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函数是高中数学最基本最重要的内容，可以说学不会函数，将学不好整个高中数学。近几年江苏高考函数（含三角函数）一般设置填空题4～5题，大题1～2题，主要考查是函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、有界性、图象变换、数学建模、导数等知识，范围广、内容多。特别是综合性的函数题目涉及的知识面更广，应用的方法灵活，综合性要求强，解题规范性要求高，同学们不易拿分或拿不足分。怎样解好函数题涉及的技巧有很多，本篇只从解题的规范性来谈。
一、 审题规范
审题是正确解题的关键，是对题目进行分析、综合、寻求解题思路和方法的过程。解题时要看清条件和可能的隐含条件。
【例1】 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA.
(1) 求B的大小；
(2) 求cosA+sinC的取值范围.
错解 (2) cosA+sinC=cosA+sinπ-π6-A=cosA+sinπ6+A
=cosA+12cosA+32sinA=3sinA+π3，
因为0
错因分析 只注意角A是三角形内角，是个锐角，而没有看到这是个锐角三角形，三个内角都是锐角。
正解
由△ABC为锐角三角形知：π2>A>π2-B=π2-π6=π3，2分
从而2π3 所以12<sinA+π3<32，4分
由此有32<3sinA+π3<32×3，
6分
所以cosA+sinC的取值范围为32，32.
8分
防错机制 1． 发现题目的隐含条件要加以揭示，对题目中的一些条件可以做一些符号加于重视，以防后面解题时遗忘；2． 解函数尽量画出关联的草图并把条件与目标标在图上，找出它们的内在联系；3． 审题应该慢，只有耐心仔细地、字斟句酌地审题，才能准确地把握题目提供的有效信息，才能迅速找准答题方向。另外，慢审题可以防止思维定势对题意理解的干扰。审题仔细、透彻了，解答书写起来自然就快。一定要克服审题不细致、不全面，抓住一句，不及其余，看头不看尾，甚至把关键字看漏的毛病。
二、 语言叙述规范
语言(包括数学语言)叙述是表达解题程式的过程，是数学解题的重要环节．规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当、言必有据。数学本身有一套规范的语言系统，切不可随意杜撰数学符号和数学术语，让人不知所云。
【例2】 已知函数f(x)＝-x2＋2ex＋m-1，g(x)＝x＋e2x (x>0)．
(1) 若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；
(2) 确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)＝0有两个相异实根．
错解 (1) ∵g(x)＝x＋e2x≥2e，∴m≥2e.2分
(2) 由图象可知：m-1＋e2>2e，即m>-e2＋2e＋1时，使得g(x)-f(x)＝0有两个相异实根．4分
错因分析 第一问漏x>0这个条件没有表示出来；(2) 基本不等式等号成立时的条件。
第二问大题使用图象法时，必须对图象说明，并辅于文字或必要的运算过程，否则必被扣分。
正解 (1) ∵x>0，∴ g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是［2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有实根．
(2) 若g(x)-f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，如图作出g(x)＝x＋e2x (x>0)的图象．作出f(x)＝-x2＋2ex＋m-1
的图象.∵f(x)＝-x2＋2ex＋m-1＝-(x-e)2＋m-1＋e2.
其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m-1＋e2.
又g(x)的最小值为2e（第一问已得）
故当m-1＋e2>2e，即m>-e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)-f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(-e2＋2e＋1，＋∞)．
防错机制 函数大题学生使用图象法比较普遍，因为图象看上去更直观，解题比较简单；但使用图象的弊病也很突出，因为写不完整很容易扣分，所以做解答题能不直接使用图象就尽量不使用，如用则对图象要进行充分说明。
三、 答案规范
答案规范是指答案准确、简洁、全面，既注意结果的验证、取舍，又要注意答案的完整。要做到答案规范，就必须审清题目的目标，按目标作答。
【例3】 已知函数f（x）=2x-12|x|.
(1) 若f（x）=2，求x的值；
(2) 若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈［1，2］恒成立，求实数m的取值范围.
错解 (1) 由题意得：f(x)=2x-12x,x>0，
2x-12-x,x<0.
∵f(x)=2，∴x=log2(1+2).
