论文部分内容阅读
金属杆处于匀强磁场中的导轨上滑动时，由于切割磁感线而产生感应电流，磁场对杆产生的安培力，又反过来影响杆的运动. 这样，金属杆运动时，受到变化的合外力，做非匀变速直线运动，经历一个动态变化过程，最终达到一个稳定的收尾状态，这个状态时的速度称为金属杆的收尾速度，加速度是金属杆的收尾加速度.
一、单杆在导轨上滑动的收尾速度
由一根金属杆和导轨组成的回路. 不论杆是否受到外力作用、是否有初速度，不论回路中是否有恒定电源，杆总是整个回路的核心.
图1
例1 如图2所示，水平放置的两根光滑平行长导轨相距L=0.5m，左端接有阻值为R=0.3Ω的电阻，导轨电阻不计，金属杆MN的质量为m=2kg、电阻为r=0.2Ω垂直放在长导轨正中间，整个装置处在磁感应强度为B=1T的匀强磁场中，当MN在水平的外力作用下从静止开始向右运动，外力功率恒为18W，试分析MN的运动情况并求出MN的最大速度.
图2
解析 设金属杆[MN]所受外力为[F]，由[P=Fv]得，当[P]恒定，[v]增大时，外力[F]不断减小；又金属杆[MN]向右切割磁感线运动时，回路中有感应电流，[MN]受到安培力的作用阻碍杆向右运动，受力如图.
由牛顿第二运动定律可得方程：
[Pv-B2L2vR+r=ma]
所以，当[v]增大时，加速度[a]也减小，这样，金属杆就做加速度减小的加速运动.
当[a]=0，即外力等于安培力时，金属杆[MN]速度达到最大，此后以此速度做匀速直线运动. [vm=6m/s.]
点拨 以磁场对电流的安培力为桥梁，从杆的切割磁感线的运动过渡到对杆的运动和力的动态分析，结合牛顿运动定律的瞬时性列方程，探究加速度[a]的表达式及变化趋势，推断杆会经历一个动态变化达到稳定状态，最后金属杆的加速度为零，速度不变.
二、探究双杆在导轨上滑动的收尾状态
由导轨和两根金属杆组成的回路，不论回路是否受到外力作用，不论回路中的杆是否具有初速度，两杆的相对速度都由回路中的磁通量的变化决定.
例2 在如图3所示的阻值不计的光滑导轨上，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，左端间距[L1]=4[L]，右端间距[L2]=[L]. 今在导轨上垂直放置[ab]和[cd]两根金属杆，质量分别为[m1]=2[m]，[m2]=[m]，电阻[R1]=[4R]，[R2]=[R]. 现使[ab]杆向右以初速度[v0]运动，试探究两杆最终的运动状态.
图3
解析 当[ab]杆向右以初速度[v0]运动时，由两杆和导轨组成的回路中的磁通量就会发生变化，从而产生感应电流，同时磁场也对两杆产生方向相反，大小不等的安培力，[ab]、[cd]杆组成的系统动量不守恒. 由牛顿定律可以判断：[ab]杆做加速度减小的减速运动，[cd]杆做加速度减小的加速运动.
在相同时间内，对[ab]杆有
[-BIL1Δt=m1vab-m1v0]
对[cd]杆有
[BIL2Δt=m2vcd]
当回路中磁通量的变化量[ΔΦ=BL1vabt-][BL2vcdt=0]时，回路中不再有感应电流，系统达到了稳定状态.
联立解得 [vab=v09]，[vcd][=4v09]
[ab]、[cd]杆最终做匀速直线运动.
点拨 当两杆同时运动时，要明确引起回路中磁通量Φ的变化的原因，把握磁通量Φ的动态分析. 当两杆组成的系统受到外力作用，或者两杆受到的安培力不等时，可以考虑动量定理；当系统受到的合外力为零时，则用动量守恒定律. 最终回路中磁通量的变化恒定，产生恒定的电流，两杆以相同的加速度和恒定的速度差一起运动.
【练习】
1. 如图4所示，两平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场的方向垂直导轨平面向下，金属杆[ab]、[cd]与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两杆[ab]、[cd]的质量之比为2∶1，用一沿导轨方向的恒力[F]水平向右拉杆[cd]，经过足够长的时间后（
图4
A. [ab]、cd杆都做匀速运动
B. [ab]杆上的电流方向是由[b]到[a]
C. cd杆所受的安培力的大小等于[23F]
D. 两杆间的距离保持不变
2. 如图5所示，两根足够长的金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为[θ]的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为[m]的均匀直金属杆[ab]放在两导轨上，并与导轨垂直，整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略. 让[ab]杆沿导轨由静止开始向下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦.
[L]
图5
（1）分析[ab]杆的运动情况；
（2）在加速下滑的过程中，当[ab]杆的速度大小为[v]时，求此时[ab]杆加速度的大小；
（3）求下滑过程中[ab]杆可以达到的最大速度.
3. 光滑的平行金属导轨如图6所示，轨道的水平部分[bcd]位于竖直向上的匀强磁场中，[bc]部分的宽度为[cd]部分宽度的2倍，[bc、cd]部分轨道足够长，将质量都为[m]的金属棒[P]和[Q]分别置于轨道上的[ab]段和[cd]段，[P]棒位于距水平轨道高为[h]的地方，放开[P]棒，使其自由下滑，求[P]棒和[Q]棒的最终速度及回路中所产生的电能.
