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最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是解析几何与其他知识的交汇的一个重要的知识点，是我们教学的重点也是近年高考的热点.解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识，灵活解题.以下从五个方面予以阐述.
一、 求角的最值
例1 椭圆x2a2+y2b2=1,Ｆ１,Ｆ２分别为椭圆的两个
焦点,在椭圆上任取一点M, 求∠F1MF2的最值.
解析：设椭圆一点M(x0,y0) 设|MF1|=r1,|MF2|=r2由椭圆定义得r1+r2=2a则：
cos∠F1MF2=r21+r22-(2c)22r1r2
=(r1+r2)2-2r1r2-(2c)22r1r2
=2b2r1r2-1≥
2b2r1+r222-1当且仅当r1=r2时，即x20=0时,也就是M在短轴的端点时
(cos∠F1MF2)min=2b2a2-1.
又∵x∈(0,π)时,cosx为减函数,cos∠F1ＭF2 取最小值时,∠F1MF2在(0,π) 取得最大值 ，
∴(∠F1MF2)max=∠F1PF2
评注：把求角的最值，转化为求角的余弦的最值，利用基本不等式即可.
二、 求距离的最值或距离最值条件下的参变量的值
例2 在抛物线y=4x2上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短.
解析：
设抛物线上的点P(t,4t2)，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离
d=|4t2-4t+5|17=
4t-122+417
当t=12时，dmin=417，故所求点为12,1.
例3 若椭圆x29+y24=1上点P到定点A（a ，0）（0＜a＜3）的距离最短是1，求实数a的值.
解析：设P(x,y)则：
d2=(x-a)2+y2=(x-a)2+4-49x2=59
x-95a2+4-45a2
∵0 ∵-3≤x≤3
∴① 当95a≤3时，即0 d2min=4-45a2=1,∴a=±152（舍）
② 当95a>3时，即53 d2min=a2-6a+9=1,∴a=1或4（舍）.
综上所述：a=2.
评注：把求距离最值问题转化为求二次函数的最值，利用闭区间上二次函数最值的求法迅速得解.
三、 求几何特征量代数和的最值
例3 点M和F分别是椭圆x225+y29=1上的动点和右焦点，定点B(2,2).
(1) 求|MF|+|MB|的最小值.
(2) 求54|MF|+|MB|的最小值.
解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F′(-4,0)，离心率e=45，准线方程x=±254.
(1) |MF|+|MB|=10―|MF′|+|MB|=10―（|MF′|―|MB|）≥10―|F′B|=10―210.
故当M，B，F′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―210.
(2) 过动点M作右准线x=254的垂线，垂足为H，则|MF||MH|=e=45|MH|=45|MF|
.于是
54|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=174.可见，当且仅当点B、M、H共线时，54|MF|+|MB|取最小值174.
评注：（1） 中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的.
（2） 从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路.回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用.
例4 点P为双曲线x24-y2=1的右支上一点，M，N分别为(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为.
解析：由题意知：两已知圆的圆心分别为双曲线的左右焦点.对于双曲线右支上每一个确定的点P，∵|PF1|-|PF2|=4为定值，连结PF1，并延长PF1交⊙F1于点Mo，连结PF2,交⊙F2于点No.
|PM|-|PN|≤(|PF1+1|)-(|PF2|-1)=4+2=6
故|PM|-|PN|的最大值为6 .
评注：仔细审题，合理应用平面几何知识（三角形两边之和大于第三边.两边之差小于第三边），沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.
四、 求面积的最值
例5 已知平面内的一个动点P到直线l:x=433的距离与到定点F(3,0)的距离之比为233，点A1,12，设动点P的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 过原点O的直线l与曲线C交于M，N两点.求△MAN面积的最大值.
解析：(1) 设动点P到l的距离为d，
由题意PFd=32
根据圆锥曲线统一定义，点P的轨迹C为椭圆.
∵c=3,e=ca=32,可得a=2,
∴b2=a2-c2=4-3=1
故椭圆C的方程为：x24+y2=1
(2) 若直线l存在斜率，设其方程为y=kx,l与椭圆C的交点M(x1,y1),N(x2,y2)
将y=kx代入椭圆C的方程x24+y2=1并整理得(1+4k2)x2-4=0.
