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摘要：本文通过借助史宁中教授的课程难度量化分析模型，对我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“《标准》”）与《义务教育数学教学大纲（1997年版）》（以下简称“《大纲》”）中平行四边形内容的难度进行对比分析，以此来考察我国初中几何课程教学内容的变化及发展，希望此探究对我国基础教育课程改革有启示指导作用。
关键词：平行四边形；课程难度；课程深度；课程时间；课程广度；教学指导
文章编号：1674-120X（2016）02-0066-02收稿日期：2015-10-10
基金项目：2015年度广东省大学生科技创新培育专项资金“基于课程难度定量分析模型下的初中几何课程难度研究”（201410578047）。
作者简介：谢玉如（1994—），女，广东揭阳人，韩山师范学院数学与应用数学专业学生。
一、背景 “平行四边形”是基本的几何图形之一，它在生活中有着十分广泛的应用，不仅表现在日常生活中有许多平行四边形的图案，还包括其性质在生产、生活各领域的实际应用，它是几何学习的重要起点。本文通过借鉴史宁中等人的课程难度量化分析模型NαG/T （1-α）S/T——（1），来分析“平行四边形”在《大纲》和《标准》下的难度变化，并进一步探究难度变化对教师教学实践的指导作用。
二、难度量化比较1广度比较
通过对比我们知道：相比《大纲》，《标准》增加的知识点有：探究平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系；平行四边形的重心及物理意义；平行四边形的不稳定性以及探究矩形、菱形的轴对称性。而减少的知识点则仅有平行线的等分线段。总体看来，《大纲》下平行四边形知识点的个数，也即广度G110；《标准》下平行四边形知识点的个数，也即广度G215。
2深度比较
总体上，对比《大纲》，《标准》下对该模块内容的深度要求普遍提高，例如，在《大纲》只需要理解及掌握平行四边形的概念、性质及判定条件，而《标准》则在此基础上，进一步探究了平行四边形的重心及其物理意义等；但与此同时，在《标准》下，某些知识点对深度的要求也有所降低，例如，在《大纲》中，平行线的等分线段有作要求，但在《标准》中已删除了该部分的内容。通过上述形式对《大纲》和《标准》中每个知识点的逐一分析得出：《大纲》中平行四边形模块内容的深度S125；《标准》中平行四边形模块内容的深度S226。
3时间比较
对此，《大纲》在“四边形”的第一、二章给出了“平行四边形”的内容和课时，其中，课时数的安排为12课时，于是T112；《标准》下的教科书中“平行四边形”安排了14课时，于是T214。
4难度比较
基于上述三个方面得出的数据，代入课程难度量化分析模型（1），可以得出：《大纲》和《标准》下平行四边形的课程难度系数分别为N0458，N0540（其中α06）。在这个模型下，《标准》下平行四边形的课程难度系数比《大纲》下的高出0082，即该模块内容的课程难度升高了0082。
三、教学启发分析以上数据可知，在《大纲》和《标准》的对比分析下，平行四边形的课程广度、课程深度和课程时间均有所变化，从而导致课程难度也有所变化。下面我们将从课程广度、课程深度和课程时间以及其引发的课程难度的变化四个方面来探究对教学实践的启发与指导。
1课程广度变化对教学实践的指导
基于上述分析我们得知：相比于《大纲》，《标准》下平行四边形模块内容增加的知识点有：探究平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系；平行四边形的重心及物理意义；平行四边形的不稳定性以及探究矩形、菱形的轴对称性，教科书上也相应地增加了关于“平行四边形重心”的课题探究：用一个手指顶住一块质地均匀的正方形硬纸片，找到它的平衡点后将其钉上钉子，将细绳系在钉子上将其吊起，看看此时纸片是否保持平衡。该内容的增加，一方面起到了承上启下的作用，方便温习重心的概念，为接下来三角形重心的学习奠定基础；另一方面又使得该模块知识的学习更连贯、更有系统性和层次感。所以，教师在今后的教学中，必须适当安排时间对“重心”进行学习，构建系统的思维体系，让“重心”更好地为理解和掌握平行四边形服务。
