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利用基本不等式■≥■(其中a,b≥0)求最值是高中数学中常用方法之一,下面介绍几种构造“定值”的常用方法.
一、凑配系数法
题目求式的结构、题设约束条件的结构与基本不等式结构一致,而差异仅仅是系数不同,通常是依据题设约束条件给求式凑配合适的系数,或依据求式的结构给题设约束条件凑配合适的系数构造“和或积为定值”,进而运用基本不等式求最值,这种技巧方法称为凑配系数法.
例1:已知a﹥0,b﹥0,且a2+■=1,求a■的最大值.
分析:因为求式a■=■,故其结构、题设条件的结构与基本不等式的结构一致,其中的a,b次数也一致,仅系数差异,因此采用凑配系数法构造“和为定值”.
解:因为a﹥0,b﹥0,所以a■=■·■≤■·■=■.故a■的最大值是■.
二、换元法
题目的约束条件及求式,其一结构为关于x、y的倒数“和”结构,另一结构为关于x、y的“和”结构,通常采用“1”的整体代换或三角換元,构造“积”为定值,进而运用基本不等式求最值,这种技巧方法称为换元法.
例2:已知a、b、x、y都是正数,■+■=1.求x+y的最小值.
解:令x=asec2θy=bcsc2θ,则x+y=a(1+tan2θ)+b(1+cot2θ)=a+b+ atan2θ+bcot2θ≥a+b+2■.当且仅当atan2θ=bcot2θ,即tan2θ=■,x=a+■y=b+■时,x+y的最小值是a+b+2■.
三、整合重组法
题目的约束条件或求式含有多元,或者其结构复杂,通常采用“拆分项”“添加项”“合并项”等基本技巧构造“和或积为定值”,进而运用基本不等式求最值,这种技巧方法称为整合重组法.
例3:已知a>b>0,求a2+■的最小值.
分析:此题初看无从下手,但其结构为分式型,采用“拆项”“添加项”整合重组,构造“积为定值”,进而运用基本不等式求最值.
解:a2+■=a[(a-b)+b]+■(■+■)=a(a-b)+ab+■+■,因为ab+■≥2■=8.当且仅当ab=■,即ab=4时,等号成立.
又因a(a-b)+■≥2■=8.当且仅当a(a-b)=■,即a(a-b)=4时,等号成立.
所以,a(a-b)+ab+■+■≥16.当且仅当ab=4a(a-b)=4,即a=2■,b=■时,等号成立.故a2+■的最小值是16.
一、凑配系数法
题目求式的结构、题设约束条件的结构与基本不等式结构一致,而差异仅仅是系数不同,通常是依据题设约束条件给求式凑配合适的系数,或依据求式的结构给题设约束条件凑配合适的系数构造“和或积为定值”,进而运用基本不等式求最值,这种技巧方法称为凑配系数法.
例1:已知a﹥0,b﹥0,且a2+■=1,求a■的最大值.
分析:因为求式a■=■,故其结构、题设条件的结构与基本不等式的结构一致,其中的a,b次数也一致,仅系数差异,因此采用凑配系数法构造“和为定值”.
解:因为a﹥0,b﹥0,所以a■=■·■≤■·■=■.故a■的最大值是■.
二、换元法
题目的约束条件及求式,其一结构为关于x、y的倒数“和”结构,另一结构为关于x、y的“和”结构,通常采用“1”的整体代换或三角換元,构造“积”为定值,进而运用基本不等式求最值,这种技巧方法称为换元法.
例2:已知a、b、x、y都是正数,■+■=1.求x+y的最小值.
解:令x=asec2θy=bcsc2θ,则x+y=a(1+tan2θ)+b(1+cot2θ)=a+b+ atan2θ+bcot2θ≥a+b+2■.当且仅当atan2θ=bcot2θ,即tan2θ=■,x=a+■y=b+■时,x+y的最小值是a+b+2■.
三、整合重组法
题目的约束条件或求式含有多元,或者其结构复杂,通常采用“拆分项”“添加项”“合并项”等基本技巧构造“和或积为定值”,进而运用基本不等式求最值,这种技巧方法称为整合重组法.
例3:已知a>b>0,求a2+■的最小值.
分析:此题初看无从下手,但其结构为分式型,采用“拆项”“添加项”整合重组,构造“积为定值”,进而运用基本不等式求最值.
解:a2+■=a[(a-b)+b]+■(■+■)=a(a-b)+ab+■+■,因为ab+■≥2■=8.当且仅当ab=■,即ab=4时,等号成立.
又因a(a-b)+■≥2■=8.当且仅当a(a-b)=■,即a(a-b)=4时,等号成立.
所以,a(a-b)+ab+■+■≥16.当且仅当ab=4a(a-b)=4,即a=2■,b=■时,等号成立.故a2+■的最小值是16.