重要的数学思想方法应该是中学生必须具备的数学素质.在义务教育阶段《课程标准》突出强调:“在教学中,应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律(包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法).”而在高中阶段高考数学命题渗透了对数学思想方法的考查,注重考查学生应用数学思想方法分析和解决问题的能力,可见数学思想方法在中学阶段数学教学的重要地位.本文试对中学阶段的主要数学思想方法以及如何对其开展教学进行初步的探讨.
一、中学阶段主要的数学思想方法
所谓数学思想,就是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性认识,人们通常用它来泛指某些有重大意义的内容比较丰富、体系完整的数学成果.所谓数学方法,就是解决数学问题的根本程序,是数学思想的具体反映,就是人们从事数学活动时所使用的方法.其实,数学思想和数学方法往往不加以区别,同一个数学成就,当用它去解决别的数学问题时,就称之为方法,当评价它在体系中的自身价值和意义时,就称之为思想.比如“极限”,用它去求导数、求积分、解方程时,人们就说是极限方法;当我们讨论它的价值,即将变化过程趋势用数值加以表示,使无限向有限转化时,人们就讲“极限思想”了.所以数学思想和数学方法通常都混称为“数学思想方法”.这样从中学阶段的教学内容安排来看其主要的数学思想方法有以下几个.
1.函数思想
函数的思想是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.
2.方程思想
方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程的思想是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.
3.化归思想
化归的思想就是将一个问題A进行变形,使其归结为另一个已能解决的问题B,既然B已可解决,那么A也就解决了.应用时一定要注意变形转化的等价性,保证逻辑上的正确.数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程.
4.分类思想
分类的思想是按照数学对象的相同点和差异点将数学对象区分为不同种类的一种思想方法.分类以比较为基础,通过比较识别出数学对象之间的异同点,然后根据相同点把数学对象归并为较大的类,根据差异点将数学对象划分为较小的类,从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统.分类的原则是不重复、不遗漏、标准同一.在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,也叫分类讨论思想.
5.数形结合思想
数形结合的思想就是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来的一种思想方法.数学的研究对象大致分为两类:一类是研究数量关系的,一类是研究空间形式的.整个数学,不论是初等数学还是高等数学,都是以数和形作为研究对象的.解决“数与形”问题的关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.
6.类比猜想方法
类比猜想的方法是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似,猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法.类比思维的认识依据是客观事物或对象之间存在的普遍联系——相似性.因此,其结论具有或然性,是否正确要经过严格的证明或者实践检验.在数学中,类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段,也是开拓新领域和创造新分支的重要手段.
7.归纳猜想方法
归纳猜想的方法也叫不完全归纳法,它是根据对某类事物中的部分对象的分析,作出关于该类事物的一般性结论的推理方法.不完全归纳法的结果是在仅仅观察、分析了某类事物的部分对象之后,对该类事物的属性所提出的猜想(即合情推理).因此,其前提与结论之间布局有必然的联系,其结果具有或然性.所得的结论的正确性,尚需经过严格的逻辑推理和实践检验后才能确认.
二、中学阶段数学思想方法的教学策略
在中学数学各科教材中,数学思想方法是以具体的数学知识为载体,在教学的过程中逐步实现的,离开具体数学知识的教学,数学思想方法就成了无源之水.因此,数学思想方法与具体数学知识是有机结合的整体,它们是相互联系、协同发展的,同时又是不能相互代替的.另一方面,数学思想方法的内容显得薄弱,除了一些具体的数学方法比较明确外,一些重要的数学思想方法都没有比较明确和系统的阐述,数学思想方法的呈现是隐蔽的,学生难以从教材中直接获取,因此教师必须深入钻研教材,把隐含在知识背后的思想方法揭示出来.因此,在教学过程中,利用适当时机,对某些数学思想方法进行概括、强化和提高,使得学生能掌握和运用数学思想方法.
1.充分暴露知识的形成过程,揭示其隐含的数学思想方法
在教学过程中,要注意知识的形成过程,特别是定理、性质、公式的推导过程,基本数学思想方法都是在这个过程中形成和发展的,数学基本技能也是在这个过程学习和发展的,数学的各种能力也是在这个过程中得到培养和锻炼的,数学思想和数学观念也是在这个过程中形成的.
2.通过范例和解题教学,综合运用数学思想方法
一方面要通过解题和反思活动,从具体数学问题和范例中总结归纳解题方法,并提炼和抽象成数学思想;另一方面在解题过程中,充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能,举一反三,触类旁通,以数学思想观点为指导,灵活运用数学知识和方法分析问题、解决问题.
3.举行专题讲座,将数学思想方法系统化,提高对数学思想方法的驾驭能力
数学知识本身具有系统性,数学思想方法也具有系统性,对它的学习和渗透是一个循序渐进、螺旋上升的过程.在高中阶段,可以有目的地开设数学思想方法的专题复习讲座,以高中数学中常用的数学思想方法为主线,把中学数学中的基础知识有机地串联起来,进一步完善学生的认知结构,提高学生的数学能力.比如以函数思想为主线,它可以串联代数、三角、解析几何以及微积分初步的大部分知识:方程可以看作函数值为零的特例;不等式可以看作两个函数值的大小比较;三角可以看作一类特殊的函数(三角函数);解几的曲线方程可以看作隐函数,曲线可视为函数的图形;微积分中的导数可作为研究函数性质的主要工具.
综上所述,数学思想方法的教学,一定要处理好与数学知识教学的关系.数学思想方法是对数学事实,概念,理论,方法的本质认识,掌握和运用数学思想方法解决问题是数学能力的一种重要表现.通过数学思想方法的教学,调动了学生的学习积极性,激发了学生对数学学习的兴趣,提高学生分析问题,解决问题的能力,提高学生的数学素养.
