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矩阵的合同关系、相似关系都是等价关系 .它们虽然不同 ,但又有联系 .对称矩阵是这两个知识点的交汇点 ,即两个实对称矩阵合同当且仅当它们相似 .进一步得到二次型可以通过一个正交变换化为标准型 .这一理论是高等代数教科书的重要内容 .然而 ,现行的教科书对该理论的证明至少涉及到二次型、线性空间、线性变换和欧氏空间的内容 .本文利用欧氏空间的正交性质给出这一理论新的简洁证明 ,以供教学参考之用