(2) ∵ 2tf(2t)+mf(t)≥0，∴2t22t-122t+m2t-12t≥0，
23t-2-t+m•2t-m•2-t≥0，
2t(22t+m)-2-t(1+m)≥0.
错因分析 不注重表达式及结果的化简，格式不规范。
正解 (1) 当x>0时,f(x)=2x-12x.
当x<0时,f(x)=2x-12-x=2x-2x=0；
当x=0时,f(x)=0，
∴f(x)=2x-12x,x>0，0,x≤0.4分
由条件可知2x-12x=2,即22x-2•2x-1=0，
解得2x=1±2，
∵2x>0,∴x=log2(1+2).5分
(2) 当t∈［1,2］时，
2t22t-122t+m2t-12t≥0,7分
即m(22t-1)≥-(24t-1)，
∵22t-1>0，∴m≥-(22t+1)，10分
∵t∈［1,2］，∴-(1+22t)∈［-17,-5］，
12分
∴m的取值范围是［-5,+∞).14分
古之君子，绝友不出丑语。——（魏晋）嵇康
防错机制 (1) 化简要及时、彻底。不然会使运算过程变的复杂、混乱；(2) 要明确化简方向，使变形顺利进行；(3) 审题认真，思维严密，步骤严谨，谨防“大题小做”。
由不规范造成的失分，令人惋惜。“会而不对，对而不全”是同学们的致命伤。丢分的主要原因在于审题失误和计算失误。考试时要认真审题，对某些试题可能要读二三遍，透彻理解再动笔。因此为防止无谓失分，必须从规范性上下功夫。
牛刀小试
1． 在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则ACcosA的值等于 ，AC的取值范围为 .
2． 若函数f(x)＝1x，x<0，
13x，x≥0，则不等式|f(x)|≥13的解集为 ．
3． 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足1≤f(-1)≤2,2≤f(1) ≤4，求f(-2)的取值范围．
4． 已知向量a＝(sin θ，-2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈0，π2．
(1) 求sinθ和cosθ的值；
(2) 若sin(θ-φ)＝1010，0<φ<π2，求cosφ的值.
5． 函数y＝x＋2x-1的值域是 .
6． 已知a>0，且a≠1，f(logax)＝aa2-1x-1x.
(1) 求f(x)；
(2) 判断f(x)的单调性；
(3) 求f(x2-3x＋2)<0的解集．
【参考答案】
1．
根据正弦定理，1sinA=ACsinB=ACsin2A=
AC2sinAcosA，则
ACcosA=2.
因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>π2，且B<π2，从而有π6 2． (1) 要认真审题、找出分类标准，做到不漏解．(2) 注意规范运用数学符号．答案为［-3,1］
3． 在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件不同，不能使用不等式的加减法，应用线性规划.答案为5≤f(-2)≤10.
4． (1) ∵a与b互相垂直，则a•b＝sinθ-2cosθ＝0，①
即sinθ＝2cosθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得
sinθ=255，
cosθ=55或
sinθ=-255，
cosθ=-55，
又∵θ∈0，π2，∴sinθ＝255，cosθ＝55.
（①直接写出sinθ＝255，cosθ＝55将被扣2分）
(2) ∵0<φ<π2，0<θ<π2，②
（②缺少θ∈0，π2这一条件扣1分）
∴-π2<θ-φ<π2，③
（③处缺少θ-φ的范围，直接由sin(θ-φ)求cos(θ-φ)．扣1分）
则cos(θ-φ)＝1-sin2(θ-φ)＝31010，∴cosφ＝cos［θ-(θ-φ)］④
（④处缺少φ＝［θ-(θ-φ)］这一拆分过程扣1分）
＝cosθcos(θ-φ)＋sin θsin(θ-φ)＝22. （此题虽不算难，但学生丢分现象严重。）
5． 注意x的范围，正确答案应为［22+1，+∞)∪(-∞,1-22］.
6． (1) 令t＝logax (t∈R)，则x＝at，且f(t)＝
aa2-1at-1at.