∴x1+x2=0,x1x2=-41+4k2
于是|MN|=(1+k2)(x1-x2)2
=(1+k2)［(x1+x2)2-4x1x2］
=(1+k2)·161+4k2=
41+k21+4k2
又点A到直线l的距离d=k-121+k2
故△MAN的面积S=12|MN|·d=|2k-1|1+4k2
从而S2=(2k-1)21+4k2=1-4k1+4k2
① 当k=0时，S2=1得S=1
② 当k>0时，S2<1得S<1
③ 当k<0时，S2=1+4-1k+(-4k)≤1+424=2
得S≤2
若直线l不存在斜率，则MN即为椭圆C的短轴，所以MN=2. 于是△MAN的面积S=12·2·1=1.
综上，△MAN的最大值为2.
评注：本题将△MAN的面积表示为l的斜率k的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法.当然，也可以将该面积函数转化为关于k的一元二次方程，由Δ≥0求得面积S的最大值.
五、 求最值条件下的曲线方程
例6 在直线l：x－y＋9=0上任意取一点P，经过P点以椭圆C：x212+y23=1的焦点为焦点作椭圆E.
（1） P在何处时，E的长轴最短？
（2） 求E长轴最短时的方程.
解析：方法一：（数形结合的思想）
F1(-3,0)，F2(3,0),作F1关于l的对称点F′1(-9,6)
则2a=PF1+PF2=PF′1+PF2
所以P,F′1,F2三点共线时，(2a)min=F′1F2=65.
此时，由x+2y-3=0
x-y+9=0得P(-5,4)，同时可得椭圆方程为x245+y236=1.
方法二：（不等式的思想）
由题意知c=3，所以可设椭圆方程为x2a2+y2a2-9=1.
由x-y+9=0
x2a2+y2a2-9=1 （ ）
得(2a2-9)x2+18a2x+90a2-a4=0
令Δ≥0得a≥35，所以(2a)min=65，
将a代入（ ）得P(-5,4)，椭圆方程为x245+y236=1.
评注：此题主要考查了数形结合求最值与不等式求最值的思想．在解析几何中利用列不等式是隐含条件，要引起注意.
解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，灵活合理地运用函数与方程、转化与化归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，寻求恰当的解题方法，在解题过程中力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理.
一、 求角的最值
例1 椭圆x2a2+y2b2=1,Ｆ１,Ｆ２分别为椭圆的两个
焦点,在椭圆上任取一点M, 求∠F1MF2的最值.
解析：设椭圆一点M(x0,y0) 设|MF1|=r1,|MF2|=r2由椭圆定义得r1+r2=2a则：
cos∠F1MF2=r21+r22-(2c)22r1r2
=(r1+r2)2-2r1r2-(2c)22r1r2
=2b2r1r2-1≥
2b2r1+r222-1当且仅当r1=r2时，即x20=0时,也就是M在短轴的端点时
(cos∠F1MF2)min=2b2a2-1.
又∵x∈(0,π)时,cosx为减函数,cos∠F1ＭF2 取最小值时,∠F1MF2在(0,π) 取得最大值 ，
∴(∠F1MF2)max=∠F1PF2
评注：把求角的最值，转化为求角的余弦的最值，利用基本不等式即可.
二、 求距离的最值或距离最值条件下的参变量的值
例2 在抛物线y=4x2上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短.
解析：
设抛物线上的点P(t,4t2)，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离
d=|4t2-4t+5|17=
4t-122+417
当t=12时，dmin=417，故所求点为12,1.
例3 若椭圆x29+y24=1上点P到定点A（a ，0）（0＜a＜3）的距离最短是1，求实数a的值.
解析：设P(x,y)则：
d2=(x-a)2+y2=(x-a)2+4-49x2=59
x-95a2+4-45a2
∵0
∴① 当95a≤3时，即0
② 当95a>3时，即53
综上所述：a=2.
评注：把求距离最值问题转化为求二次函数的最值，利用闭区间上二次函数最值的求法迅速得解.
三、 求几何特征量代数和的最值
例3 点M和F分别是椭圆x225+y29=1上的动点和右焦点，定点B(2,2).
(1) 求|MF|+|MB|的最小值.
(2) 求54|MF|+|MB|的最小值.