参考文献
张奠宙,过伯祥.数学方法论稿[M].上海:上海教育出版社,1998.
(责任编辑 黄春香)
一、中学阶段主要的数学思想方法
所谓数学思想,就是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性认识,人们通常用它来泛指某些有重大意义的内容比较丰富、体系完整的数学成果.所谓数学方法,就是解决数学问题的根本程序,是数学思想的具体反映,就是人们从事数学活动时所使用的方法.其实,数学思想和数学方法往往不加以区别,同一个数学成就,当用它去解决别的数学问题时,就称之为方法,当评价它在体系中的自身价值和意义时,就称之为思想.比如“极限”,用它去求导数、求积分、解方程时,人们就说是极限方法;当我们讨论它的价值,即将变化过程趋势用数值加以表示,使无限向有限转化时,人们就讲“极限思想”了.所以数学思想和数学方法通常都混称为“数学思想方法”.这样从中学阶段的教学内容安排来看其主要的数学思想方法有以下几个.
1.函数思想
函数的思想是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.
2.方程思想
方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程的思想是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.
3.化归思想
化归的思想就是将一个问題A进行变形,使其归结为另一个已能解决的问题B,既然B已可解决,那么A也就解决了.应用时一定要注意变形转化的等价性,保证逻辑上的正确.数学的解题过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程.
4.分类思想
分类的思想是按照数学对象的相同点和差异点将数学对象区分为不同种类的一种思想方法.分类以比较为基础,通过比较识别出数学对象之间的异同点,然后根据相同点把数学对象归并为较大的类,根据差异点将数学对象划分为较小的类,从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统.分类的原则是不重复、不遗漏、标准同一.在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,也叫分类讨论思想.
5.数形结合思想
数形结合的思想就是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来的一种思想方法.数学的研究对象大致分为两类:一类是研究数量关系的,一类是研究空间形式的.整个数学,不论是初等数学还是高等数学,都是以数和形作为研究对象的.解决“数与形”问题的关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.
6.类比猜想方法
类比猜想的方法是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似,猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法.类比思维的认识依据是客观事物或对象之间存在的普遍联系——相似性.因此,其结论具有或然性,是否正确要经过严格的证明或者实践检验.在数学中,类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段,也是开拓新领域和创造新分支的重要手段.
7.归纳猜想方法
归纳猜想的方法也叫不完全归纳法,它是根据对某类事物中的部分对象的分析,作出关于该类事物的一般性结论的推理方法.不完全归纳法的结果是在仅仅观察、分析了某类事物的部分对象之后,对该类事物的属性所提出的猜想(即合情推理).因此,其前提与结论之间布局有必然的联系,其结果具有或然性.所得的结论的正确性,尚需经过严格的逻辑推理和实践检验后才能确认.
二、中学阶段数学思想方法的教学策略
在中学数学各科教材中,数学思想方法是以具体的数学知识为载体,在教学的过程中逐步实现的,离开具体数学知识的教学,数学思想方法就成了无源之水.因此,数学思想方法与具体数学知识是有机结合的整体,它们是相互联系、协同发展的,同时又是不能相互代替的.另一方面,数学思想方法的内容显得薄弱,除了一些具体的数学方法比较明确外,一些重要的数学思想方法都没有比较明确和系统的阐述,数学思想方法的呈现是隐蔽的,学生难以从教材中直接获取,因此教师必须深入钻研教材,把隐含在知识背后的思想方法揭示出来.因此,在教学过程中,利用适当时机,对某些数学思想方法进行概括、强化和提高,使得学生能掌握和运用数学思想方法.
1.充分暴露知识的形成过程,揭示其隐含的数学思想方法
在教学过程中,要注意知识的形成过程,特别是定理、性质、公式的推导过程,基本数学思想方法都是在这个过程中形成和发展的,数学基本技能也是在这个过程学习和发展的,数学的各种能力也是在这个过程中得到培养和锻炼的,数学思想和数学观念也是在这个过程中形成的.
2.通过范例和解题教学,综合运用数学思想方法
一方面要通过解题和反思活动,从具体数学问题和范例中总结归纳解题方法,并提炼和抽象成数学思想;另一方面在解题过程中,充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能,举一反三,触类旁通,以数学思想观点为指导,灵活运用数学知识和方法分析问题、解决问题.
3.举行专题讲座,将数学思想方法系统化,提高对数学思想方法的驾驭能力
数学知识本身具有系统性,数学思想方法也具有系统性,对它的学习和渗透是一个循序渐进、螺旋上升的过程.在高中阶段,可以有目的地开设数学思想方法的专题复习讲座,以高中数学中常用的数学思想方法为主线,把中学数学中的基础知识有机地串联起来,进一步完善学生的认知结构,提高学生的数学能力.比如以函数思想为主线,它可以串联代数、三角、解析几何以及微积分初步的大部分知识:方程可以看作函数值为零的特例;不等式可以看作两个函数值的大小比较;三角可以看作一类特殊的函数(三角函数);解几的曲线方程可以看作隐函数,曲线可视为函数的图形;微积分中的导数可作为研究函数性质的主要工具.
综上所述,数学思想方法的教学,一定要处理好与数学知识教学的关系.数学思想方法是对数学事实,概念,理论,方法的本质认识,掌握和运用数学思想方法解决问题是数学能力的一种重要表现.通过数学思想方法的教学,调动了学生的学习积极性,激发了学生对数学学习的兴趣,提高学生分析问题,解决问题的能力,提高学生的数学素养.
参考文献
张奠宙,过伯祥.数学方法论稿[M].上海:上海教育出版社,1998.
(责任编辑 黄春香)