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笔者参加了2015年苏州市中考阅卷工作，所在的阅卷组批阅第24题，题目是一道较简单的几何题.学生对第1问的解法五彩纷呈，现对几种典型的解法作评价分析.通过此题，笔者谈谈对教学的思考和启发，与同行交流.
1.原题呈现
如图，在△ABC中，AB=AC.分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留）.
第1问标准答案提供的解法：由作图可知BD=CD.
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.
笔者本以为大多数学生能够轻松地解答出第1问，但没想到苏州大市此题的平均分为5.15分（满分为8分），得分较低.再看看学生的几种典型解法：
学生1的解法：由作图可知：BD=CD，又∵AB=AC，∴D点、A点都在BC的垂直平分线上，即AD为BC的垂直平分线，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD（三线合一），即AD平分∠BAC.
学生2的解法：由作图可知：BD=CD，∴∠DBC=ACD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACD，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.
学生3的解法：过点D作DH⊥AE，DG⊥AF，由作图可得：BE=BD=DC=CF=BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBH=∠DGC，在△DHB和△DGC中，∠DHB=∠DGC，∠DBE=∠DCF，BD=DC，∴△DHB≌△DGC，∴DH=DG，又∵DH⊥AE，DG⊥AF，∴AD为∠EAF的角平分线，∴AD平分∠BAC.
学生4的解法：连接DE、DF，由作图可得：BE=BD=DC=CF=BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBE=∠DCF，∴△BED≌△CFD，∴DE=DF，在△AED和△AFD中，AE=AF，DE=DF，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠BAC.
学生5的解法：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBE=∠DCF，∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠BAC.
2.分析与评价
2.1本题特点
笔者查阅了近4年来苏州市基础解答题中对三角形全等判定的考察，无一例外地都放在了四边形中，学生似乎习惯了“直来直去”的图形，处理起来游刃有余.然而，2015年出卷老师在四边形的基础上增添了圆的元素——弧，两个基本图形（四边形、弧）“一直一弯”放在一起时，一部分学生就懵了，得出“BD=BA=BE”的结论，从而导致错误.
2.2学生的解法
学生1的解法中，抓住了特征条件：AB=AC，BD=CD，利用线段的垂直平分线的逆定理进行证明，方法另辟蹊径，简洁明了；学生2的解法运用三角形全等的判定条件边角边，虽然与标准答案中边边边的解法相比，略显繁琐，但基本还在“通性通法”的范畴；学生3是通过构造到角的两边的垂线段，证明一次三角形全等得到垂线段长度相等，利用角平分线定理的逆定理得证；从学生4的解法中可以看出，此类学生虽然学会了三角形全等的证法，但不能灵活地筛选提取、组织有利条件，形成最佳方案解决问题；学生5的问题在于对圆的概念的理解不够深刻，想当然地认为∠EAD和∠EBD是同圆或等圆中的圆周角与圆心角，缺乏学习几何应该具备的“言之有据”的数学思维品质.
3.几点思考与教学启示
3.1在“通性通法”的基础上培养学生发散性思维
章建跃博士指出：“‘通性’就是概念所反映的数学基本性质；‘通法’就是概念所蕴含的思想方法。教学中，注重基础知识及其蕴含的数学思想方法，才是追求数学教学的‘长期利益’.”第1问要证明AD平分∠BAC，实质上是要证明∠BAD=∠CAD，学生最容易想到证明两个角相等的“通法”就是证明两个三角形全等，共有五种方法，结合图形与条件，最简便的方法就是利用三边对应相等证明.然而，笔者欣喜地看到，学生1和学生3能够抓住“角被平分”这一基本图形，联想到等腰三角形“三线合一”性质，运用线段的垂直平分线逆定理和角平分线逆定理证明，无不彰显出这两类学生优秀的发散性思维品质.因此，在日常课堂上，教师应该培养学生基本的“通性通法”意识，在此基础上鼓励学生采用多种方法解决问题，逐步发展学生的发散性思维.
3.2在预设基础上关注生成，强化对比辨析，促进认知
教师除了要精心预设以外，更要关注教学生成.在日常教学中，伴随教学进程的推进，一定会出现丰富的教学生成.这些生成是宝贵的教学资源，教师应密切关注及时收集、整理.通过实物投影、图片上传等方式将一些可用的对比素材及时呈现，并让学生仔细观察这些资源，通过自主探究、合作交流等方式充分辨析.比如，在上述案例中，教师可以将5种解法“对比呈现”，引导学生经历观察、辨析各种解法优劣（包括错误）的过程，让学生感知不同解法的繁简，促进学生对4种证明解法的认知，提升学生问题解决的有效性与合理性，完善学生的认知网络.
3.3引导学生自主建构几何概念，体会数学本质
一般而言，概念是同类事物本质特征的概括.让学生经历概念本质特征的概括过程，使学生有机会通过自己的观察与思考，从具体事例中抽象出概念的本质特征进而获得概念.几何概念的获得亦是如此. 案例：《圆》的集合定义教学片断
教师：同学们小学里就学过了圆，能画出圆的图形吗？动手画一画.