解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F′(-4,0)，离心率e=45，准线方程x=±254.
(1) |MF|+|MB|=10―|MF′|+|MB|=10―（|MF′|―|MB|）≥10―|F′B|=10―210.
故当M，B，F′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―210.
(2) 过动点M作右准线x=254的垂线，垂足为H，则|MF||MH|=e=45|MH|=45|MF|
.于是
54|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=174.可见，当且仅当点B、M、H共线时，54|MF|+|MB|取最小值174.
评注：（1） 中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释：从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点，而光线所经过的路程总是最短的.
（2） 从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路.回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用.
例4 点P为双曲线x24-y2=1的右支上一点，M，N分别为(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为.
解析：由题意知：两已知圆的圆心分别为双曲线的左右焦点.对于双曲线右支上每一个确定的点P，∵|PF1|-|PF2|=4为定值，连结PF1，并延长PF1交⊙F1于点Mo，连结PF2,交⊙F2于点No.
|PM|-|PN|≤(|PF1+1|)-(|PF2|-1)=4+2=6
故|PM|-|PN|的最大值为6 .
评注：仔细审题，合理应用平面几何知识（三角形两边之和大于第三边.两边之差小于第三边），沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.
四、 求面积的最值
例5 已知平面内的一个动点P到直线l:x=433的距离与到定点F(3,0)的距离之比为233，点A1,12，设动点P的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 过原点O的直线l与曲线C交于M，N两点.求△MAN面积的最大值.
解析：(1) 设动点P到l的距离为d，
由题意PFd=32
根据圆锥曲线统一定义，点P的轨迹C为椭圆.
∵c=3,e=ca=32,可得a=2,
∴b2=a2-c2=4-3=1
故椭圆C的方程为：x24+y2=1
(2) 若直线l存在斜率，设其方程为y=kx,l与椭圆C的交点M(x1,y1),N(x2,y2)
将y=kx代入椭圆C的方程x24+y2=1并整理得(1+4k2)x2-4=0.
∴x1+x2=0,x1x2=-41+4k2
于是|MN|=(1+k2)(x1-x2)2
=(1+k2)［(x1+x2)2-4x1x2］
=(1+k2)·161+4k2=
41+k21+4k2
又点A到直线l的距离d=k-121+k2
故△MAN的面积S=12|MN|·d=|2k-1|1+4k2
从而S2=(2k-1)21+4k2=1-4k1+4k2
① 当k=0时，S2=1得S=1
② 当k>0时，S2<1得S<1
③ 当k<0时，S2=1+4-1k+(-4k)≤1+424=2
得S≤2
若直线l不存在斜率，则MN即为椭圆C的短轴，所以MN=2. 于是△MAN的面积S=12·2·1=1.
综上，△MAN的最大值为2.
评注：本题将△MAN的面积表示为l的斜率k的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法.当然，也可以将该面积函数转化为关于k的一元二次方程，由Δ≥0求得面积S的最大值.
五、 求最值条件下的曲线方程
例6 在直线l：x－y＋9=0上任意取一点P，经过P点以椭圆C：x212+y23=1的焦点为焦点作椭圆E.
（1） P在何处时，E的长轴最短？
（2） 求E长轴最短时的方程.
解析：方法一：（数形结合的思想）
F1(-3,0)，F2(3,0),作F1关于l的对称点F′1(-9,6)
则2a=PF1+PF2=PF′1+PF2
所以P,F′1,F2三点共线时，(2a)min=F′1F2=65.
此时，由x+2y-3=0
x-y+9=0得P(-5,4)，同时可得椭圆方程为x245+y236=1.
方法二：（不等式的思想）
由题意知c=3，所以可设椭圆方程为x2a2+y2a2-9=1.
由x-y+9=0
x2a2+y2a2-9=1 （ ）
得(2a2-9)x2+18a2x+90a2-a4=0
令Δ≥0得a≥35，所以(2a)min=65，
将a代入（ ）得P(-5,4)，椭圆方程为x245+y236=1.
评注：此题主要考查了数形结合求最值与不等式求最值的思想．在解析几何中利用列不等式是隐含条件，要引起注意.
解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，灵活合理地运用函数与方程、转化与化归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，寻求恰当的解题方法，在解题过程中力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理.