我们知道，函数图像的渐近线有水平渐近线、竖直渐近线、斜渐近线，甚至还有渐近曲线，我们也可以从极限的角度来寻找这些渐近线。可是，什么函数题型有渐近线，渐近线又有哪些类型？通过部分典型例题简单归结如下：
　　一、函数值的影响
　　2016年苏州一模卷第20题在2015年全国卷第12题的基础上进行了改编，通过比较发现，投机取巧已经解决不了这道题，必须深挖函数隐藏的性质，还原真实的函数图像。
　　例1（2016年苏州一模第20题）已知函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a（a∈R），e为自然对数的底数。
　　（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
　　（2）①若存在实数x，满足f（x）<0，求实数a的取值范围；
　　②若有且只有唯一整数x0，满足f（x0）<0，求实数a的取值范围。
　　解析：（1）当a=1时，f（x）=ex（2x-1）-x+1，f′（x）=ex（2x+1）-1。
　　由于f′（0）=0，
　　当x∈（0，+∞）时，ex>1，2x+1>1，所以f′（x）>0；
　　当x∈（-∞，0）时，0　　导数f′（x）的图像如图1所示，
　　所以f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，
　　在區间（0，+∞）上单调递增。
　　反思：解题中，对于f′（x）=ex（2x+1）-1=0的根，学生只能找到x=0，其余未知。因此，取g（x）=f′（x）=ex（2x+1）-1，有g′（x）=f″（x）=ex（2x+3），令g′（x）=0，得x=-32，g（x）在-∞，-32上单调递减，在-32，+∞上单调递增。仅从单调性上还是难以确定g（x）=f′（x）的正负，因此陷入困境。
　　如果结合函数的单调性和已知区间上函数值的正负，辅助极限思想，我们就可以很快确定函数图像的渐近线，规避错误，打开后续解题思路。
　　二、函数定义域的影响
　　（2）①由f（x）<0得ex（2x-1）　　当x=1时，不等式显然不成立；
　　当x>1时，a>ex（2x-1）x-1；当x<1时，a　　记g（x）=ex（2x-1）x-1，g′（x）=ex（2x+1）（x-1）-ex（2x-1）（x-1）2=ex（2x2-3x）（x-1）2，
　　所以g（x）在区间（-∞，0）和32，+∞上为增函数，在（0，1）和1，32上为减函数，
　　函数g（x）的图像如图2所示。
　　所以当x>1时，a>g32=4e32；
　　当x<1时，a　　综上所述，所有a的取值范围为（-∞，1）∪（4e32，+∞）。
　　②由①结合例1易得。（略）
　　反思：本题没有设置障碍，在参变分离时自然要讨论x>1和x<1，所以学生也可以通过分类讨论完成。反思本题，对于函数g（x）=ex（2x-1）x-1而言，作出整个函数图像既要考虑单调性，也要注意隐藏的定义域所产生的渐近线x=1。
　　三、定义域与函数值的双重影响
　　例2设a∈R，函数f（x）=lnx-ax。
　　（1）讨论函数的单调区间和极值；
　　（2）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围。
　　解法1：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=1x-a。
　　当a≤0时，f′（x）>0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；
　　当a>0时，f（x）在0，1a上单调递增，在1a，+∞上单调递减，f（x）有极大值f1a=ln1a-1=-lna-1。
　　（2）解法1：由（1）的单调性、极值知：当a≤0时，没有两个零点，舍去；当a>0时，极大值f1a=-lna-1>0，得lna<-1，所以0　　解法2：由题意知f（x）=lnx-ax=0在（0，+∞）上有两解，参变分离得a=lnxx在（0，+∞）上有两解，令g（x）=lnxx，则g′（x）=1-lnxx2，g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减。由limx→0+lnxx=-∞，limx→+∞lnxx=0，可得g（x）图像，如图3。
　　故0　　反思：解法2易错，错解为a<1e，错误原因是只考虑单调性作出草图而忽略了两条渐近线的存在。
　　四、图像位置关系的影响
　　例3作出y=x+1x和y=x-1x的函数图像。
　　解析：这是我们较熟悉的对勾函数，但作图时我们应该关注它有两条渐近线，除了熟知的x=0外，还有y=x也是它的渐近线。当x→+∞时，x+1x→+∞且x+1x>x恒成立；当x→-∞时结论类似。所以函数y=x+1x的图像如图4所示。
　　如图5，函数y=x-1x也很特殊，我们平时关注较多的是它的单调性，因为y′=1+1x2>0，所以函数在（-∞，0），（0，+∞）上是增函数，其实它的图像也有两条渐近线分别是x=0和y=x。注：由于斜渐近线涉及极限思想和洛必达法则，高中阶段不作要求，此处不展开。
　　五、去伪存真，提升能力
　　例4作出y=xlnx的函数图像。
　　解析：y′=lnx+1，令y′=0，x=1e，则函数在0，1e上递减，在1e，+∞上递增。通过几何画板作图，结合极限思想，函数y=xlnx的图像没有渐近线。如图6所示。
　　反思：题型有模式，但思考决不能钻进套路。我们在归纳的同时，也不能以偏概全，要学会去伪存真，提升数学思维能力。
　　练习：（2016年新课标全国卷Ⅰ第21题）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点。
　　（1）求实数a的取值范围；
　　（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2<2。
　　函数图像中“不可或缺”的渐近线让我们加深了对函数的理解，也让我们获得了思考的乐趣。
　　作者单位：江苏省如皋市搬经中学