学生：（用圆规在纸上纷纷画起来……）
（两分钟后）
教师：（从学生作图中选取两张）这两个圆为什么一大一小？
学生1：因为它们的半径大小不一样.
教师：说明半径决定圆的——
学生：大小.
教师：（拿出其中一张放在不同位置上）圆的位置由什么决定？
学生2：圆心.
教师：如何确定一个圆？
学生3：只要确定圆心（定点）和半径（定长）.
教师出示问题：4个同学正在做投圈游戏，呈“一”字型排开，同时投圈，这样的队形对每个人公平吗？你认为他们应该怎样站，投圈才公平？说说理由.
学生4：他们可以按圆形站.
教师：想法很好！（出示图1）为什么这样站公平？
学生4：因为这4名同学到玩具（圆心）的距离都相等，都等于半径长.
教师：如果换成100名同学游戏呢？
众生：情况是一样的.
教师：假设这4个同学到玩具的距离是1米，后来又来了两个同学，他们到玩具的距离也是1米（如图2），那么这两个同学站在哪里公平？
学生5：还是圆上.
教师：如果来了100名同学呢？
众生：圆上.
教师：类比这个游戏，谁来说说圆是由怎样的一些点构成的？
学生6：到圆心（定点）的距离都等于半径（定长）的一些点构成的.
教师：这样的点有多少个？
众生：无数个.
点评：学生在小学时已经对圆有了一定的认识，基本能够运用圆规画出圆的图形，但要让学生理解圆的集合定义则存在较大困难.因此，教师首先让学生通过作图经历圆的形成过程及明确确定圆的两个要素（圆心、半径），然后设计了一个学生颇为熟悉、具体形象的“套圈”游戏，让学生类比感知，自主建构出圆的集合定义“圆是到圆心的距离都等于半径的点的集合”，体会圆概念的本质属性，学生深刻理解了圆的概念，解法5的错误就会少很多.
对于中考题，人们常常关注的是它的考试功能，事实上，笔者认为，更应该关注的是学生解答中考题所反映出的问题，以及给教师日常教学带来的反思和启示.此外，从教师自身专业发展来看，这些也是教师专业成长的宝贵资源.
参考文献：
[1]章建跃.如何实现“思维的教学”.中学数学教学参考：中旬，2015（4）：10-12.
[2]万剑波.注重通性通法，促进学生的可持续发展.中学数学教学参考：中旬，2014（9）：67-69.
1.原题呈现
如图，在△ABC中，AB=AC.分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的长度之和（结果保留）.
第1问标准答案提供的解法：由作图可知BD=CD.
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.
笔者本以为大多数学生能够轻松地解答出第1问，但没想到苏州大市此题的平均分为5.15分（满分为8分），得分较低.再看看学生的几种典型解法：
学生1的解法：由作图可知：BD=CD，又∵AB=AC，∴D点、A点都在BC的垂直平分线上，即AD为BC的垂直平分线，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD（三线合一），即AD平分∠BAC.
学生2的解法：由作图可知：BD=CD，∴∠DBC=ACD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACD，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.
学生3的解法：过点D作DH⊥AE，DG⊥AF，由作图可得：BE=BD=DC=CF=BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBH=∠DGC，在△DHB和△DGC中，∠DHB=∠DGC，∠DBE=∠DCF，BD=DC，∴△DHB≌△DGC，∴DH=DG，又∵DH⊥AE，DG⊥AF，∴AD为∠EAF的角平分线，∴AD平分∠BAC.
学生4的解法：连接DE、DF，由作图可得：BE=BD=DC=CF=BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBE=∠DCF，∴△BED≌△CFD，∴DE=DF，在△AED和△AFD中，AE=AF，DE=DF，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠BAC.
学生5的解法：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠DBE=∠DCF，∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠BAC.
2.分析与评价
2.1本题特点
笔者查阅了近4年来苏州市基础解答题中对三角形全等判定的考察，无一例外地都放在了四边形中，学生似乎习惯了“直来直去”的图形，处理起来游刃有余.然而，2015年出卷老师在四边形的基础上增添了圆的元素——弧，两个基本图形（四边形、弧）“一直一弯”放在一起时，一部分学生就懵了，得出“BD=BA=BE”的结论，从而导致错误.
2.2学生的解法
学生1的解法中，抓住了特征条件：AB=AC，BD=CD，利用线段的垂直平分线的逆定理进行证明，方法另辟蹊径，简洁明了；学生2的解法运用三角形全等的判定条件边角边，虽然与标准答案中边边边的解法相比，略显繁琐，但基本还在“通性通法”的范畴；学生3是通过构造到角的两边的垂线段，证明一次三角形全等得到垂线段长度相等，利用角平分线定理的逆定理得证；从学生4的解法中可以看出，此类学生虽然学会了三角形全等的证法，但不能灵活地筛选提取、组织有利条件，形成最佳方案解决问题；学生5的问题在于对圆的概念的理解不够深刻，想当然地认为∠EAD和∠EBD是同圆或等圆中的圆周角与圆心角，缺乏学习几何应该具备的“言之有据”的数学思维品质.