图6
【参考答案】
1．BC
2．（1）做加速度减小的加速运动
（2）[a=gsinθ-B2L2vmR]
（3）[vm=mgRsinθB2L2]
3．（1）[vP=2gh5]，[vQ=22gh5]
（2）[∴W电=45mgh]
一、单杆在导轨上滑动的收尾速度
由一根金属杆和导轨组成的回路. 不论杆是否受到外力作用、是否有初速度，不论回路中是否有恒定电源，杆总是整个回路的核心.
图1
例1 如图2所示，水平放置的两根光滑平行长导轨相距L=0.5m，左端接有阻值为R=0.3Ω的电阻，导轨电阻不计，金属杆MN的质量为m=2kg、电阻为r=0.2Ω垂直放在长导轨正中间，整个装置处在磁感应强度为B=1T的匀强磁场中，当MN在水平的外力作用下从静止开始向右运动，外力功率恒为18W，试分析MN的运动情况并求出MN的最大速度.
图2
解析 设金属杆[MN]所受外力为[F]，由[P=Fv]得，当[P]恒定，[v]增大时，外力[F]不断减小；又金属杆[MN]向右切割磁感线运动时，回路中有感应电流，[MN]受到安培力的作用阻碍杆向右运动，受力如图.
由牛顿第二运动定律可得方程：
[Pv-B2L2vR+r=ma]
所以，当[v]增大时，加速度[a]也减小，这样，金属杆就做加速度减小的加速运动.
当[a]=0，即外力等于安培力时，金属杆[MN]速度达到最大，此后以此速度做匀速直线运动. [vm=6m/s.]
点拨 以磁场对电流的安培力为桥梁，从杆的切割磁感线的运动过渡到对杆的运动和力的动态分析，结合牛顿运动定律的瞬时性列方程，探究加速度[a]的表达式及变化趋势，推断杆会经历一个动态变化达到稳定状态，最后金属杆的加速度为零，速度不变.
二、探究双杆在导轨上滑动的收尾状态
由导轨和两根金属杆组成的回路，不论回路是否受到外力作用，不论回路中的杆是否具有初速度，两杆的相对速度都由回路中的磁通量的变化决定.
例2 在如图3所示的阻值不计的光滑导轨上，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，左端间距[L1]=4[L]，右端间距[L2]=[L]. 今在导轨上垂直放置[ab]和[cd]两根金属杆，质量分别为[m1]=2[m]，[m2]=[m]，电阻[R1]=[4R]，[R2]=[R]. 现使[ab]杆向右以初速度[v0]运动，试探究两杆最终的运动状态.
图3
解析 当[ab]杆向右以初速度[v0]运动时，由两杆和导轨组成的回路中的磁通量就会发生变化，从而产生感应电流，同时磁场也对两杆产生方向相反，大小不等的安培力，[ab]、[cd]杆组成的系统动量不守恒. 由牛顿定律可以判断：[ab]杆做加速度减小的减速运动，[cd]杆做加速度减小的加速运动.
在相同时间内，对[ab]杆有
[-BIL1Δt=m1vab-m1v0]
对[cd]杆有
[BIL2Δt=m2vcd]
当回路中磁通量的变化量[ΔΦ=BL1vabt-][BL2vcdt=0]时，回路中不再有感应电流，系统达到了稳定状态.
联立解得 [vab=v09]，[vcd][=4v09]
[ab]、[cd]杆最终做匀速直线运动.
点拨 当两杆同时运动时，要明确引起回路中磁通量Φ的变化的原因，把握磁通量Φ的动态分析. 当两杆组成的系统受到外力作用，或者两杆受到的安培力不等时，可以考虑动量定理；当系统受到的合外力为零时，则用动量守恒定律. 最终回路中磁通量的变化恒定，产生恒定的电流，两杆以相同的加速度和恒定的速度差一起运动.
【练习】
1. 如图4所示，两平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场的方向垂直导轨平面向下，金属杆[ab]、[cd]与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两杆[ab]、[cd]的质量之比为2∶1，用一沿导轨方向的恒力[F]水平向右拉杆[cd]，经过足够长的时间后（
图4
A. [ab]、cd杆都做匀速运动
B. [ab]杆上的电流方向是由[b]到[a]
C. cd杆所受的安培力的大小等于[23F]
D. 两杆间的距离保持不变
2. 如图5所示，两根足够长的金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为[θ]的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻，一根质量为[m]的均匀直金属杆[ab]放在两导轨上，并与导轨垂直，整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略. 让[ab]杆沿导轨由静止开始向下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦.
[L]
图5
（1）分析[ab]杆的运动情况；
（2）在加速下滑的过程中，当[ab]杆的速度大小为[v]时，求此时[ab]杆加速度的大小；
（3）求下滑过程中[ab]杆可以达到的最大速度.
3. 光滑的平行金属导轨如图6所示，轨道的水平部分[bcd]位于竖直向上的匀强磁场中，[bc]部分的宽度为[cd]部分宽度的2倍，[bc、cd]部分轨道足够长，将质量都为[m]的金属棒[P]和[Q]分别置于轨道上的[ab]段和[cd]段，[P]棒位于距水平轨道高为[h]的地方，放开[P]棒，使其自由下滑，求[P]棒和[Q]棒的最终速度及回路中所产生的电能.
图6
【参考答案】
1．BC
2．（1）做加速度减小的加速运动
（2）[a=gsinθ-B2L2vmR]
（3）[vm=mgRsinθB2L2]
3．（1）[vP=2gh5]，[vQ=22gh5]
（2）[∴W电=45mgh]