然而，该模块内容《标准》下减少的知识点有平行线的等分线段，在此情况下，教科书上也相应地删除了诸如“已知线段AB，求作线段AB的五等分点”等
之类的类型题。该内容的减少，启发一线教师在教学中要根据新的教学要求进行相应的教学，不要讲解那些难题、怪题来增加学生的负担。
2课程深度变化对教学实践的指导
基于上述对“平行四边形”课程深度的比较分析可知：相比于《大纲》，《标准》在减少了“平行线的等分线段”这一个知识点的基础上，增加了好几个知识点，使得知识点的涉及面变广，因而学生需要掌握的内容增加，课程深度也就自然升高。
例如，《标准》下的教科书也相应地增加了这样一个课题学习：用一个手指顶住一块质地均匀的正方形硬纸片，找到它的平衡点后将其钉上钉子，将细绳系在钉子上将其吊起，看看此时纸片是否保持平衡。该课题要求学生自己动手探究“重心”问题，并利用重心更好地理解“平行四边形”的相关性质等。针对该课程深度的变化，要求广大一线教师在教学的过程中要针对增加的知识点进行课堂教学，让学生自己多动手动脑，加深学生对基本知识点的理解和掌握，培养学生数形结合的能力及动手解决问题的能力等。
3课程时间变化对教学实践的指导
基于上述对“平行四边形”课程实施时间的比较分析可知：相比于《大纲》，《标准》下该模块内容的课程实施时间增加了两个课时，虽然课程广度和课程深度都增加了，但教师在课堂教学中仍有足够的时间去讲解分析，所以，广大一线教师在教学过程中不要只顾着快速地灌输相关的知识点内容，要适当地调整教学速度，给学生足够的时间去消化、去理解，使学生能够更好地学习并灵活应用“平行四边形”。
4课程难度变化对教学实践的指导
基于上述课程难度的比较分析可知：相比于《大纲》，《标准》下“平行四边形”的课程难度总体系数上升了。我们还是从前面所举的例子出发来进一步说明：用一个手指顶住一块质地均匀的正方形硬纸片，找到它的平衡点后将其钉上钉子，将细绳系在钉子上将其吊起，看看此时纸片是否保持平衡。该例子表明，“重心”问题的增加，使得“平行四边形”的课程广度上升，而且新标准下还要求学生学会利用“重心”来更好地理解和掌握平行四边形，可见，课程深度也上升了，再加上课程时间也增加的基础上，课程难度也就自然随着上升，而且从上述对比分析所显示的数据进一步探究表明，主要是课程广度的增加导致了课程总体难度的升高。
因此，针对新课程标准下的教学要求，广大一线教师，尤其是一些上了年纪的教师，在教学的过程中应有所调整，应更多地注重相关概念的理解和掌握，落实基础的课程目标，进一步增加教学的可操作性，让学生学会知识的贯通并学以致用。
关键词：平行四边形；课程难度；课程深度；课程时间；课程广度；教学指导
文章编号：1674-120X（2016）02-0066-02收稿日期：2015-10-10
基金项目：2015年度广东省大学生科技创新培育专项资金“基于课程难度定量分析模型下的初中几何课程难度研究”（201410578047）。
作者简介：谢玉如（1994—），女，广东揭阳人，韩山师范学院数学与应用数学专业学生。
一、背景 “平行四边形”是基本的几何图形之一，它在生活中有着十分广泛的应用，不仅表现在日常生活中有许多平行四边形的图案，还包括其性质在生产、生活各领域的实际应用，它是几何学习的重要起点。本文通过借鉴史宁中等人的课程难度量化分析模型NαG/T （1-α）S/T——（1），来分析“平行四边形”在《大纲》和《标准》下的难度变化，并进一步探究难度变化对教师教学实践的指导作用。
二、难度量化比较1广度比较
通过对比我们知道：相比《大纲》，《标准》增加的知识点有：探究平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系；平行四边形的重心及物理意义；平行四边形的不稳定性以及探究矩形、菱形的轴对称性。而减少的知识点则仅有平行线的等分线段。总体看来，《大纲》下平行四边形知识点的个数，也即广度G110；《标准》下平行四边形知识点的个数，也即广度G215。
2深度比较
总体上，对比《大纲》，《标准》下对该模块内容的深度要求普遍提高，例如，在《大纲》只需要理解及掌握平行四边形的概念、性质及判定条件，而《标准》则在此基础上，进一步探究了平行四边形的重心及其物理意义等；但与此同时，在《标准》下，某些知识点对深度的要求也有所降低，例如，在《大纲》中，平行线的等分线段有作要求，但在《标准》中已删除了该部分的内容。通过上述形式对《大纲》和《标准》中每个知识点的逐一分析得出：《大纲》中平行四边形模块内容的深度S125；《标准》中平行四边形模块内容的深度S226。