∴f(x)＝aa2-1(ax-a-x) (x∈R)．3分
(2) 当a>1时，ax-a-x为增函数，
又aa2-1>0，∴f(x)为增函数；当0 又aa2-1<0，∴f(x)为增函数．∴函数f(x)在R上为增函数．7分
(3) ∵f(0)＝aa2-1(a0-a0)＝0，∴f(x2-3x＋2)<0＝f(0)．9分
由(2)知：x2-3x＋2<0，∴1 12分
∴不等式的解集为{x|1 14分
(作者：宋凯东，江苏省启东市大江中学)
一、 审题规范
审题是正确解题的关键，是对题目进行分析、综合、寻求解题思路和方法的过程。解题时要看清条件和可能的隐含条件。
【例1】 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA.
(1) 求B的大小；
(2) 求cosA+sinC的取值范围.
错解 (2) cosA+sinC=cosA+sinπ-π6-A=cosA+sinπ6+A
=cosA+12cosA+32sinA=3sinA+π3，
因为0
错因分析 只注意角A是三角形内角，是个锐角，而没有看到这是个锐角三角形，三个内角都是锐角。
正解
由△ABC为锐角三角形知：π2>A>π2-B=π2-π6=π3，2分
从而2π3
由此有32<3sinA+π3<32×3，
6分
所以cosA+sinC的取值范围为32，32.
8分
防错机制 1． 发现题目的隐含条件要加以揭示，对题目中的一些条件可以做一些符号加于重视，以防后面解题时遗忘；2． 解函数尽量画出关联的草图并把条件与目标标在图上，找出它们的内在联系；3． 审题应该慢，只有耐心仔细地、字斟句酌地审题，才能准确地把握题目提供的有效信息，才能迅速找准答题方向。另外，慢审题可以防止思维定势对题意理解的干扰。审题仔细、透彻了，解答书写起来自然就快。一定要克服审题不细致、不全面，抓住一句，不及其余，看头不看尾，甚至把关键字看漏的毛病。
二、 语言叙述规范
语言(包括数学语言)叙述是表达解题程式的过程，是数学解题的重要环节．规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当、言必有据。数学本身有一套规范的语言系统，切不可随意杜撰数学符号和数学术语，让人不知所云。
【例2】 已知函数f(x)＝-x2＋2ex＋m-1，g(x)＝x＋e2x (x>0)．
(1) 若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；
(2) 确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)＝0有两个相异实根．
错解 (1) ∵g(x)＝x＋e2x≥2e，∴m≥2e.2分
(2) 由图象可知：m-1＋e2>2e，即m>-e2＋2e＋1时，使得g(x)-f(x)＝0有两个相异实根．4分
错因分析 第一问漏x>0这个条件没有表示出来；(2) 基本不等式等号成立时的条件。
第二问大题使用图象法时，必须对图象说明，并辅于文字或必要的运算过程，否则必被扣分。
正解 (1) ∵x>0，∴ g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e.故g(x)的值域是［2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有实根．
(2) 若g(x)-f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，如图作出g(x)＝x＋e2x (x>0)的图象．作出f(x)＝-x2＋2ex＋m-1
的图象.∵f(x)＝-x2＋2ex＋m-1＝-(x-e)2＋m-1＋e2.
其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m-1＋e2.
又g(x)的最小值为2e（第一问已得）
故当m-1＋e2>2e，即m>-e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)-f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(-e2＋2e＋1，＋∞)．
防错机制 函数大题学生使用图象法比较普遍，因为图象看上去更直观，解题比较简单；但使用图象的弊病也很突出，因为写不完整很容易扣分，所以做解答题能不直接使用图象就尽量不使用，如用则对图象要进行充分说明。
三、 答案规范
答案规范是指答案准确、简洁、全面，既注意结果的验证、取舍，又要注意答案的完整。要做到答案规范，就必须审清题目的目标，按目标作答。
【例3】 已知函数f（x）=2x-12|x|.
(1) 若f（x）=2，求x的值；
(2) 若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈［1，2］恒成立，求实数m的取值范围.
错解 (1) 由题意得：f(x)=2x-12x,x>0，
2x-12-x,x<0.
∵f(x)=2，∴x=log2(1+2).
(2) ∵ 2tf(2t)+mf(t)≥0，∴2t22t-122t+m2t-12t≥0，
23t-2-t+m•2t-m•2-t≥0，
2t(22t+m)-2-t(1+m)≥0.