3.几点思考与教学启示
3.1在“通性通法”的基础上培养学生发散性思维
章建跃博士指出：“‘通性’就是概念所反映的数学基本性质；‘通法’就是概念所蕴含的思想方法。教学中，注重基础知识及其蕴含的数学思想方法，才是追求数学教学的‘长期利益’.”第1问要证明AD平分∠BAC，实质上是要证明∠BAD=∠CAD，学生最容易想到证明两个角相等的“通法”就是证明两个三角形全等，共有五种方法，结合图形与条件，最简便的方法就是利用三边对应相等证明.然而，笔者欣喜地看到，学生1和学生3能够抓住“角被平分”这一基本图形，联想到等腰三角形“三线合一”性质，运用线段的垂直平分线逆定理和角平分线逆定理证明，无不彰显出这两类学生优秀的发散性思维品质.因此，在日常课堂上，教师应该培养学生基本的“通性通法”意识，在此基础上鼓励学生采用多种方法解决问题，逐步发展学生的发散性思维.
3.2在预设基础上关注生成，强化对比辨析，促进认知
教师除了要精心预设以外，更要关注教学生成.在日常教学中，伴随教学进程的推进，一定会出现丰富的教学生成.这些生成是宝贵的教学资源，教师应密切关注及时收集、整理.通过实物投影、图片上传等方式将一些可用的对比素材及时呈现，并让学生仔细观察这些资源，通过自主探究、合作交流等方式充分辨析.比如，在上述案例中，教师可以将5种解法“对比呈现”，引导学生经历观察、辨析各种解法优劣（包括错误）的过程，让学生感知不同解法的繁简，促进学生对4种证明解法的认知，提升学生问题解决的有效性与合理性，完善学生的认知网络.
3.3引导学生自主建构几何概念，体会数学本质
一般而言，概念是同类事物本质特征的概括.让学生经历概念本质特征的概括过程，使学生有机会通过自己的观察与思考，从具体事例中抽象出概念的本质特征进而获得概念.几何概念的获得亦是如此. 案例：《圆》的集合定义教学片断
教师：同学们小学里就学过了圆，能画出圆的图形吗？动手画一画.
学生：（用圆规在纸上纷纷画起来……）
（两分钟后）
教师：（从学生作图中选取两张）这两个圆为什么一大一小？
学生1：因为它们的半径大小不一样.
教师：说明半径决定圆的——
学生：大小.
教师：（拿出其中一张放在不同位置上）圆的位置由什么决定？
学生2：圆心.
教师：如何确定一个圆？
学生3：只要确定圆心（定点）和半径（定长）.
教师出示问题：4个同学正在做投圈游戏，呈“一”字型排开，同时投圈，这样的队形对每个人公平吗？你认为他们应该怎样站，投圈才公平？说说理由.
学生4：他们可以按圆形站.
教师：想法很好！（出示图1）为什么这样站公平？
学生4：因为这4名同学到玩具（圆心）的距离都相等，都等于半径长.
教师：如果换成100名同学游戏呢？
众生：情况是一样的.
教师：假设这4个同学到玩具的距离是1米，后来又来了两个同学，他们到玩具的距离也是1米（如图2），那么这两个同学站在哪里公平？
学生5：还是圆上.
教师：如果来了100名同学呢？
众生：圆上.
教师：类比这个游戏，谁来说说圆是由怎样的一些点构成的？
学生6：到圆心（定点）的距离都等于半径（定长）的一些点构成的.
教师：这样的点有多少个？
众生：无数个.
点评：学生在小学时已经对圆有了一定的认识，基本能够运用圆规画出圆的图形，但要让学生理解圆的集合定义则存在较大困难.因此，教师首先让学生通过作图经历圆的形成过程及明确确定圆的两个要素（圆心、半径），然后设计了一个学生颇为熟悉、具体形象的“套圈”游戏，让学生类比感知，自主建构出圆的集合定义“圆是到圆心的距离都等于半径的点的集合”，体会圆概念的本质属性，学生深刻理解了圆的概念，解法5的错误就会少很多.
对于中考题，人们常常关注的是它的考试功能，事实上，笔者认为，更应该关注的是学生解答中考题所反映出的问题，以及给教师日常教学带来的反思和启示.此外，从教师自身专业发展来看，这些也是教师专业成长的宝贵资源.
参考文献：
[1]章建跃.如何实现“思维的教学”.中学数学教学参考：中旬，2015（4）：10-12.
[2]万剑波.注重通性通法，促进学生的可持续发展.中学数学教学参考：中旬，2014（9）：67-69.