3时间比较
对此，《大纲》在“四边形”的第一、二章给出了“平行四边形”的内容和课时，其中，课时数的安排为12课时，于是T112；《标准》下的教科书中“平行四边形”安排了14课时，于是T214。
4难度比较
基于上述三个方面得出的数据，代入课程难度量化分析模型（1），可以得出：《大纲》和《标准》下平行四边形的课程难度系数分别为N0458，N0540（其中α06）。在这个模型下，《标准》下平行四边形的课程难度系数比《大纲》下的高出0082，即该模块内容的课程难度升高了0082。
三、教学启发分析以上数据可知，在《大纲》和《标准》的对比分析下，平行四边形的课程广度、课程深度和课程时间均有所变化，从而导致课程难度也有所变化。下面我们将从课程广度、课程深度和课程时间以及其引发的课程难度的变化四个方面来探究对教学实践的启发与指导。
1课程广度变化对教学实践的指导
基于上述分析我们得知：相比于《大纲》，《标准》下平行四边形模块内容增加的知识点有：探究平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系；平行四边形的重心及物理意义；平行四边形的不稳定性以及探究矩形、菱形的轴对称性，教科书上也相应地增加了关于“平行四边形重心”的课题探究：用一个手指顶住一块质地均匀的正方形硬纸片，找到它的平衡点后将其钉上钉子，将细绳系在钉子上将其吊起，看看此时纸片是否保持平衡。该内容的增加，一方面起到了承上启下的作用，方便温习重心的概念，为接下来三角形重心的学习奠定基础；另一方面又使得该模块知识的学习更连贯、更有系统性和层次感。所以，教师在今后的教学中，必须适当安排时间对“重心”进行学习，构建系统的思维体系，让“重心”更好地为理解和掌握平行四边形服务。
然而，该模块内容《标准》下减少的知识点有平行线的等分线段，在此情况下，教科书上也相应地删除了诸如“已知线段AB，求作线段AB的五等分点”等
之类的类型题。该内容的减少，启发一线教师在教学中要根据新的教学要求进行相应的教学，不要讲解那些难题、怪题来增加学生的负担。
2课程深度变化对教学实践的指导
基于上述对“平行四边形”课程深度的比较分析可知：相比于《大纲》，《标准》在减少了“平行线的等分线段”这一个知识点的基础上，增加了好几个知识点，使得知识点的涉及面变广，因而学生需要掌握的内容增加，课程深度也就自然升高。
例如，《标准》下的教科书也相应地增加了这样一个课题学习：用一个手指顶住一块质地均匀的正方形硬纸片，找到它的平衡点后将其钉上钉子，将细绳系在钉子上将其吊起，看看此时纸片是否保持平衡。该课题要求学生自己动手探究“重心”问题，并利用重心更好地理解“平行四边形”的相关性质等。针对该课程深度的变化，要求广大一线教师在教学的过程中要针对增加的知识点进行课堂教学，让学生自己多动手动脑，加深学生对基本知识点的理解和掌握，培养学生数形结合的能力及动手解决问题的能力等。
3课程时间变化对教学实践的指导
基于上述对“平行四边形”课程实施时间的比较分析可知：相比于《大纲》，《标准》下该模块内容的课程实施时间增加了两个课时，虽然课程广度和课程深度都增加了，但教师在课堂教学中仍有足够的时间去讲解分析，所以，广大一线教师在教学过程中不要只顾着快速地灌输相关的知识点内容，要适当地调整教学速度，给学生足够的时间去消化、去理解，使学生能够更好地学习并灵活应用“平行四边形”。
4课程难度变化对教学实践的指导
基于上述课程难度的比较分析可知：相比于《大纲》，《标准》下“平行四边形”的课程难度总体系数上升了。我们还是从前面所举的例子出发来进一步说明：用一个手指顶住一块质地均匀的正方形硬纸片，找到它的平衡点后将其钉上钉子，将细绳系在钉子上将其吊起，看看此时纸片是否保持平衡。该例子表明，“重心”问题的增加，使得“平行四边形”的课程广度上升，而且新标准下还要求学生学会利用“重心”来更好地理解和掌握平行四边形，可见，课程深度也上升了，再加上课程时间也增加的基础上，课程难度也就自然随着上升，而且从上述对比分析所显示的数据进一步探究表明，主要是课程广度的增加导致了课程总体难度的升高。
因此，针对新课程标准下的教学要求，广大一线教师，尤其是一些上了年纪的教师，在教学的过程中应有所调整，应更多地注重相关概念的理解和掌握，落实基础的课程目标，进一步增加教学的可操作性，让学生学会知识的贯通并学以致用。