错因分析 不注重表达式及结果的化简，格式不规范。
正解 (1) 当x>0时,f(x)=2x-12x.
当x<0时,f(x)=2x-12-x=2x-2x=0；
当x=0时,f(x)=0，
∴f(x)=2x-12x,x>0，0,x≤0.4分
由条件可知2x-12x=2,即22x-2•2x-1=0，
解得2x=1±2，
∵2x>0,∴x=log2(1+2).5分
(2) 当t∈［1,2］时，
2t22t-122t+m2t-12t≥0,7分
即m(22t-1)≥-(24t-1)，
∵22t-1>0，∴m≥-(22t+1)，10分
∵t∈［1,2］，∴-(1+22t)∈［-17,-5］，
12分
∴m的取值范围是［-5,+∞).14分
古之君子，绝友不出丑语。——（魏晋）嵇康
防错机制 (1) 化简要及时、彻底。不然会使运算过程变的复杂、混乱；(2) 要明确化简方向，使变形顺利进行；(3) 审题认真，思维严密，步骤严谨，谨防“大题小做”。
由不规范造成的失分，令人惋惜。“会而不对，对而不全”是同学们的致命伤。丢分的主要原因在于审题失误和计算失误。考试时要认真审题，对某些试题可能要读二三遍，透彻理解再动笔。因此为防止无谓失分，必须从规范性上下功夫。
牛刀小试
1． 在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则ACcosA的值等于 ，AC的取值范围为 .
2． 若函数f(x)＝1x，x<0，
13x，x≥0，则不等式|f(x)|≥13的解集为 ．
3． 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足1≤f(-1)≤2,2≤f(1) ≤4，求f(-2)的取值范围．
4． 已知向量a＝(sin θ，-2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈0，π2．
(1) 求sinθ和cosθ的值；
(2) 若sin(θ-φ)＝1010，0<φ<π2，求cosφ的值.
5． 函数y＝x＋2x-1的值域是 .
6． 已知a>0，且a≠1，f(logax)＝aa2-1x-1x.
(1) 求f(x)；
(2) 判断f(x)的单调性；
(3) 求f(x2-3x＋2)<0的解集．
【参考答案】
1．
根据正弦定理，1sinA=ACsinB=ACsin2A=
AC2sinAcosA，则
ACcosA=2.
因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>π2，且B<π2，从而有π6
3． 在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件不同，不能使用不等式的加减法，应用线性规划.答案为5≤f(-2)≤10.
4． (1) ∵a与b互相垂直，则a•b＝sinθ-2cosθ＝0，①
即sinθ＝2cosθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得
sinθ=255，
cosθ=55或
sinθ=-255，
cosθ=-55，
又∵θ∈0，π2，∴sinθ＝255，cosθ＝55.
（①直接写出sinθ＝255，cosθ＝55将被扣2分）
(2) ∵0<φ<π2，0<θ<π2，②
（②缺少θ∈0，π2这一条件扣1分）
∴-π2<θ-φ<π2，③
（③处缺少θ-φ的范围，直接由sin(θ-φ)求cos(θ-φ)．扣1分）
则cos(θ-φ)＝1-sin2(θ-φ)＝31010，∴cosφ＝cos［θ-(θ-φ)］④
（④处缺少φ＝［θ-(θ-φ)］这一拆分过程扣1分）
＝cosθcos(θ-φ)＋sin θsin(θ-φ)＝22. （此题虽不算难，但学生丢分现象严重。）
5． 注意x的范围，正确答案应为［22+1，+∞)∪(-∞,1-22］.
6． (1) 令t＝logax (t∈R)，则x＝at，且f(t)＝
aa2-1at-1at.
∴f(x)＝aa2-1(ax-a-x) (x∈R)．3分
(2) 当a>1时，ax-a-x为增函数，
又aa2-1>0，∴f(x)为增函数；当0
(3) ∵f(0)＝aa2-1(a0-a0)＝0，∴f(x2-3x＋2)<0＝f(0)．9分
由(2)知：x2-3x＋2<0，∴1
∴不等式的解集为{x|1
(作者：宋凯东，江苏省启东市大江中学)